Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко
СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
К ЗАДАЧАМ ГАЗОГИДРОДИНАМИКИ.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Учебное пособие
2-е издание, переработанное и дополненное
Воронеж 2024
УДК 517.9(075.8)
© Ряжских В. И., Бырдин А. П.,
© Ряжских В. И., Бырдин А. П.,
ББК 22.161(я7)
Р989
Рецензенты:
кафедра информатики и вычислительной техники
Международного института компьютерных технологий (г. Воронеж)
(зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. Ю. С. Слепокуров);
Д. В. Костин, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического
моделирования Воронежского государственного университета
Р989
применительно к задачам газогидродинамики, теории вероятностей и
математической статистики. Теоретический материал иллюстрируется большим
количеством примеров.
21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов
транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки») второго курса при
изучении дисциплины «Математика».
УДК 517.9(075.8)
Ряжских, В. И.
Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к
задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы
математической статистики: учеб. пособие [Электронный ресурс]. –
Электрон. текстовые и граф. данные (1,6 Мб) / В. И. Ряжских, А. П.
Бырдин, А. А. Сидоренко. - 2-е изд., перераб. и доп.– Воронеж: ФГБОУ
ВО «Воронежский государственный технический университет», 2024. - 1
электрон. опт. диск (DVD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше;
256 Мб ОЗУ; Windows 10; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat;
CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-7731-1166-5
В учебном пособии излагаются основные понятия численных методов
Издание предназначено для студентов направления подготовки бакалавров
Ил. 24. Табл. 35. Библиогр.: 11 назв.
ББК 22.161(я7)
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-1166-5
Сидоренко А. А., 2017
Сидоренко А. А., 2024,
с изменениями
© ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический
университет», 2024
ВВЕДЕНИЕ
В основу учебного пособия положены лекции, читаемые авторами на
протяжении ряда лет в третьем семестре студентам специальности
«Нефтегазовое дело» очной и очно-заочной формы обучения. Пособие
написано в соответствии с ФГОС, рабочим учебным планом, рабочей
программой дисциплины «Математика» и может быть использовано
студентами с повышенной математической подготовкой.
При написании учебного пособия авторы стремились изложить
материал по возможности полно, строго и доступно. Представленная работа
направлена на совершенствование учебного процесса и способствует
целенаправленному использованию знаний математики. Учебное пособие
поможет студентам лучше усвоить теоретический материал, даст
возможность самостоятельно научиться решать типовые задачи,
подготовиться к экзамену или зачету
Учебное пособие содержит также дополнительный материал,
помеченный значком “*”. Материал, включенный в эти разделы, может
оказаться полезным, как аспирантам, так и той части студентов, которые
нацелены на защиту магистерской диссертации. Практически во всех
разделах пособия приведены приложения вводимых математических понятий
к задачам физики, газогидродинамики.
По каждому изучаемому разделу приведены примеры решения задач, а
также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем
рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы.
Поэтому представленное учебное пособие может быть использовано
преподавателями для проведения практических занятий. В приложении
приведен материал, который может быть использован при выполнении
индивидуальных заданий.
Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать
лучшему усвоению теории, развитию математического и логического
мышления у обучающихся, привитию им навыков решения задач.
3
1. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
)(x
f
)(xfy
)(x
f
)(x
)(x
)(x
f
],[ba
1.1. Постановка задачи аппроксимации
Часто приходится рассматривать функции
, заданные табличными
значениями ),...,2,1,0(),( nixfy
ii
. Эти значения могут быть получены в
результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в
промежуточных точках неизвестны и их получения может быть связано с
проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже
при известной зависимости
ее использование в практических
расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно
вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).
В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации)
функций: функцию
аппроксимировать функцией
, заданную таблично или аналитически,
, так, чтобы отклонение
от
в
заданной области было наименьшим. Функция )(x при этом называется
аппроксимирующей.
На практике очень важен случай аппроксимации функции
многочленом
При этом коэффициенты
2
210
a подбираются так, чтобы достичь
i
m
xaxaxaax ...)(
. (1.1)
m
наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае
будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочнополиномиальной аппроксимации. По сравнению с другими семействами
функций, пригодных для построения теории приближений, например, таких,
как тригонометрические или показательные функции, для вычислительной
математики многочлены привлекательны тем, что они являются линейными
функциями своих параметров (коэффициентов), и их вычисление сводится к
выполнению конечного числа простейших арифметических операций –
сложения и умножения.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек
x , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся
i
интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.
При построении приближения на непрерывном множестве точек
(например, на отрезке
) аппроксимация называется непрерывной (или
интегральной).
1.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера
Поскольку большинство методов аппроксимации функций сводится к
замене этих функций многочленами, то одной из важнейших задач является
отыскание удобного способа вычисления значения многочлена в
произвольной точке. Одним из критериев удобства является уменьшение
числа сложений и умножений, необходимых для вычисления многочлена.
