Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

№ 4400 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В Ы С Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА

Кафедра цветных металлов и золота

Г.Г. Божко

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ

Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение области оптимума

Учебное пособие

Допущено Федеральным Учебно-методическим объединением по укрупненной группе специальностей и направлений 22.00.00 «Технологии материалов» в качестве

учебного пособия при подготовке бакалавров и магистров, обучающихся по направлениям 22.03.02 и 22.04.02 «Металлургия» соответственно

Москва 2021

УДК 669.2/8 Б76

Р е ц е н з е н т ы :

канд. техн. наук, доц., доцент кафедры порошковой металлургии

ифункциональных покрытий НИТУ «МИСиС» В.Ю. Лопатин; канд. техн. наук, доц., директор по науке ООО «Наноком» Ю.А. Абузин

Божко, Галина Геннадьевна.

Б76 Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение области оптимума: учеб. пособие / Г.Г. Божко. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 70 с.

ISBN 978-5-907227-76-7

В учебном пособии приведены основные понятия и определения параметров оптимизации, факторов, математической модели, полного факторного эксперимента. Рассматриваются методы предпланирования и планирования экспериментов, определения количества опытов, условий и порядка их выполнения, математической обработки результатов и поиска оптимальных условий проведения экспериментов для дальнейшего получения наиболее качественного металлургического продукта с заданными свойствами.

Предназначено для студентов бакалавриата и магистратуры, обучающихся по направлениям 22.03.02 и 22.04.02 «Металлургия», может быть использовано для подготовки к квалификационным экзаменам.

УДК 669.2/8

3

ВВЕДЕНИЕ

Научные исследования – один из наиболее эффективных способов развития технического прогресса, и в этих исследованиях активные эксперименты занимают центральное место. С их помощью решаются вопросы повышения качества металлургической продукции в процессе разработок принципиально новых технологий, материалов, аппаратов и систем управления. Снижение затрат на исследования, сокращение их сроков может быть достигнуто научным подходом к организации труда ученых, правильным осмыслением и обработкой результатов экспериментов.

Статистические методы планирования эксперимента были предложены английским статистиком еще в 1921 г. Рональдом Фишером, показавшим целесообразность и преимущества многофакторных экспериментов по сравнению с однофакторными [1].

В1951 г. Дж. Бокс и К. Уилсон в Англии предложили проводить серии опытов, в которых одновременно по определенным правилам варьировать все факторы. После их математической обработки выбирались условия проведения (планировались) следующие серии экспериментов [2].

Внашей стране вопросы предпланирования, планирования, проведения эксперимента и статистической обработки результатов развиваются с 1960 х гг. Важную роль сыграли здесь работы

В.В.Налимова, Ю.П. Адлера [3–6].

С превращением науки в наиболее эффективную сферу производства, когда вложенные в нее затраты окупаются с большой прибылью, возросла роль планирования научных исследований, приводящего к сокращению времени, материальных и других экономических факторов.

Задача данного курса – овладеть методами планирования эксперимента и обработки экспериментальных результатов с целью их применения при проведении научно-исследовательских работ, научиться формализованному объективному обобщению исследований с получением достоверных данных, освоить практические навыки научной постановки исследований, обработки результатов, оценки степени надежности и достоверности полученных данных.

4

1.  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Планирование эксперимента – это процедура выбора количества и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основная идея метода планирования эксперимента – получить возможность оптимального управления экспериментом при неполном знании механизма изучаемого явления или процесса.

При планировании эксперимента следует:

–– стремиться к минимизации количества опытов с целью экономии материальных, физических и временных затрат для достижения научных результатов;

–– одновременно варьировать все переменные, определяющие данный процесс, по специальным правилам – алгоритмам;

–– использовать математический аппарат, формализующий действия экспериментатора (во избежание влияния на эксперимент субъективных факторов);

–– обосновывать решения после каждой серии экспериментов, чтобы составить план следующего этапа исследований.

Важный момент предэкспериментальной работы – правильная организация экспериментов, которая включает следующие этапы:

1)  планирование экспериментов: выбор параметра оптимизации, основных факторов, определение количества экспериментов, условий и порядка их выполнения;

2)  обработка экспериментальных данных: выбор уравнения математической модели, расчет коэффициентов уравнения, проверка значимости коэффициентов и адекватности математической модели, нахождение области оптимума [6].

В результате можно достичь оптимизации исследований, т.е. определить оптимальное соотношение между действующими на систему факторами при конкретно заданной цели.

Эксперименты могут быть экстремальными и интерполяционными.

Экстремальным экспериментом называется эксперимент, который ставится для решения задачи оптимизации, например когда поставлена цель повышения извлечения ценного компонента при переработке природного сырья. При экстремальном

5

эксперименте цель достигается варьированием условий его проведения (температура, продолжительность, соотношение реагентов и др.) для достижения максимальной степени вскрытия.

Интерполяционным экспериментом называется эксперимент, который позволяет установить связь между условиями эксперимента и заданной целью. При интерполяционном эксперименте определяется, например, в какой степени тот или иной фактор влияет на результат вскрытия сырья.

Объект исследований – это реально существующая система, на которой выполняется эксперимент (рис.  1.1). Объектом исследования может служить процесс, явление, материал, окружающая среда, человек и т.д.

