Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Рис. 18
4
),(yx
f
yx,
),(yx
u
),(yx
u
После преобразования эта система имеет вид
1
uuuuu . (8.3)
1,1,,1,1,
kikikikiki
Для каждого узла сетки, лежащего внутри области
на границе )
C составляем уравнение (8.3). Значения функции ),(kiyxu в
h
точках
точках (
), ближайших к точкам (
Cyx
),( принимаются равным значениям функции
hki
yx , ). В результате получим систему
ki
D (и не лежащего
h
в
линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений
функции
в узлах сетки (
yx , ).
ki
При получении сеточных уравнений (8.3) была использована схема
узлов, изображенная на рис. 19. Набор узлов, используемых для
аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.
Рис. 19
Таким образом, численное решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа состоит в нахождении приближенных значений
функции
во внутренних узлах сетки. Для определения величин
искомой
kiu,
kiu,
требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (8.3).
Такие системы обычно решаются одним из приближенных методов,
91
например, методом итераций или методом Зейделя. Метод итераций состоит
4
2
),(yx
f
s
4
0h
XOY
),(tx
u
D
x
t
,0,0Tta
x
в построении последовательности вычислений вида
1
)1(
s
,
ki
)(
s
,1
ki
)(
s
,1
ki
)(
s
1,
ki
)(
s
uuuuu
(8.4)
1,
ki
(верхним индексом обозначен номер итерации). Начальное приближение
)0(
выбирается произвольно; можно во всех точках (
u
,ki
)0(
u
, где
,
ki
функции
последовательность
uu
maxmin
u и
min
u - наименьшее и наибольшее значения
max
в узловых точках контура
)(,s
u сходится к точному решению системы (8.3). В
ki
C . При
Dyx, ) положить
hki
h
качестве условия окончания итерационного процесса можно принять
)(
)1(
max
s
,
ki
отличается от метода итераций тем, что вместо
используются уже вычисленные
s
uu
,
ki
, где наперед заданная точность. Метод Зейделя
)(,1s
kiu
)1(,1s
u
1
)1(
s
,
ki
)1(
s
,1
ki
s
,
ki
)(
,1
ki
s
)1(
u
)(
ki
, то есть
1,ski
s
uuuuu . (8.5)
1,
1,
ki
,
)1(
)(1,s
в формуле (8.4)
kiu
Погрешность приближенного решения, полученного методом сеток,
складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации
дифференциального разностными и погрешности, возникающей в результате
приближенного решения системы разностных уравнений (8.3).
Рассмотренная разностная схема обладает свойством устойчивости и
сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в
начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной
задачи. Только такие схемы применяют в реальных вычислениях.
Сходимость схемы означает, что при стремлении шага к нулю (т.е. при
) решение разностной задачи стремится к решению исходной задачи.
Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно
решить исходную задачу.
8.2. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического
типа методом сеток
Пусть в плоскости
TtaxtxD 0,0),(
. Требуется найти непрерывную функцию
дана прямоугольная область
, удовлетворяющую внутри области
уравнению
дифференциальному
2
u
2
2
u
2
c
2
),(
txf
,
92
(8.6)
начальному условию
)()0,(xxu
lh,
mk,...,2,1,
0
),(tx
u
t
h
x
),(tx
u
h
),(tx
u
1,,
1
kkk
),(tx
u
ni,...,
1
mk,...,
1
mk,...,3,
2
1
,...,3,
2
m
k
граничным условиям
, (8.7)
21
0),(),(),(),0(
Ttttauttu
. (8.8)
Для построения разностной схемы решения задачи (8.6) – (8.8)
выберем шаги
kt
k
,
называются сеточной функцией )(
по x и t и построим в области
a
TtaxtxD 0,0),(
сетку ihx
T
,
m . Значения функции
i
txuu
, приближенные значения
,, kiki
, ,,,...,2,1,0
в узлах сетки
nni
h
которой требуется найти.
Для получения разностного уравнения аппроксимируем частные
производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне,
показанным на рис. 19. Эти производные, выраженные через разностные
отношения, будут иметь вид
,
2
),(
txu
ki
2
2
uuu
,1,,1
kikiki
2
.
