Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

где параметр оптимизации у – степень растворения CaWO4 в HCl, %;

х1 – температура, °С; х2 – продолжительность, мин.

В выбранных условиях наибольшее влияние на растворение CaWO4 в HCl оказывает температура процесса (b1 = 17,5), на втором месте по влиянию – продолжительность растворения

(b2 = 12).

Оптимизируя у, мы стремимся получить максимальное значение степени растворения CaWO4 в HCl.

Рассчитаем значение параметра оптимизации, когда оба фактора на верхнем уровне. Подставив в уравнение х1 = +1 и х2 = +1, получим

у =65+17,5(+1)+12(+1)=94,5 %.

Теперь, подставив х1 = –1 и х2 = –1, получим

у =65+17,5(–1)+12(–1)=35,5 %.

Нетрудно получить расчетные значения степени растворения CaWO4 в HCl, когда факторы поочередно принимают различные уровни. Аналогично можно оценить также коэффициенты межфакторных взаимодействий bij и их влияние на параметр оптимизации.

Итак, мы получили уравнение регрессии и проанализировали влияние факторов на процесс. Теперь можно приступить к нахождению области оптимума.

51

6.  НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПТИМУМА

Речь идет о поиске той области факторного пространства, где изучаемый процесс или явление протекает оптимальным образом. Задачу оптимизации в теории планирования экспериментов можно сформулировать как поиск значения управляющих факторов х1, х2, …, хk объекта исследования, при которых критерий оптимизации у достигает своего экстремального значения. Единственным условием, ограничивающим решение такой задачи, является требование, чтобы факторы находились в области допустимых значений. Эта область выбирается исследователем для каждого фактора в отдельности; при этом учитываются физические и химические свойства используемых материалов, возможности экспериментальной установки и т.д. При решении экстремальных задач нет необходимости описывать всю поверхность отклика во всей интересующей исследователя области. Выгоднее и целесообразнее такую задачу решать поэтапно, последовательно, разбивая ее на ряд отдельных, более простых элементов.

Для определения области оптимума существует несколько методов [3, 5, 8]. Наиболее простыми и не требующими большого числа дополнительных экспериментов являются метод градиента, модифицированный метод градиента, метод крутого восхождения.

6.1.  Метод градиента

Адекватная линейная модель имеет вид полинома первой степени. Коэффициент полинома представляет собой частные производные функции отклика по соответствующим переменным (факторам). С использованием этой особенности коэффициентов bi был разработан метод градиента. Он основан на том, что наиболее короткий путь к вершине – направление градиента функции отклика. Градиент есть вектор:

52

где grady(x) – градиент;

∂y / ∂xn – частная производная.

Составляющие градиента есть частные производные функции отклика. Таким образом, полученные коэффициенты уравнения регрессии b1 и b2 есть частные производные.

Изменяя факторы пропорционально величинам коэффициентов уравнения регрессии, можно двигаться к области оптимума (экстремума).

Значение коэффициента х1 равно тангенсу угла наклона между прямой (уравнением регрессии) у = b0 + b1x1 и осью фактора. При умножении тангенса на интервал варьирования, который является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике ОАВ (рис.  6.1), получается значение противолежащего катета АВ, определяющего координаты точки, лежащей на градиенте. Эта величина называется шагом.

Рис.  6.1. График метода градиента

53

В случае наличия нескольких факторов процедура получения точки для других факторов сводится к операции перемножения коэффициентов bi на соответствующие интервалы, так как все факторы независимы друг от друга. Полученные произведения коэффициентов регрессии на их интервалы можно одновременно умножать и делить на одно и то же положительное число. При этом будут получаться точки, лежащие на том же градиенте, но с другим шагом. Нижняя граница – возможность фиксирования двух соседних опытов, верхняя – область определения фактора. Для удобства расчетов шаги обычно округляют.

За основу могут быть взяты факторы на любом уровне (верхнем или нижнем). Если нет каких либо ограничений, то можно за основу брать нулевой уровень. Для наглядности разберем пример.

Пример  4

Найти область оптимума процесса растворения CaWO4 в HCl. Адекватное линейное уравнение регрессии имеет вид

у =65,0 +17,5х1 + 12,0х2,

где х1 – температура, °С; х2 – продолжительность, мин.

Значения уровней и интервалы варьирования для соответствующих факторов приведены в табл.  6.1.

При перемножении значения интервала варьирования Dхi на соответствующие значения коэффициентов bi получаем величину шага:

54

b1 Dx1 =17,5 10 =175; b2 Dx2 =12,0 10 =120.

Получается величина шага для х1 – 175 °С, для х2 – 120 мин. Однако шаг для фактора х1 слишком большой, и при температуре 175 °С нужно будет переходить от атмосферных к автоклавным процессам. Следовательно, необходимо провести коррекцию шага, т.е. разделить его на положительное число А, например 15:

17515 =11,7.

Шаг для фактора х2 нужно также пропорционально уменьшить, разделив на ту же величину:

12015 =8,0.

