Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

эксперимент ставится для решения задачи оптимизации. Оптимизация – это установление оптимальных соотношений между действующими на объект исследования факторами при конкретно заданной цели. Вторая – когда интересует не оптимум, а полученный с требуемой точностью результат во всех точках заранее заданной области. В этом случае возникает задача построения интерполяционной модели. Интерполяционный эксперимент – это эксперимент, который позволяет установить связь между действующими факторами и заданной целью. При работе с этой моделью может возникнуть необходимость последовательно повышать степень полинома до тех пор, пока модель не станет адекватной. Если адекватной окажется линейная модель или неполная квадратная (без квадратичных членов), то построение ее будет аналогичным построению в случае оптимизации.

31

5.  ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

Планирование эксперимента включает два этапа:

–– изучение влияния факторов на параметр оптимизации;

–– нахождение области оптимума.

Для изучения влияния факторов применяют полный или дробный факторный эксперимент. Влияние факторов на параметр оптимизации проявляется через значение коэффициентов bi полинома первой степени. Величина коэффициентов уравнения регрессии соответствует вкладу каждого из них в параметр оптимизации. Знак перед коэффициентом bi показывает, как изменяется параметр оптимизации (у) при нахождении фактора на верхнем или нижнем уровне.

5.1.  Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Первый этап планирования эксперимента основан на выборе и построении плана. Если мы принимаем, что факторы варьируются на двух уровнях (верхнем и нижнем), то имеем полный факторный эксперимент типа 2k. Необходимое число опытов определяется по формуле

где N – общее число опытов; 2 – число уровней;

k – число факторов.

Разберем случай полного факторного эксперимента для двух факторов: х1 и х2. Все возможные сочетания факторов приведены в табл.  5.1. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую сроку – векторстрокой, в которой закодировано условие одного из всех возможных опытов. Таким образом, мы имеем два вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра

32

оптимизации (конкретные значения которого появятся только после проведения опытов).

Таблица  5.1

Матрица планирования для двухфакторного эксперимента

Рассмотрим графическую интерпретацию на рис.  5.1. Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента. В задачах интерполяции область эксперимента есть область предсказанных значений уi.

Рис.  5.1. Область эксперимента для N = 2k

5.1.1.  Свойства матрицы планирования для ПФЭ

Общие свойства, которыми обладают матрицы планирования, рассмотрим на примере двухуровнего эксперимента (N = 2k).

33

Цель планирования эксперимента – получить модель, причем оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть отнаправления в факторном пространстве, так как заранее не ясно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.

Матрицы планирования обладают рядом свойств. Первое – симметричность относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю:

i=1

где i – номер вектор-строки; N – число опытов;

j – номер фактора (j = 1, 2, …, k).

В матрице планирования сумма почленных произведений любых вектор-столбцов должна быть равна нулю. Это второе свойство называется ортогональностью и формулируется следующим образом: все факторы расположены симметрично относительно центра эксперимента и оцениваются с минимальной дисперсией:

i=1

где j ≠ u;

j, u = 0, 1, 2, …, k.

Третье свойство матрицы планирования – ротатабельность. Это свойство выражается в том, что точки в матрице планирования подбираются так, чтобы точность предсказания значений параметра оптимизации была одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависела от направления.

Последнее, четвертое свойство матрицы называется условием нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов N. Это следует из того, что в матрице формализованное значение факторов принимается равным +1 и –1.

34

5.1.2.  Способы построения матрицы 2k

Существует несколько способов построения матрицы, но главное условие – исключение вероятности повторения одинаковых опытов. При большом количестве факторов число экспериментов резко увеличивается, поэтому с целью исключения ошибки установили правила для простановки знаков в матрице. Для упрощения записи при обозначении уровня фактора вместо +1 и –1 проставляем в матрице только знаки «+» и «–».

Первый способ – удвоение знака по вектор-столбцу. Для трехфакторного эксперимента N = 23 = 8 матрица представлена в табл.  5.2.

В первый вектор-столбец для фактора x1 знаки проставляются простым чередованием. Для фактора x2 – удвоение знака первого опыта, затем второго и т.д. Для фактора x3 – чередование удвоенного знака предыдущего фактора x2.

Второй способ – способ буквенных (символьных) обозначений. Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: x1 = а, x2 = b, x3 = с и т.д. В матрицебуквазаписывается,еслифакторнаходитсянаверхнемуровне. Для соблюдения свойства симметричности матрицы опыт со всеми факторами на нижнем уровне условно обозначаем (–1). Матрицу планирования можно записать буквенным чередованием:

a, b, c, ab, ac, bc, abc, (–1).

35

Матрица со всеми принятыми буквенными обозначениями приведена в табл.  5.3.

