Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации
обычно принимают критерий минимума среднего квадрата ошибок
прогнозирования.
4.2 Экспоненциальное сглаживание
Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная
формула:
SyS
(4.1)
1ttt
где St – значение экспоненциальной средней в момент t,
α – параметр сглаживания, α = const, 0<α<1;
.
1
Если последовательно использовать соотношение (4.1), то
экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие
значения уровней временного ряда:
SyS y y S y y S
ttt t t t t t t
... ... ...
yy S S S
tt t ti
11212
12 0
()
2
in
2
Таким образом,
1
n
SyS
tti
in
0
i
(4.2)
0
где n – длина ряда.
n
При n
0
, следовательно,
Sy
tti
i
i
(4.3)
0
Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов
ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в
прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от
возраста наблюдений).
Именно поэтому величина St называется экспоненциальной средней.
Автор модели английский математик Р. Браун показал, что математическое
ожидание временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же
время дисперсия экспоненциальной средней D[St] будет меньше дисперсии
временного ряда σ2:
51
[]
DS
Так как 0<α<1, D[St] меньше дисперсии временного ряда, равной σ2.
При высоком значении α дисперсия экспоненциальной средней
незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением а дисперсия
экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии
ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль фильтра,
поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих
наблюдений, что может быть достигнуто повышением α, с другой стороны, для
сглаживания случайных отклонений значение α нужно уменьшить. Эти два
требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения
параметра сглаживания α составляет задачу оптимизации модели. При
краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить
изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные
колебания. Для этого величине α следует присваивать одно из промежуточных
t
2
2
(4.4)
значений от 0 до 1. При этом для оперативных, конъюнктурных прогнозов в
большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому α следует
брать большим. При увеличении срока прогнозирования α следует уменьшить.
В некоторых исследованиях приводится формула для расчета α:
2
(4.5)
1n
где n – длина ряда.
При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда
требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени.
Часто на практике в качестве начального значения S0 используется среднее
арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из
какой-то их части.
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного
прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:
ya
1,ttt
(4.6)
где a
математическим ожиданием и дисперсией σ2.
– варьирующий во времени средний уровень временного ряда;
1,t
εt – случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым
Прогнозная модель определяется равенством:
52
y
()
yt a
1,
(4.7)
t
где
a – оценка a
Единственный параметр модели
()yt
– прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени вперед;
1,t
1,t.
определяется экспоненциальной
a
1,t
средней:
;
t
.
0
aS
1,
t
aS
1,0
Выражение (1) можно представить по-другому, перегруппировав члены:
()
(4.8)
Величину (y
t-1–St-1
SS y S
tt t t
111
) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда
новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего
прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.
Этот метод может быть использован как для прогнозирования некоторых
глобальных показателей, так и в системах управления различного уровня.
Главный недостаток этих методов в том, что они рассматривают
временной ряд изолированно от других явлений, и если даже имеется
дополнительная информация, она может быть использована исследователем
лишь путем регулирования скорости адаптации. Кроме того, точность
прогнозов заметно падает при долгосрочном прогнозировании.
4.3 Адаптивные полиномиальные модели
Если для прогнозирования временного ряда, имеющего ярко выраженную
линейную тенденцию, использовать равенство (7), опирающееся на модель
экспоненциального сглаживания, то модель, как правило, будет давать
смещенные прогнозы, т.е. систематическую ошибку. Для таких временных
рядов целесообразно использовать модели линейного роста, также
применяющие процедуру экспоненциального сглаживания.
В этих моделях прогноз может быть получен с помощью следующего
выражения:
()
ta a
1, 2,
tt
(4.9)
где
a
и
1,t
– текущие оценки коэффициентов;
a
2,t
τ – время упреждения прогноза.
53
В таблице 4.1 представлены три модели данного типа:
двухпараметрическая модель Ч.Хольта, однопараметрическая модель Р.Брауна
и трехпараметрическая модель Дж.Бокса и Г.Дженкинса, отличающиеся
рекуррентными выражениями для пересчета текущих оценок коэффициентов
(параметры адаптации или параметры экспоненциального сглаживания
(0 , , ; 1)
123
).
