Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

Дисперсия рассчитывается по опытам, проведенным в одних и тех же условиях, т.е. по вектор-строке. Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется средним квадратичным отклонением или квадратичной ошибкой:

m

∑(yi −y)2

Ошибки, возникающие при постановке опытов, являются суммарной величиной и складываются из неточностей или измерения факторов, или параметров оптимизации. Все ошибки принято делить на два класса: систематические и случайные.

Систематические ошибки порождаются причинами, действующими регулярно. Эти ошибки можно изучить и определить количественно. Систематические ошибки могут быть постоянными и переменными. К числу постоянных ошибок можно отнести, например, ошибку в показаниях термопары. Величину ошибки определяют градуировкой термопары и сравнением показаний с эталоном. К переменным систематическим ошибкам можно отнести качество сырья.

Случайные ошибки составляют группу элементарных ошибок. Если проводить классификацию этих ошибок по причинам появления, то они могут быть представлены как:

–– ошибки объекта;

–– личные;

–– инструментальные;

–– теоретические и пр.

Личные ошибки могут быть грубыми. Очень важно исключить грубые ошибки, так называемый брак, при повторных опытах. Для этого можно воспользоваться критерием Стьюдента:

где t – критерий Стьюдента.

41

Опыт считается браком, если критерий Стьюдента, рассчитанный по экспериментальным данным, по модулю больше табличного. Табличное значение tтаб определяют при заданном уровне значимости α и степени свободы f. Критерии Стьюдента приведены в прил.  4.

5.3.2.  Дисперсия параметра оптимизации

Мы рассмотрели вопрос о том, как подсчитывается дисперсия в каждом опыте, т.е. по вектор-строке матрицы. Однако матрица планирования состоит из серии опытов, и дисперсия всего эксперимента получается усреднением дисперсий во всех этих опытах. Это называется дисперсией параметра оптимизации или дисперсией воспроизводимости.

Для определения дисперсии воспроизводимости нужно просуммировать все дисперсии в матрице для всех N опытов, а затем разделить на число этих опытов:

где i = 1, 2, 3, …, N – число вектор-строк в матрице; q = 1, 2, 3, …, m – число параллельных опытов.

Эта формула справедлива, когда в каждой вектор-строке матрицы число параллельных опытов одинаково. На практике бывают случаи, когда это условие не соблюдается, например, когда нужно повторить неудачный опыт или отбросить грубую ошибку. Когда число параллельных опытов неодинаково, пользуются средним взвешенным значением дисперсий с учетом числа степеней свободы:

i=1

42

где S21 – дисперсии 1, 2, …, N опытов;

f1, f2, …, fN – степень свободы 1, 2, …, N опыта; fi =mi –1,

где mi – число параллельных опытов (i = 1, 2, …, N).

Формулы для расчета дисперсии параметра оптимизации применимы, если дисперсии однородны, т.е. среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые значительно превышают все остальные.

5.3.3.  Проверка однородности дисперсий

Проверить однородность дисперсии воспроизводимости можно с помощью критерия Фишера (F-критерий), который представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличным значением Fтаб. К этому критерию мы вернемся в разделе, посвященном проверке адекватности модели.

Существует также способ сравнения через критерий Кохрена (G). Он применим, когда во всех точках имеется одинаковое число параллельных опытов [5]. Для этого подсчитывается дисперсия в каждой вектор-строке матрицы по формуле

m

∑(yi −y)2

Далее рассчитывается критерий Кохрена – это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

S2

G = Nmax . (5.16)

∑Si2

i=1

Экспериментальное значение критерия Кохрена сравнивается с табличным. Табличное значение Gтаб выбирается исходя из количества опытов N, степени свободы, которая определя-

43

ется по формуле fi = mi – 1, и уровня значимости a. Для решения технических задач обычно принимают значение a = 0,05 (прил.  5).

Если экспериментальное значение критерия Кохрена G ≤Gтаб, то дисперсии однородны и для расчета дисперсии параметра оптимизации можно пользоваться формулой

Эти расчеты справедливы, когда число параллельных опытов одинаково.

Если G > Gтаб, то опыты необходимо повторить вновь для того, чтобы исключить случайные грубые ошибки. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями, в том числе и субъективными (теми, которые зависят от исследователя, выполняющего эксперименты), опыты необходимо рандомизировать во времени.

