Статистические методы управления качеством металлургической продукции. Параметры оптимизации. Факторы. Полный факторный эксперимент. Нахождение област

Если ry1,y2 ≥ rкрит – имеется корреляционная линейная

связь, если ry1,y2 < rкрит – нет линейной связи.

При наличии корреляционной линейной связи между параметрами оптимизации один из параметров оптимизации можно исключить.

2.2.2.  Обобщенный параметр оптимизации

В практической деятельности часто возникает задача определения нескольких независимых выходных параметров оптимизации, каждый из которых весьма важен, например, когда целью исследований должна быть максимальная степень возгонки двух ценных компонентов в газовую фазу при минимальном пылевыносе и определенном температурном режиме. В данном случае применяют метод определения обобщенного параметра оптимизации, который включает значения каждого из выходных параметров и устанавливает оптимальное соотношение между ними. Кроме того, нередко они различаются по физическому смыслу, единицам измерения, числовым значениям и т.д. Поэтому необходим такой признак, по которому их можно было бы сравнивать. В качестве такого признака американский статистик Дж. Харрингтон предложил так называемую функцию желательности, впервые примененную им в задачах контроля качества массовой продукции [7]. Эта шкала по имени автора получила название «шкала Харрингтона». Она устанавливает соответствие между эмпирическими оценками желательности (предпочтений) значений показателя х (уровнями желательности) и числовыми интервалами d(х) (табл.  2.1).

11

При таком шкалировании значения функции желательности d(x) изменяются в интервале от 0 до 1, причем значение di, стремящееся к нулю, соответствует абсолютно неприемлемой величине показателя качества, а при значении di, стремящемся к единице, – идеальной величине.

Шкала желательности выражается уравнением

где d – частная желательность параметра оптимизации; е – основание натурального логарифма; уш – шкала сравнения от –3 до +3.

При всей кажущейся сложности функции Харрингтона она обладает рядом положительных свойств. Во-первых, ее можно рассчитать, задаваясь только значениями уш. Во-вторых, частная желательность исчисляется в пределах от 0,951 при уш = 3 до близкой к нулю при уш = –3 (см. табл.  2.1). В-третьих, она легко и наглядно выражается графически.

На рис.  2.1 представлен график функции d =e−e −yш в координатах d – уш. Значения частных желательностей di при различных значениях точек на шкале уш для построения функции Харрингтона представлены в прил.  2.

После выбора шкалы желательности для каждого параметра оптимизации и преобразования их значений в частные функции желательности (di), можно рассчитать обобщенный параметр оптимизации D, названный Харрингтоном обобщенной функцией желательности:

где n – количество параметров оптимизации; i – номер параметра оптимизации;

П – произведение частных желательностей параметров.

Рассмотрим пример построения обобщенного параметра на реальных технологических режимах.

12

Пример  1

1.  На предприятии извлечение ценного компонента составляет у1 – 97 %.

2.  Производительность печи составляет у2 – 4 т/м2 в сутки. 3.  По техническим условиям остаточное содержание серы

в конечном продукте не должно превышать у3 = 0,5 %. Выполненными опытами при изменении различных техно-

логических показателей процесса (температуры, скорости вращения печи, избытка воздуха и др.) получены натуральные значения параметров оптимизации, представленные в табл.  2.2.

Рис.  2.1. График функции d =e−e −yш

Порядок выполнения.

1.  Строим график функции Харрингтона, используя таблицу из прил.  2.

2.  Под графиком функции Харрингтона наносим оси натуральных значений параметров оптимизации по граничным условиям, отвечающим уровням желательности 0,951 («очень хорошо») и 0,368 («удовлетворительно») (рис.  2.2).

13

Рис.  2.2. График функции d =e−e −yш для расчета желательностей трех параметров оптимизации

3.  По графику функции Харрингтона определяем частные желательности параметров оптимизации и рассчитываем значения обобщенных параметров оптимизации в каждом опыте. Результаты заносим в табл.  2.2.

4.  Исходя из граничных точек на шкале желательности, определяем уровень желательности в каждом опыте (см. табл.  2.1). В данном примере условия опыта 5 дают лучший результат (D = 0,85), соответствующий уровню «очень хорошо».

Вывод. Наилучший результат, учитывающий все три параметра оптимизации, – в опыте 5, поэтому процесс должен выполняться по условиям этого опыта.

14

15

3.  ФАКТОРЫ

3.1.  Понятие фактора

Проведение эксперимента трудно представить без установления зависимостей между теми или иными воздействиями на объект исследования и результатами этого воздействия. Научная работа обязательно включает построение этих зависимостей в виде графиков, кривых, диаграмм и пр. К выбору перечня этих воздействий (факторов) необходимо подходить с большой ответственностью.

Вспомним, что фактором (х) называется переменная величина, характеризующая способ воздействия на объект исследования и принимающая в результате действий экспериментатора в некоторые моменты времени определенное значение. Совокупность значений, которые может принимать фактор, называется областью его определения. При исследовании металлургических процессов факторами могут быть температура, продолжительность опытов, количество исходного вещества, избыток реагента, концентрации взаимодействующих веществ и т.д.