Таблица 4.1 – Модели линейного роста для расчетов прогноза
()
yt a a
1, 2,
tt
Название модели Оценка коэффициентов
(1 )( )
t
()(1)
22
(1 )
(1 )( ) ( )
ttt
()(1)
(1 )
2
2
t
t
Модель Ч. Хольта
Модель Р. Брауна
Модель Дж. Бокса и Г. Дженкинса
ay aa
aaa a
aa a e
aa e
ay aa ee
aaa a
1, 1, 1 2, 1
ttt
11
2, 1, 1, 1 2 , 1
ttt t
1, 1, 1 2, 1
tt t
2, 2, 1
tt
1, 1, 1 2, 1
ttt
11 31
2, 1, 1, 1 2, 1
ttt t
22
В пакете прикладных программ Statistica чаще представлена модель Ч.
Хольта с возможностью выбора оптимальных параметров по критерию
минимума среднеквадратической ошибки путем перебора на сетке возможных
значений. Рекуррентные формулы для оценки коэффициентов по этой модели
могут быть преобразованы к следующему виду, явно показывающему
зависимость корректирующего воздействия от величины ошибки:
aa a e
1, 1, 1 2, 1
tt t
;
1
t
(4.10)
eyy
где
tt
aa e
2, 2, 1
tt
– ошибка прогноза.
t
1
12
,
t
Из выражений (10) видно, что частным случаем модели Ч. Хольта можно
считать модель Р. Брауна, представленную в таблице 4.1. При этом
единственный параметр β играет роль коэффициента дисконтирования
наблюдений.
54
Трехпараметрическая модель Дж. Бокса и Г. Дженкинса представляет
собой развитие модели Ч. Хольта, причем усовершенствование осуществляется
путем включения в выражение для оценивания
разности ошибок.
a
1,t
В ряде работ проводилось теоретическое и экспериментальное сравнение
различных моделей. В результате при обработке экономических временных
рядов значения коэффициента α оказывались близкими к нулю, и авторы
пришли к выводу о нецелесообразности включения в модель разности ошибок.
Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае
экспоненциальных средних более высоких порядков.
Выравнивание р-го порядка
() ( 1) ()
pp p
SS S
tt t
(4.11)
1
является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к
результатам сглаживания (р – 1) - го порядка.
Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан
полиномом степени п, то коэффициенты предсказывающего полинома могут
быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.
В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и
случайной компоненты, описывается полиномом п-го порядка, прогноз на τ
шагов вперед осуществляется по формуле:
где
12 1
, ,...,
aa a
() ...
yt a a a a
– оценки параметров.
n
12 3 1
11
2!
2
n
n
(4.12)
n
На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка.
В таблице 4.2 приведены формулы, необходимые для расчета по моделям
нулевого, I и II порядков.
55
t
1,
()
yt a
(1)
t
Оценка коэффициентов Модель прогноза
1,t
aS
1ttt
tt
1, 2,
()
yt a a
(1) (2)
tt
(1) (2)
tt
2
t
1,
aSS
[]
t
2,
aSS
1
1
(1) ( 2) (3)
tt t
3( )
t
1,
aSSS
tt
(1)
1, 2 ,
()
yt a a
t
1
t
3,
a
2
2
(2) (3)
tt
(1) ( 2) (3)
SS
[(6 5 )
2
2
t
2,
aS
1
2(5 4 ) (4 3 ) ]
1
ttt
(2 )
2
2
t
3,
aSSS
1
56
средние
Экспоненциальные
(1) (1)
SyS
(1) (1)
(2) (1) (2)
ttt
SyS
ttt
SSS
(2 )
(1) (1)
SyS
2
2
2
Начальные условия
Таблица 4.2 – Основные формулы для прогнозирования по адаптивным полиномиальным моделям
(1)
1,0
Sa
1,0 2 ,0
0
(1)
0
Sa a
1,0 2,0
(2)
0
Sa a
1, 0 2,0 3,0
(1)
0
Sa a a
(2) (1) (2)
ttt
2(32)
1, 0 2, 0 3, 0
(2)
Sa a a
(3) (2) (3)
ttt
SSS
2
0
ttt
SSS
2
2
33(43)
1, 0 2 ,0 3, 0
(3)
0
Sa a a
n
Сте-
пень
1 2 3 4 5
0
1
2
4.4 Этапы прогнозирования на основе адаптивных
полиномиальных моделей
Процедура прогнозирования временных рядов на основе адаптивных
полиномиальных моделей состоит из следующих этапов:
1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается
значение параметра сглаживания α. При выборе порядка адаптивной
полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например
графический анализ, применение метода последовательных разностей и др.
2. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной
модели I порядка необходимо определить
,aa
1,0 2 ,0
. Чаще всего в качестве этих
оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные с
помощью МНК. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уровней ряда. Зная эти оценки, с
помощью указанных в табл. 11.3 (гр.2) формул находят начальные значения
экспоненциальных средних.
3. Проводится расчет значений соответствующих экспоненциальных
средних (гр.3).
4. Находятся оценки коэффициентов модели (гр.4).
5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед (гр.5 при 1
);
находится отклонение фактического значения временного ряда от
прогнозируемого. Шаги с 3-го по 5-й данной процедуры повторяются для всех
tn
, где п – длина ряда.
Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в
момент t = п. Прогноз получается на базе выражения (11.12) путем подстановки
в него последних значений коэффициентов и времени упреждения t.
К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести
то, что при поступлении новой информации расчеты повторять не придется.
Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения
функций сглаживания
()i
S и продолжить вычисления.
t
Контрольные вопросы
1. Сущность адаптивных методов прогнозирования.
2.
Экспоненциальное сглаживание.
Адаптивные полиномиальные модели.
3.
4.
Этапы прогнозирования на основе адаптивных полиномиальных
моделей.
57
Задачи для практических занятий
Задача 4.1 Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в
регионе, %
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь
2,99 2,66 2,63 2,56 2,40 2,22 1,97 1,72 1,56 1,42
Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь,
январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального
сглаживания, наименьших квадратов.
Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого
метода.
Сравните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение методом экспоненциального сглаживания
1) Определяем значение параметра сглаживания по формуле:
где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания. α = 2/ (10+1)
= 0,2
2) Определяем начальное значение Uo двумя способами:
І способ (средняя арифметическая) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22
+ 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/10 = 22,13/10 = 2,21
II способ (принимаем первое значение базы прогноза) Uo = 2,99
3) Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого
периода, используя формулу
где t – период, предшествующий прогнозному; t+1 – прогнозный период;
Ut+1 - прогнозируемый показатель; α - параметр сглаживания; Уt - фактическое
значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному;
Ut - экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего
прогнозному.
Например:
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,21 = 2,37 (І способ)
58
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,37 = 2,43 (І способ) и т.д.
ф-Ур
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II способ)
Uапр = 2,63*0,2+(1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II способ) и т.д.
4) По этой же формуле вычисляем прогнозное значение
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,08 = 1,95 (І способ)
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,18 = 2,03 (ІІ способ)
Результаты заносим в таблицу.
Месяцы Уровень
безработицы
Y
t
Экспоненциально
взвешенная средняя U
Расчет средней относительной
ошибки,
t
/У
/ :Уф* 100%
1 способ 2способ 1 способ 2способ
январь 2,99 2,21 2,99 26,09 0
февраль 2,66 2.37 2,99 10,90 12,41
март 2,63 2,43 2,92 7,60 11,03
апрель 2,56 2,47 2,86 3,52 11,72
май 2,40 2,49 2,80 3,75 16,67
июнь 2,22 2,47 2,72
июль 1,97 2,42 2,62
август 1.72 2,33 2,49
сентябрь 1,56 2,21 2,34
октябрь 1,42 2,08 2,18
ИТОГО
Прогноз
1,95 2,03
11,26
22,84
35,47
41,67
46,48
209,58
22,52
32,99
44,77
50
53,52
255,63
ноябрь
5) Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:
ε = 209,58/10 = 20,96% (І способ)
ε = 255,63/10 = 25,56% (ІІ способ)
В каждом случае точность прогноза является удовлетворительной
поскольку средняя относительная ошибка попадает в пределы 20-50%.
59
Задача 4.2 Для представленных данных с помощью метода адаптивного
экспоненциального сглаживания постройте модель, определите наиболее
оптимальный параметр сглаживания, оцените прогнозное значение для
представленного временного ряда на июнь 2020г.
№
Месяц Значение показателя
пп
1 Июнь – 2019 5925,70
2 Июль – 2019 6299,99
3 Август – 2019 6678,60
4 Сентябрь – 2019 7393,06
5 Октябрь – 2019 7883,15
6 Ноябрь – 2019 7798,64
7 Декабрь – 2019 5711,30
8 Январь – 2020 4806,83
9 Февраль – 2020 4669,44
10 Март – 2020 4518,54
11 Апрель – 2020 4313,43
12 Май – 2020 3799,49
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]