Рандомизация – это обеспечение случайного порядка проведения опытов, запланированных матрицей. Для этого используют таблицу случайных чисел (прил.  6).

5.3.4.  Расчет дисперсии воспроизводимости параметра оптимизации

При проверке значимости коэффициентов или гипотезы о пригодности выбранной модели мы используем методы статистики, а именно регрессионный анализ [5].

Регрессионный анализ как статистический метод предполагает выполнение следующих постулатов.

Постулат  1. Параметр оптимизации есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости, которую мы подсчитывали в пункте  5.3.2 – одна из характеристик этого закона распределения.

Постулат  2. Дисперсия параметра оптимизации не зависит от его абсолютной величины. Выполнение этого постулата мы проверяем с помощью критерия однородности.

44

Постулат  3. Значения факторов суть неслучайные величины. Это означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Для того чтобы не забыть об этих постулатах, будем в дальнейшем называть функцию отклика уравнением регрессии:

y =b0 +b1x1 +b2x2 +b12x1x2.

Если все экспериментальные точки лежат на кривой, описываемой этим уравнением, то разность между экспериментальным значением (уэксп) и значением, рассчитанным по данному уравнению (урасч), равна нулю:

Dу =уэксп −урасч =0.

В этом случае нет никакой проблемы. Но на практике чаще бывает иначе – существует некоторая величина, которая равна разности между экспериментально полученным параметром оптимизации и параметром оптимизации, рассчитанным по уравнению. Эта величина называется «невязка». Невязка возможна по двум причинам: во первых, из за ошибки эксперимента, во вторых, из за непригодности модели. Поэтому вначале обычно оценивают ошибку опыта, а потом проверяют пригодность (адекватность) модели.

Метод наименьших квадратов как вычислительный прием предполагает, что сумма квадратов отклонений (невязка) между расчетными и экспериментальными значениями параметра оптимизации является минимальной. Сумма квадратов невязок называется остаточной суммой квадратов.

Рассмотрим в примере, как рассчитывается остаточная сумма квадратов по уравнению в виде неполного полинома первой степени:

y=65,0 +17,5x1 +12,0x2.

Врезультате выполнения опытов с первого по четвертый были получены параметры оптимизации:

45

у1эксп = 94,0; у2эксп = 60,0; у3эксп = 71,0; у4эксп = 35,0.

Расчетные значения урасч получили по суммированию коэффициентов в уравнении регрессии в каждой вектор-строке:

у1расч = 65,0 + 17,5 + 12,0 = 94,5; у2расч = 65,0 – 17,5 + 12,0 = 59,5; у3расч = 65,0 + 17,5 – 12,0 = 70,5; у4расч = 65,0 – 17,5 – 12,0 = 35,5.

Результаты расчета приведены в табл.  5.6.

Невязка в результате расчетов составила 1,0.

Для расчета ошибки опыта нужно знать дисперсию параметра оптимизации или дисперсию воспроизводимости. Эта величина определяется на основании параллельных опытов и характеризует управляемость объекта, причем если в каждой вектор-строке было сделано одинаковое число m параллельных опытов, то дисперсия параметра оптимизации будет рассчитываться по формуле (5.17). На практике параллельные опыты проводят либо дублированием любого опыта матрицы,

46

либо на нулевом уровне, но не менее трех раз. При этом формула для расчета дисперсии воспроизводимости принимает вид

m 2 ∑(yiq −yi )

где m – число параллельных опытов.

5.3.5.  Расчет дисперсии адекватности модели

После расчета коэффициентов модели необходима проверка ее пригодности. Такая проверка называется проверкой на адекватность модели с расчетом дисперсии адекватности. Эта величина определяется по остаточной сумме квадратов и зависит от числа степеней свободы:

N

∑Dyi2

S{2ад} = i f1 , (5.19)

где f1– число степеней свободы.

В статистике числом степеней свободы называется разность между числом опытов N и числом коэффициентов (констант), которые вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Число степеней свободы для полного факторного эксперимента 22 равно:

где N – число опытов;

k – число статистически значимых коэффициентов (b1 и b2); 1 – вводится для учета коэффициента b0.

Однако формула для расчета дисперсии адекватности применима только для ненасыщенных планов в том случае, когда

47

число коэффициентов меньше числа опытов в матрице. Для насыщенных планов адекватность уравнения нужно проверять по нуль-гипотезе.