К факторам предъявляются следующие требования.

1.  Они должны задаваться количественно. Факторы, которые не могут быть заданы количественно, называются качественными факторами. Для их оценки вводится система баллов, шкала ранжирования или таблица сравнения. Заменой качественных оценок на количественные пользуются, например, при оценке знаний школьников и студентов, выступлений спортсменов в соревнованиях и участников в творческих конкурсах и т.д.

2.  Они должны быть управляемыми, т.е. при необходимости можно менять их значения или поддерживать постоянными в продолжение эксперимента.

3.  Они должны обладать высокой точностью при их измерении или варьировании.

4.  Они должны быть однозначными, т.е. не зависеть от других факторов. Если имеются зависимые факторы, то часть их можно исключить из условий эксперимента.

16

При выборе условий проведения экспериментов прежде всего оцениваются границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения трех типов:

1)  принципиальные ограничения для областей определения факторов. Например, проводим процесс, когда температура может быть ограничена нижним пределом – температурой кристаллизации сплава и верхним пределом – температурой его плавления;

2)  ограничения, связанные с технико-экономическими показателями, в качестве примера можно привести минимальную и максимальную рыночную стоимость сырья, реагентов, электроэнергии, транспортных расходов и т.д.;

3)  ограничения, обусловленные возможностями проведения экспериментов при выбранных условиях, например техническими возможностями установки или измерительных приборов.

В уравнении (1.1) воздействие на параметр оптимизации у представлено несколькими факторами хk, имеющими различный физический смысл (например, температура, продолжительность опыта, состав вещества), разные размерности и единицы измерения. Поэтому они не могут быть представлены в уравнении натуральными значениями. Для сравнения факторов между собой вводится шкала их сравнения, когда каждый фактор в опыте принимает одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний объекта исследования, т.е. условия проведения эксперимента.

Количество возможных опытов зависит от количества уровней и факторов и при одинаковом количестве уровней каждого фактора определяется формулой

где N – количество опытов;

Р – количество уровней факторов; k – количество факторов.

17

3.2.  Определение уровней факторов

При выборе уровней факторов исследователь должен опираться:

–– на анализ технической литературы, опубликованных научных статей, докладов и пр. (необходимо рассматривать аналогичные процессы);

–– результаты выполненных работ научного коллектива, занимающегося данными исследованиями (например, опросы специалистов, работающих в этом научном направлении);

–– результаты предварительных опытов при различных значениях выбранных факторов с получением желательного значения цели (параметра оптимизации).

Результатом анализа данной априорной (предварительной) информации является выбор комбинаций уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Исходная точка для построения плана эксперимента называется основным (нулевым) уровнем (ОУ). Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно основного уровня [5].

Интервалом варьирования факторов (D) называется некоторая величина, прибавление которой к основному уровню (ОУ) дает верхний уровень (ВУ), а вычитание – нижний уровень (НУ) фактора:

ВУ = ОУ + D;

НУ = ОУ – D.

Задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Каждый фактор имеет свой интервал варьирования, зависящий от его физического смысла, натурального значения, размерности и пр. В факторном пространстве интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним или нижним уровнями (рис.  3.1). Для упрощения записи вводится формализованное обозначение уровней:

–– верхний уровень: +1;

–– нижний уровень: – 1;

18

–– основной уровень: 0.

Интервалы варьирования имеют ограничения:

–– сверху они обусловлены областью определения;

–– снизу обусловлены тем, что величина ошибки измерения (определения) данного фактора не должна быть меньше удвоенной квадратичной ошибки его измерения, так как в противном случае два соседних уровня фактора окажутся неразличимыми.

Рис.  3.1. Область определения двух факторов

3.3.  Методы определения основных факторов

Определение основных факторов из большого количества всех факторов, влияющих в разной степени на тот или иной процесс или явление, имеет очень важное практическое значение.

19

Выбор всех возможных факторов может производиться:

–– анализом априорной (предшествующей опытам) информации, включающей данные по аналогичным процессам из технической литературы, или опросом мнения специалистов, работающих в данной области исследований и принадлежащих к разным научным коллективам;

–– проведением пробных предварительных опытов с различными факторами и получением желательного значения цели (параметра оптимизации).

В процессе анализа априорной информации можно выбрать довольно большой перечень факторов, при этом их влияние на процесс не определяется однозначно. Кроме того, из уравнения (3.1) видно, что рост числа факторов приводит к значительному увеличению количества опытов (в случае двухуровневого эксперимента):

k = 2; N = 4;

k = 3; N = 8;

k = 4; N = 16;

k = 5; N = 32;

k =6; N = 64; и т.д.

Увеличение количества опытов приводит к увеличению временных, материальных, физических, энергетических и других экономических затрат, а это противоречит тем задачам, которые мы решаем, применяя методы планирования и организации эксперимента.

В ходе научных исследований часто приходится сталкиваться с тем, что некоторые факторы не оказывают значительного влияния на результат эксперимента. Для отсеивания таких неважных факторов применяют два способа:

1)  априорное ранжирование;

2)  экспериментальное отсеивание.

Способ отсеивания факторов априорным ранжированием заключается в том, что на основании литературных данных

20