4
Рассмотрим многочлен
n
)13
(n
n
ой степени
nn
1
10
....)( . (1.2)
1
axaxaxaxP
Положим, что требуется найти значение этого многочлена в
произвольной точке
то потребуется
xx
. Если непосредственно вычислять это значение,
0
арифметических действий. При этом возникает
потеря точности за счет погрешности вычисления.
Вычисление многочлена )(xP
удобнее производить следующим
n
образом. Представим его в виде
nn
))....)))(...((()(
13210 nnn
axaxaxaxaxaxP
. (1.3)
Отсюда, последовательно вычисляя числа
,
ab
00
,
xbab
0011
,
xbab
0122
.........................
(1.4)
,
01
находим )(
nn
xPb
.
0
xbab
nnn
Описанный метод вычисления значения многочлена в заданной точке
носит название схемы Горнера. Она позволяет сократить число сложений и
умножений до n2 операций, при этом повышается точность вычисления.
Пример. Вычислить значение многочлена
2356
1324)(
6
Решение. Имеем ,1
a Последовательное применение формулы (1.4) дает
6
.1
a ,4
0
xxxxxP при 2
a ,0
1
x .
a ,2
2
a ,3
3
a ,0
4
a
5
,1
0
,2214
1
2
3
4
5
6
,42)2(0
,102)4(2
,172)10(3
,342)17(0
.692)34(1
Следовательно, .69)(
6
b
b
b
b
b
b
b
xP
1.3. Постановка задачи интерполирования.
Локальная и глобальная интерполяция
Одним из основных типов точечной аппроксимации является
интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции
5
)(xfy
значения
)(x
f
ni,...,1,
0
k
i
)(x
n
m
)(x
f
k
i
x
При этом предполагается, что среди значений
xx
при
ki
Точки
строим многочлен (1.1), принимающий в заданных точках
y , что и функция
i
, т.е.
yx)(
,
ii
. (1.5)
x нет одинаковых, т.е.
i
.
x называются узлами интерполяции, а многочлен
i
x те же
i
-
интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к
заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной
системе точек (сплошная линия) (рис.1).
Максимальная степень интерполяционного многочлена
. В этом
случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен
2
210
n
xaxaxaax ...)(
(1.6)
n
используется для интерполяции функции
интервале аргумента x. Коэффициенты
a многочлена (1.6) находятся из
i
системы уравнений (1.5). Можно доказать, что при
на всем рассматриваемом
xx
ki
(
) эта
система имеет единственное решение.
Рис. 1
Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных
частей рассматриваемого интервала значений
. В этом случае
интерполяция называется кусочной (или локальной).
Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных
частей рассматриваемого интервала значений x. В этом случае интерполяция
называется кусочной (или локальной). Обычно интерполяционные
Обычно интерполяционные многочлены используются для
аппроксимации в промежуточных точках между крайними узлами
интерполяции, т. е. при )(
0 n
xxx
. Иногда они используются и для
приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка
),(
xxxx
0 n
. Такое приближение называют экстраполяцией.
Интерполяция отрезком прямой. Это простейший и часто
используемый вид локальной интерполяции. При этом точки ),(
yx
ii
6
(
)
,...,1,0n
i
)(x
f
n
соединяются прямолинейными отрезками (рис. 2) и функция
приближается к ломаной с вершиной в данных точках.
Рис. 2
Уравнения каждого отрезка в общем случае разные. Так как имеются
интервалов ),(
, то запишем для каждого из них уравнение
1 iixx
прямой, проходящее через две точки:
xx
1
i
.
xx
1
ii
1
yy
1
ii
x
1
xx
i
1
ii
xayb .
11
iiii
xxx
. (1.7)
ii
yy
1
Отсюда )(
Тогда:
Обозначим:
y .
a ;
yy .
1
i
yy
ii
xx
ii
i
Получим
ii
xx
1
ii
1
yx
i
1
yy
ii
xx
11
ii
bxay
,
ii
yy
1
i
yy
1
ii
xx
i
1
1
Сначала определяется интервал, которому принадлежит значения
аргумента x, а затем подставляют его в (1.7), и находят приближенное
значение функции в этой точке.
Квадратичная (параболическая) интерполяция. В этом случае в
качестве интерполяционной функции на отрезке
xx принимается
11, ii
квадратный трехчлен:
Здесь имеются три неизвестных коэффициента ,,,
2
cxbxay
)(
iii
xxx . (1.8)
11
ii
cba для
iii
определения которых нужны три уравнения. Они получаются из условия
прохождения параболы (1.8) через три точки:
),(),,(),,(
yxyxyx :
1111 iiiiii
7
2
32.0x
92.369.032.04.1469.04.
14
x
y
32.0x
],[ba
)(x
f
1n
x
y
1
2
2
1
ycxbxa
11
iiiiii
ycxbxa
(1.9)
iiiiii
.
ycxbxa
11
iiiiii
Интерполяция для любой точки ],[
ближайшим к ней узлам.