В планировании эксперимента число степеней свободы для дисперсии адекватности равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

5.3.6.  Проверка значимости коэффициентов

Проверку значимости коэффициентов уравнения регрессии можно осуществить проверкой по критерию Стьюдента и построением доверительного интервала. Для коэффициентов, рассчитанных полным или дробным факторным экспериментом, доверительные интервалы для всех bi и bij равны между собой.

Для расчета значимости коэффициентов необходимо найти дисперсию коэффициента регрессии S{2bi}. Если параллельные опыты отсутствуют, она может быть определена по формуле

Как видно по данной формуле, дисперсии всех коэффициентов равны между собой и зависят только от ошибки опыта и числа опытов. Доверительный интервал (Dbi) будет определяться по формуле

где t – табличный критерий Стьюдента.

Используя формулы (5.21) и (5.22), записываем формулу расчета доверительного интервала:

где S{у} – дисперсия воспроизводимости, определяется по формуле (5.18).

48

Табличное значение критерия Стьюдента t выбирается по уровню значимости α и числу степеней свободы, которое для расчета данного критерия равна f2 = m – 1 (прил.  4).

Сравниваем величину каждого рассчитанного коэффициента в уравнении регрессии c Dbi. Коэффициент уравнения регрессии считается значимым, если он по абсолютной величине больше доверительного интервала: |bi| > Dbi и |bij| > Dbi.

Если |bi| > Dbi и |bij| > Dbi, то коэффициенты статистически незначимые и их можно исключить из уравнения.

Уравнение со статистически значимыми коэффициентами проверяем на адекватность выбранной ранее математической модели.

5.3.7.  Проверка адекватности модели

Для проверки гипотезы об адекватности модели используют критерий Фишера F:

F S{2ад}

= S{2y} . (5.24)

Формулы для расчета дисперсий адекватности и воспроизводимости были рассмотрены выше. Расчетное значение критерия Фишера необходимо сравнивать с табличным значением. Таблицы выполнены для различных уровней значимости. Поскольку критерий Фишера определяется отношением двух дисперсий, которые имеют свои степени свободы, то в таблицах по определению этого критерия по вертикали отложены f1 – использованные для определения S{ад}2 , а по горизонтали f2 – для определения S{2y}. Табличные значения критерия Фишера приведены в прил.  7, 8.

Если Fтабл <Fрасч, то делается вывод о неадекватности модели. В этом случае для получения адекватной модели принима-

ют одно из следующих решений:

1)  переходят к планированию второго порядка;

2)  уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

49

Если Fтабл ≥ Fрасч, то с соответствующей вероятностью можно сказать, что модель адекватна. В этом случае переходят

к следующему этапу – нахождению области оптимума.

5.3.8.  Анализ уравнения регрессии

После того как получено уравнение регрессии, определена значимость коэффициентов уравнения регрессии и проверена его адекватность, можно переходить к анализу данного уравнения. Полученная математическая модель позволяет сделать ряд выводов.

Во-первых, величина коэффициентов уравнения регрессии соответствует вкладу каждого из них в параметр оптимизации, что позволяет осуществить ранжирование степени влияния факторов на изучаемый процесс.

Во-вторых, знаки при факторах («+» или «–») обозначают, что соответственно параметр оптимизации или увеличивается, или уменьшается от воздействия факторов. Знаки при квадратичных членах свидетельствуют о выпуклости или вогнутости изучаемой зависимости, а значения коэффициентов – о радиусе этой кривизны. Знаки при эффектах взаимодействия интерпретируются следующим образом: если эффект взаимодействия имеет знак «+», то увеличению параметра оптимизации соответствуют значения обоих факторов одновременно на нижних или верхних уровнях; знаку «–» отвечает взаимодействие факторов на разных уровнях. Оценив эффекты взаимодействия, можно получить сведения о механизме изучаемого процесса, так как наличие того или иного эффекта свидетельствует об определенном взаимном влиянии факторов друг на друга и их комбинированном воздействии на параметр оптимизации. Для коэффициентов тройного взаимодействия ситуация гораздо более сложная.

Рассмотрим, как это делается на примере.

Пример  3

Пусть мы имеем адекватное уравнение

у =65,0 +17,5х1 +12,0х2,

50