Рис.  1.1. Исследуемый объект с входными и выходными переменными: уn – параметры оптимизации (целевые функции, критерии оптимизации); ху – управляемые факторы, воздействующие на объект исследований; хну – неуправляемые факторы; хнз – неизвестные факторы

Способ воздействия на объект исследования называется фактором (х). Факторы могут быть управляемыми (ху), т.е. можно изменять их значение в соответствии с поставленной задачей, а также неуправляемыми (хну) и неизвестными (хнз). Любые изменения значений факторов должны вызывать изменения в объекте исследований. Отклик объекта исследования на воздействие факторов называется параметром оптимизации (у).

При решении поставленной задачи используют математические модели, описывающие процесс исследований. Под математической моделью понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами:

где f – функция отклика объекта исследования на воздействие факторов.

6

При планировании экспериментов к объекту исследования предъявляют следующие требования.

1.  Объект должен обладать воспроизводимостью, т.е. при проведении опытов при одних и тех же условиях факторов изменение значений параметра оптимизации не должно превышать ошибки эксперимента. Если ошибка эксперимента превышает заданную точность, это значит, что этот объект не обладает воспроизводимостью и не может быть использован для планирования экспериментов.

2.  Объект должен быть управляемым, т.е. изменение значений факторов должно вызывать изменение значений параметров оптимизации. Такой объект исследования называется активным. Если действие неуправляемых и неизвестных факторов на значения параметров оптимизации больше, чем управляемых, то такой объект исследования называется пассивным. Для изучения полного факторного эксперимента мы будем рассматривать активные эксперименты.

В промышленных экспериментах, связанных с непрерывностью и длительностью процессов, значение параметра оптимизации изменяется не только при изменении значений факторов, но и во времени. Это связано с тем, что в объекте исследования происходят процессы, меняющие его характеристики (например, уменьшение активности катализатора, образование настылей на стенках печи, накопление примесей и т.д.), поэтому планирование промышленных экспериментов требует особого изучения.

7

2.  ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

2.1.  Определение параметра оптимизации

Параметр оптимизации (у) – это характеристика цели, заданная количественно. Например, целью исследования является повышение извлечения ценного компонента при переработке концентрата, но без количественной характеристики (каким именно должно быть извлечение) трудно выработать путь к его реализации. Поэтому в качестве цели нужно задавать конкретную величину, допустим, нужно изучить условия процесса, при которых извлечение ценного компонента составит не менее 98 %. Совокупность всех значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения.

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть:

–– экономические (прибыль, рентабельность, затраты и т.д.);

–– технико-экономические (производительность, коэффициент полезного действия, срок эксплуатации и т.д.);

–– технико-технологические (механические, физические, теплофизические характеристики материала, извлечение из сырья и т.д.);

–– прочие (статистические, эстетические, психологические и др.).

Параметр оптимизации должен:

–– задаваться количественно (в виде числа);

–– задаваться одним конкретным числом;

–– быть однозначным в статистическом смысле, т.е. определенному набору значений факторов должно соответствовать одно, с точностью до ошибки эксперимента, значение параметра оптимизации;

–– определяться с наиболее возможной точностью;

–– быть универсальным (полным), т.е. всесторонне характеризовать объект (например, учитывать технологические, технические, экономические и др. требования);

–– существовать для всех значений области экспериментов. В случае когда параметр оптимизации не может быть задан количественно, вводится система баллов, рангов или шкала

8

сравнения. Они играют роль количественной характеристики параметра оптимизации, носящей условный (субъективный) характер.

2.2.  Объекты с несколькими параметрами оптимизации

На практике встречаются объекты исследования, для которых один параметр оптимизации не является достаточной их характеристикой. Так, в некоторых процессах при достижении высокой степени извлечения ценного компонента из сырья значительно падает производительность. Также в гидрометаллургических процессах часто необходимо учитывать одновременно несколько показателей, например высокое извлечение ценного компонента в раствор при выщелачивании с одновременно низким содержанием в нем примесей. Но движение к оптимуму возможно, если выбран один параметр оптимизации.

Есть два способа решения этой задачи. Первый способ заключается в возможности сокращения количества параметров оптимизации проведением корреляционного анализа. Второй способ – учесть интересы нескольких выходных параметров построением обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных.

2.2.1.  Корреляционный анализ параметров оптимизации

Для оценки корреляционной зависимости между параметрами оптимизации рассчитывается коэффициент парной корреляции по формуле

где ry1, y2 – коэффициент парной корреляции, имеющий значения от 0 (корреляции нет) до 1 (совпадение значений полное);

9

u – номер опыта или вычисления; N – число опытов;

y1u – значение первого параметра в u-м опыте; y2u – значение второго параметра в u-м опыте;

`y1 – среднеарифметическое значение первого параметра, рассчитываемое по формуле

u=N

∑y1u

`y2 – среднеарифметическое значение второго параметра, рассчитываемое по формуле

u=N

∑y2u

Рассчитанное значение коэффициента парной корреляции сравнивается с критическим значением (rкрит) (прил.  1). Критическое значение выбирается по уровню значимости α и числу степеней свободы f = N – 1.

Степенью свободы f называется разность между числом факторов и числом коэффициентов (констант), которые вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Уровнем значимости a называется вероятность появления ошибки в эксперименте. Она имеет следующие значения: 1,0; 2,5; 5,0 и 10,0 %, или соответственно в долях единицы: 0,010; 0,025; 0,050; 0,100. Это означает, что, например, при α, равном 0,050, вероятность появления ошибки составляет 5 %, а вероятность правильного результата – 95 %.

Выбор уровня значимости зависит от экспериментатора. Он сам определяет, с какой точностью будет выполняться эксперимент. Наиболее часто в технологических процессах используют значение a = 0,05 (или 5 %), что означает возможность появления ошибки при проверке гипотезы в 5 опытах из 100.

10