Пример. Найти приближенное значение функции )(xfy
если ее значения заданы в табл. 1:
Таблица 1
15.0 30.0 40.0 55.0
17.2
Решение. 1. Воспользуемся формулой (1.7). Значение
находится между узлами 30.0
x и 40.0
1i
a ,
i
xxx
0 n
63.3
x . В этом случае
i
yy
1
ii
xx
1
ii
xayb ,
11
iiii
07.5
63.307.5
30.040.0
проводится по трем
78.7
4.14
69.030.04.1463.3
.
при 32.0
x ,
2. Воспользуемся формулой квадратичной интерполяции (1.8).
Составим систему (1.9) с учетом ближайших к точке
x ; 30.0
Соответственно, 17.2
15.0
1i
y ; 63.3
1i
x ; 40.0
i
y ; 07.5
x .
i
1i
y .
Система принимает вид:
Решая эту систему, находим: 67.18
2
2
2
a , 33.1
i
cxbxay .
iii
22
cba
iii
cba
cba
iii
17.215.015.0
63.330.030.0
iii
b , 55.1
i
1.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего
отрезка
. При этом график интерполяционного многочлена должен
проходить через все заданные точки.
Пусть задано 1
n значение функции
в
узлов:
1i
.07.540.040.0
c .
i
89.355.132.033.132.670.18
различных точках -
,...,,
xxx
узлах интерполяции:
10
10
n
.,...,,
yyy
n
Требуется построить многочлен (1.6)
8
n
)(x
f
в тех же узлах. То есть, получаем
)
,...,1,0(ni
10
xaxaax ...)(
,
n
значение, которого в узлах интерполирования были бы равны значениям
функции
2
...
02010
2
...
12110
2
210
n
yxaxaxaa
n
0
n
n
1
0
yxaxaxaa
1
(1.10)
..................................................
n
....
yxaxaxaa
nnnn
n
Определитель этой системы
2
....1
00
2
....1
11
n
xxx
0
n
xxx
1
.................................
2
....1
n
xxx
nnn
называется определителем Вандермонда. Он отличен от нуля, так как все
узлы интерполирования различны. Следовательно, система (1.10) имеет
единственное решение и интерполяционный многочлен )(xP
определяется
n
единственным образом. Однако, для большого числа узлов интерполяции,
решать эту систему сложно.
Многочлен )(xP
можно построить другим способом. Запишем
n
многочлен (1.6) в виде:
Коэффициенты
AAA ,...,,
определим по условию прохождения
10
n
графика многочлена через заданные точки:
yxfx
Положим в (1.11)
т.е.
A
1
A
. Положим
0
y
, далее
1
xx
0
y
0
xxxxxx
12101
. Найдем:
02010
))...()((
n
)()(
iii
))...()((
xxxxxx
n
))...()()(()(
3210
3201
3102
xxxxxxxxAx
n
))...()()((
xxxxxxxxA
n
))...()()((
xxxxxxxxA
n
(1.11)
...............................................................
).)...()()((
xxxxxxxxA
1210
nn
.
))...()(()(
xxxxxxAyx
02010000 n
A
2
;
xx
:
1
y
2
21202
))...()((
xxxxxx
n
9
и т.д.:
1n
x
ysin
2
6
y
A .
n
n
Подставляя значение коэффициентов в (1.11), получаем
интерполяционную формулу (многочлен) Лагранжа:
))...()((
xxxxxx
110
nnnn
))...()((
)(
x
21
xxxxxx
n
y
0
))...()((
xxxxxx
02010
n
))...()()((
xxxxxxxx
310
n
))...()()((
xxxxxxxx
2321202
n
...
y
2
или
n
)(
yxL
in
0
i
Очевидно, что степень многочлена Лагранжа не превышает числа n.
Часто многочлен Лагранжа записывают виде
n
yxL
in
j
0
ij
y
0
При
случае уравнение прямой )(
где
, xx - абсциссы этих точек.
10
При 2
имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в этом
1
y
,
n получим уравнение параболы )(
n
)(
i
0
xLy
, проходящей через две заданные точки
xx
1
xx
10
три точки
))...()((
20
110
110
xx
j
xxxxxx
n
y
1
))...()((
xxxxxx
12101
n
))...()((
xxxxxx
110
n
xxxxxx
110
nnnn
))...()()...((
xxxxxxxx
nii
. (1.12)
))...()()...((
xxxxxxxx
niiiiii
.
y
n
))...()((
.
xx
ji
xx
0
y
1
xx
01
xLy
, проходящей через
2
))((
xxxx
21
y
.
y
0
))((
xxxx
2010
Пример. Для функции
многочлен Лагранжа, выбрав узлы
,0
Решение. Многочлен Лагранжа для трех узлов интерполирования
запишется так
))((
xxxx
)(
yxL
02
21
y
1
))((
xxxx
2010
Вычисляем соответствующие значения функции
10
))((
xxxx
20
y
0
))((
xxxx
2101
))((
xxxx
10
y
2
))((
xxxx
1202
построить интерполяционный
1
,
xxx
210
xxxx
20
xxxx
1
.
))((
y
2
))((
2101
))((
xxxx
10
))((
xxxx
1202
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]