Таблица  5.3

Построение матрицы планирования для трехфакторного эксперимента способом буквенных обозначений

После простановки знаков в матрицу планирования необходимо провести проверку на симметричность: алгебраическая сумма знаков каждого вектор-столбца должна быть равна нулю.

5.2.  Расчет коэффициентов модели

Основная задача планирования – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов bk в уравнении модели. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения: y = b0 + b1x1 + … + bkxk. Их точность зависит от свойств выборки, поэтому необходимо дать им статистическую оценку.

Мыранеепостроилиматрицупланирования22 (см.табл.  5.1). Для данной матрицы линейная модель соответствует уравнению

Коэффициенты данного уравнения рассчитываются по формуле

36

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превращается в простую арифметическую процедуру. Для подсчета коэффициента b1 используется вектор-столбец х1, а для b2 – вектор-столбец х2. Каждые значения параметра оптимизации в вектор-строке у1, у2, у3 и у4 необходимо умножить на знак икса в вектор-столбце, затем сложить все произведения. Полученная сумма, поделенная на число опытов, даст значение коэффициентов b1 и b2:

b1 = (−1)y1 +(−1)y2 +(+1)y3 +(+1)y4 ;

4

b2 = (−1)y1 +(+1)y2 +(+1)y3 +(−1)y4 .

4

Чтобы получить коэффициент b0, необходимо сложить все уi и разделить на число опытов:

Для того чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной х0 (табл.  5.4), которая принимает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы (5.5), где j принимало значение от 0 до k [5, 8].

37

Итак, мы получили все необходимое для расчета коэффициентов линейной модели (полинома первой степени):

y =b0 +b1x1 +b2x2.

Коэффициенты при неизвестных переменных указывают на силу влияния факторов: чем больше численное значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на функцию отклика (у). Если коэффициент имеет знак «+», то с увеличением значения фактора при переходе от нулевого уровня к верхнему уровню параметр оптимизации увеличивается, а если «–» – то уменьшается. Величина коэффициента соответ-

ствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к верхнему уровню, когда основной уровень не имеет физического смысла (в случае двухфакторного эксперимента). Вклад, определенный таким образом, называется эффектом фактора или главным эффектом. Он численно равен удвоенному коэффициенту.

Планируя эксперимент, мы построили линейную модель. Однако нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Часто эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Чтобы учесть возможную нелинейность в рамках ПФЭ,

вуравнение линейной модели вводят коэффициенты типа bij, bijk

ит.д. при смешанных факторах х1х2, х1х2х3 и т.д. Они называются эффектами взаимодействия или межфакторными взаимодействиями. Примером межфакторного взаимодействия может служить взаимная зависимость температуры процесса и времени протекания химической реакции: повышение температуры может сократить время эксперимента, и наоборот, уменьшение

температуры может увеличить его продолжительность.

Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействий представлена в табл.  5.5. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить эффекты взаимодействия. Для этого надо,

38

пользуясь правилом перемножения вектор-столбцов, получить дополнительный столбец от произведения двух факторов.

Таблица  5.5

Матрица планирования с учетом эффекта взаимодействий

Следует заметить, что при добавлении векторов-столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матрицы планирования сохраняются. Теперь модель будет иметь вид неполного полинома второй степени:

При вычислении коэффициента b12 для нового вектор-столб- ца используют те же правила, что и для вектор-столбцов других факторов:

b12 =(+1)y1 +(−1)y2 +(+1)y3 +(−1)y4 .

4

В общем виде формула для вычисления коэффициента b12 имеет вид

В задачах оптимизации, когда главная цель – нахождение области оптимума, влияние межфакторных взаимодействий нужно минимизировать. Напротив, в задачах интерполяции, когда требуется изучить влияние факторов на параметр оптимизации, выявление эффектов взаимодействия весьма важно и интересно.

39

5.3.  Обработка результатов эксперимента

Проведение опытов по построенной матрице планирования позволяет перейти к следующему этапу – математической обработке экспериментальных данных. Важной задачей является определение достоверности результатов экспериментов, а именно их воспроизводимости, и величины ошибки, с которой они выполняются.

5.3.1.  Расчет ошибки эксперимента

При проведении экспериментов по построенному плану-ма- трице и получении параметров оптимизации в каждом опыте (уi) рационально сразу провести повторные (параллельные) опыты, которые выполняются при одинаковых условиях несколько раз (не менее трех). О наличии ошибки эксперимента можно судить по несовпадающим результатам в данных опытах. Эту ошибку можно и нужно оценить. Определяем среднеарифметическое значение параметра оптимизации параллельных опытов:

где m – число параллельных опытов.

Отклонение результата каждого параллельного опыта yi от среднего арифметического можно представить как разность между этими величинами. Для измерения этого отклонения используют понятие дисперсии [5, 8].

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений измеряемой величины от ее среднего значения:

m

∑(yi −y)2

где m – 1 = f – степень свободы.

40