Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

составляется список факторов, влияющих на данный процесс или явление, а также устанавливается область определения каждого фактора. Затем выбирается группа специалистов, принадлежащих к разным научным школам, которым предлагается присвоить каждому фактору ранг по степени его влияния на параметр оптимизации. Наиболее значимому по влиянию на параметр оптимизации фактору присваивается первый ранг, а наименее значимому – последний. Каждый специалист на свое усмотрение может внести дополнительные факторы. Тогда этот фактор должен войти в общий опросный список. Результаты опроса мнений специалистов сводятся в общую таблицу рангов по факторам. Математическая обработка результатов опроса определяет согласованность мнений, что характеризует правильный подбор специалистов. После построения гистограммы, наглядно показывающей значимость фактора от суммы рангов, выбираются основные и отсеиваются второстепенные факторы.

Рассмотрим выполнение способа априорного ранжирования на следующем примере.

Пример  2

Четырем специалистам предложено проранжировать восемь факторов алюминотермического способа восстановления металла из оксида. В качестве факторов взяты следующие:

х1 – наличие флюса; х2 – давление паров в реакторе, Па;

х3 – продолжительность процесса восстановления, мин; х4 – температура процесса восстановления, °С; х5 – избыток восстановителя, %;

х6 – продолжительность процесса перемешивания шихты,

мин; х7 – размер частиц исходного оксида металла, мкм;

х8 – скорость нагрева реактора, °С/мин.

Первый специалист расположил факторы по степени их влияния на параметр оптимизации в следующей последовательности: х5, х6, х7, х3, х2, х1, х4, х8. В соответствии с этой последовательностью фактору х5 присваивается ранг 1, фактору х6 – ранг 2 и т.д. Результаты опроса специалистов приведены в

21

табл.  3.1. Данные опроса обрабатывают следующим образом. Для каждого фактора находят сумму рангов:

j=1

где m – число опрошенных специалистов;

aij – ранг i-го фактора, присвоенный j-м специалистом.

Затем вычисляют отклонение суммы рангов от средней суммы рангов для каждого из факторов:

где Di – отклонение суммы рангов i-го фактора от средней суммы рангов;

k – число факторов.

Так, например, для первого фактора х1 сумма рангов получит значение:

m

∑α1j =6+7+4+6=23;

j=1

для фактора х2 она будет равна:

m

∑α2j =5+8+5+8=26; и т.д.

j=1

Врассматриваемом примере общая сумма рангов для восьми факторов будет иметь значение 23 + 26 + 25 + 23 +5 + 8 +

+12 + 22 = 144, а средняя сумма рангов: 144 : 8 = 18.

Для каждого фактора вычисляют отклонение Di суммы рангов от средней суммы рангов. Отклонение D1 суммы рангов первого фактора от средней суммы рангов:

22

Таблица  3.1

Результаты опроса специалистов

Определив значение Di для каждого фактора и квадраты отклонений Di2, оценивают степень согласованности мнений опрошенных специалистов. Для этого используют коэффициент конкордации W, который вычисляют по формуле

23

Значимость коэффициента конкордации W устанавливают с помощью c2 критерия. Для этого находят расчетное значение c2р:

Расчетное значение c2р сравнивают с табличным значением c2т-критерия, найденным для принятого уровня значимости a и числа степеней свободы f = k – 1.

При уровне значимости a = 0,05 и степени свободы f = k –

– 1 = 8–1 = 7 табличное значение c2т = 14,1. Значения c2т даны в прил.  3.

Гипотеза о наличии согласованности мнений опрошенных специалистов принимается, если c2р ≥ c2т.

В приведенном примере

c2р =4 (8–1) 0,72 =20,2.

Так как расчетное значение c2 критерия больше табличного, делаем вывод о том, что мнения специалистов согласуются. В противном случае можно говорить о несогласованности их мнений. Это значит, что специалистов мы выбрали с кардинально разными мнениями и решением проблемы может быть пересмотр списка специалистов.

Возможны такие ситуации, когда специалист затрудняется однозначно определиться с ранжированием тех или иных факторов. В таких случаях появляются «связанные ранги».

Например, специалист 1, ранжируя восемь факторов, не может определиться с рангом для факторов x2 и x3, колеблется между четвертым и пятым местом. В данном случае номер ранга усредняется:

Nx2,x3 =(4 +5)/2 =4,5.

Третий специалист факторам x3, x4 и x8 присваивает седьмое местоврядуранжирования,вместошестого,седьмогоивосьмого:

Nx3,x4,x8 =(6 +7 +8)/3 =7.

24

Результаты опроса специалистов при наличии «связанных рангов» представлены в табл.  3.2.

Таблица  3.2

Результаты опроса специалистов при наличии «связанных рангов»

При наличии «связанных рангов» коэффициент конкордации рассчитывается с учетом этой особенности и в формулу вводится дополнительно показатель Тj:

Тj =121 ∑(tu3 –tu ),

где tu – число одинаковых рангов в u-й группе из ряда факторов, проранжированных j-м специалистом.

Т1 =121 (23 –2)= 812–2 =0,5; Т2 =0; Т3 =121 (33 –3)= 2712–3 =2;

Т4 =121 (23 –2)+(23 –2) =0,5+0,5 =1.