Далее необходимо сделать вторую корректировку, округлив полученные значения шага до удобной для опыта величины, а именно 11,7 округляется до 10 °С, так как точность поддержания температуры по условиям эксперимента составляет ±1 °С. Значение фактора х2 округляется до 5 мин, так как это позволит нам получать более удобные условия проведения опыта.

Теперь необходимо рассчитать условия для проведения дополнительных опытов на градиенте. После расчета шага проводится алгебраическое сложение полученного произведения

DAxi biDAxi со значениями факторов на основном уровне. В дан-

ном случае к х1 прибавляется 10 °С, к х2 – 5 мин. Получаются координаты (условия) проведения дополнительных опытов. Если бы значение коэффициента bi было отрицательным, то и произведение biDхi стало бы отрицательным. Поэтому в результате алгебраического сложения со значением фактора хi на основном уровне шаг будет вычитаться и при движении к области оптимума значение фактора будет убывать. Полученные результаты представлены в табл.  6.2.

55

После получения координат первого дополнительного опыта проводят эксперимент и получают значение у1 = 89,0. Затем к координатам первого опыта алгебраически прибавляют величину шага, делают эксперимент и получают у2 = 96,2. Так идут последовательно до тех пор, пока не будет получено максимальное значение параметра оптимизации уmax. На этом дополнительные опыты останавливают.

При последовательном проведении дополнительных опытов один из факторов может достичь верхнего предела области его определения. Например, х1 не может быть увеличен более 90 °С, так как наступает изменение состояния системы объекта оптимизации, т.е. раствор начинает интенсивно кипеть. В этом случае значение температуры в дальнейших дополнительных опытах фиксируется на 90 °С. Опыты 5, 6 и 7 выполняются только при изменении значений фактора х2 до тех пор, пока последующее значение y не будет равно предыдущему или не начнет уменьшаться. Это является свидетельством достижения области оптимума. Поставленная задача по нахождению области оптимума выполнена.

56

6.2.  Модифицированный метод градиента

Модифицированный метод градиента рекомендуется применять тогда, когда значение у близко по своему значению к оптимальному. Сущность метода заключается в том, что рабочий шаг пропорционально убывает с увеличением номера опыта. Метод объединяет элементы полного факторного (или дробного) эксперимента с методом градиента.

Опыты 1 и 2 выполняем по методу градиента (см. табл.  6.2), а затем переходим к модифицированному методу.

Величина шага в опытах 3, 4 и 5 уменьшается согласно выражению

b1 Dxi

где n – номер опыта.

Коэффициент перед n может принимать значения от 1,0 до 0,1 в зависимости от того, насколько близко к оптимальному находится значение функции отклика y.

На величину шага наложено ограничение снизу. Он должен быть больше утроенной величины квадратичной ошибки опыта, в том числе ошибки прибора, на котором проводят анализ опытных проб. В табл.  6.3 представлен пример расчета условий проведения опытов в модифицированном методе градиента.

57

6.3.  Метод крутого восхождения

Крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться:

–– вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования;

–– включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации;

–– большой ошибки эксперимента.

Принятие решения в данной ситуации зависит от того, какая из трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию экспериментов. Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из экспериментов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных экспериментов. Увеличение их числа приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми. Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки эксперимента. В этой ситуации возможны два решения:

1)  расширение интервалов варьирования;

2)  повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения и увеличения числа параллельных опытов.

Процедура крутого восхождения состоит из следующих этапов. Проводится полный факторный эксперимент, проверяется значимость коэффициентов и адекватность модели, вычисляются значения произведений biDхi, проводится корректировка. Таким образом, операции аналогичны методу градиента. Отличие состоит в том, что проводятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении «предсказанных» значений параметра оптимизации. Через два-три «мысленных шага» ставится эксперимент на объекте для проверки соответствия аппроксимации объекта адекватному уравнению регрессии. Полученное значение сравнивается с «предсказанным». По-

58

скольку каждое последующее значение приближается к области экстремума, то величина шага biDхi постепенно уменьшается аналогично модифицированному методу градиента.

Реализацию «мысленных опытов» необходимо проводить по заранее выбранной стратегии: либо сразу проводить все запланированные опыты, либо последовательно по установленному плану в зависимости от результатов двух-трех проведенных опытов. Стратегия выбирается в зависимости от трудоемкости опытов. Длительные по времени опыты целесообразнее реализовывать полностью по выбранному плану. Последовательная стратегия может затянуть экспериментальную часть исследований, что приведет к увеличению материальных, физических, временных затрат.

59

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение методов предэкспериментальной подготовки исследований, методов планирования экспериментов, выбор математической модели, устанавливающей связь между факторами, оказывающими воздействие на объект исследования и результатами этого воздействия, позволяет установить наиболее эффективные условия проведения исследований с гарантированным по качеству результатом. Математическая обработка результатов, проведенных по определенному плану экспериментов, позволяет достичь оптимизации исследований, т.е. определить наилучшее соотношение между действующими на систему факторами при конкретно заданной цели.

Освоение курса «Статистические методы управления качеством металлургической продукции» позволит повысить профессиональную подготовку бакалавров и магистров, обучающихся по направлению «Металлургия».

60