25

Рассчитываем коэффициент конкордации с учетом связанных рангов по формуле (3.4):

Далее расчет c2р и проверка гипотезы о согласованности мнений специалистов проводятся аналогично примеру, рассмотренному выше.

Убедившись в согласованности мнений специалистов, строим диаграмму рангов. При построении этой диаграммы по оси абсцисс откладывают факторы в порядке убывания суммы их рангов, а по оси ординат – величину суммы рангов по соответствующему фактору. Важно откладывать суммы рангов в масштабе, чтобы в дальнейшем наглядно оценить значимость факторов для параметра оптимизации, а значит, и для исследуемого процесса. С помощью диаграммы рангов определяем наиболее влияющие факторы и отсеиваем факторы, оказывающие несущественное влияние на параметр оптимизации: чем меньше сумма рангов фактора, тем большее влияние он оказывает на исследуемую величину.

Из диаграммы рангов (рис.  3.2) следует, что больше других влияют на параметр оптимизации, по мнению опрошенных специалистов, факторы х5, х6 и х7. Остальные факторы оказывают меньшее влияние, и их можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рис.  3.2. Диаграмма рангов

26

Распределение степени влияния факторов может быть равномерным или неравномерным, но монотонно убывающим (рис.  3.3). В таком случае в дальнейшие исследования процесса необходимо включать все факторы.

Сумма рангов

Факторы

Рис.  3.3. Пример возможной диаграммы рангов

В случае быстрого экспоненциального падения степени влияния факторов (рис.  3.4) часть факторов (х1, х4) можно исключить из дальнейшего изучения процесса. При неоднозначности ситуации при исключении того или иного фактора необходимо иметь в виду натуральное значение этого фактора, т.е. нужно вернуться к перечню факторов и оценить его технологическую значимость. Если без него невозможно провести эксперимент (температура или продолжительность опыта), мы должны оставить его как значимый.

Сумма рангов

Факторы

Рис.  3.4. Пример экспоненциального падения влияния факторов в диаграмме рангов

27

Также нужно иметь в виду, что при выборе значимых и исключении незначимых факторов мы не можем из непрерывно убывающей последовательности суммы рангов исключить тот или иной промежуточный фактор, например х5 или х7, но оставить х4 (см. рис.  3.4).

28

4.  ВЫБОР МОДЕЛИ И МЕТОДА ПЛАНИРОВАНИЯ

Вразделе  1 было дано определение математической модели, связывающей факторы и параметр оптимизации через функцию

отклика у = f(х1, х2, х3, …, хk). Выбор модели заключается в определении вида этой функции и представлении ее математическим уравнением зависимости параметра оптимизации от действующих на объект исследования факторов. Одним из требований, предъявляемых к модели, является ее способность предсказать направление дальнейших исследований. Такое направление называется направлением градиента, и движение по этому направлению быстрее приведет к успеху, а значит, к экономии времени

иматериальных затрат. Наша задача – выбрать такую модель, чтобы она хорошо предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Кроме того, величина параметра оптимизации, вычисленная с помощью модели, не должна отличаться от экспериментальной более чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, отвечающая данному требованию, называется адекватной. Если несколько моделей являются адекватными, то выбирается наиболее простая.

Впланировании эксперимента, когда априорно неизвестен вид модели, она представляется в виде одного из полиномов

в случае двухфакторного эксперимента:

–– нулевой степени:

у = b0;

–– первой степени:

y = b0 + b1x1 + b2x2;

–– второй степени:

у = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1х2 + b11x12 + b22x22;

–– третьей степени:

у= b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1х2 + b11x12 + b22x22 +

+b112x12х2 + b122x1x22 + b111x13 + b222x23,

29

где b0, b1, b2 и т.д. – коэффициенты уравнения; x1, x2 – уровни факторов (+1 или –1).

Таким образом, неизвестная функция отклика представляется полиномом.

Если математическая модель имеет вид полинома, то она носит название полиномиальной. Коэффициенты этого уравнения интерпретируются как коэффициенты ряда Тейлора. Такое уравнение также принято называть уравнением регрессии. Оно отражает связь между зависимой переменной у и независимыми переменными x при условии статистической значимости этого выражения. Полиномиальные модели применимы прежде всего при решении оптимизационных задач, например при определении оптимальных условий протекания технологических процессов. Кроме того, полиномиальные модели очень удобны в том плане, что, повышая порядок полинома, можно улучшать аппроксимацию (операцию замены одной функции другой, эквивалентной ей). В то же время аппроксимирующая функция по своим параметрам остается достаточно простой. Это облегчает последующие статистические операции, например выбор оптимального расположения экспериментальных точек в факторном пространстве, применение метода наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии и т.д. [5].

Из разных полиномов выбирается тот, у которого меньше коэффициентов и который одновременно удовлетворяет требованиям, предъявляемым к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэффициентов. Этим требованиям отвечает полином 1 й степени, коэффициенты которого рассчитываются методом полного или дробного факторного эксперимента. При этом если модель неадекватна, то увеличивается степень полинома (вторая, третья, четвертая и т.д.) до тех пор, пока модель не окажется адекватной.

Для определения коэффициентов уравнения необходимо спланировать и провести эксперимент, а затем определить значение параметра оптимизации в каждом опыте.

При планировании экспериментов решаются две задачи. Первая – это поиск оптимальных условий. Экстремальный

30