2
),(
txu
ki
2
2
uuu
1,,1,
kikiki
2
Здесь
– приближенное значение функции
kiu,
в узле (
tx , ).
ki
После такой замены получаем следующую разностную аппроксимацию
уравнения (8.6)
uuu
1,,1,
2
2
c
22
uuu
,1,,1
kikikikikiki
2
),(
txf
. (8.9)
ki
После преобразования уравнения (8.9) получаем трехслойную
разностную схему
22
u
1, kikikikiki
c
u
2
h
,
22
c
,1,1
2
h
2
(8.10)
).()(12
txfuu
,
Схема (8.10) называется трехслойной потому, что связывает между
собой значения
. Схема (9.10) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить
функции
kiu,
на трех временных слоях: с номерами
kiu,
через значения u, вычисленные в предыдущих двух слоях.
Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных
значений
решения
kiu,
в узлах ),(
txu при
ki
,
.
Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое
(
слоев (
) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих
) по формуле (8.10). На нулевом временном слое
93
(
0k
1k
t
h
0
,h
h
Oxy
D
x
,0,0Tta
x
)()0,(xxu
) решение известно из начального условия )(
1,0xuk
. Для
вычисления решения на первом слое (
) можно использовать прием,
состоящий в том, что если положить
)0,(),(
xuxu
,
то nixuu
u
)0,(
x
,...,2,1),(
ii
20,1,
. Теперь для вычисления решений на
следующих слоях можно применять формулу (8.10). Решение на каждом
следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев
по этим формулам.
Описанная выше схема аппроксимирует задачу (8.6) – (8.8) с
точностью )(0
2
h
. Невысокий порядок аппроксимации по объясняется
использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в
формуле (8.6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта
. Это
означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении
решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к
каждому новому временному условию. При выполнении условий Куранта
схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при
решение
разностной задачи равномерно стремится к решению исходной смешанной
задачи (9.6) – (9.8).
Недостаток схемы в том, что как только выбрана величина шага сетки
в направлении x, появляется ограничение на величину шага по
переменной t. Если необходимо произвести вычисления для большого
значения величины T, то может потребоваться большое количество шагов по
переменной. Указанный недостаток характерен для всех явных разностных
схем.
8.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
методом сеток
Пусть в плоскости
TtaxtxD 0,0),(
. Требуется найти непрерывную функцию
),( txu , удовлетворяющую внутри области
2
u
),(
c
t
u
2
2
дана прямоугольная область
дифференциальному уравнению
txf
,
(8.11)
начальному условию
, (8.12)
граничным условиям
94
21
0),(),(),(),0(
Ttttauttu
. (8.13)
К задаче (8.11) - (8.13) приводит, в частности, задача о
a
mk,...,2,1,
0
m
t
h
x
h
1
,....,
2,1,1
,...,2,
1
mkn
i
ni,...,2,1,
0
mk,...,2,1,
0
mk,...,2,1,
0
распространении тепла в стержне длины
поддерживается заданный температурный режим.
Для построения разностной схемы решения задачи (8.11) - (8.13)
, на концах которого
построим в области
TtaxtxD 0,0),(
равномерную
прямоугольную сетку с шагом h в направлении x и шагом - в
),(),...,,(
направлении t (рис. 20) . Обозначим узлы сетки через
приближенные значения функции
a
ni ,...,2,1,0
,
nah
,
n ;
h
k
),( txu
в этих узлах -
kt
,
,
11 ki
. Тогда ihx
kiu,
T
m ,
txtx
,…, а
i
,
T
.
Для получения разностного уравнения заменим частные производные
второго порядка в каждом внутреннем узле сетки разностными отношениями
txu
),(
ki
uu
kiki
,1,
,
2
),(
txu
ki
2
2
uuu
2
1,,1,
kikiki
.
После такой замены получаем двухслойную разностную схему
uu
,1,
2
c
2
2
uuu
1,11,1,1
kikikikiki
),(
txf
,
1
ki
,
)(
xu
0, ii
,
)(
tu
,
1,0 kk
)(
tu
,
2, kkn
,
.
.
Для аппроксимации частных производных второго порядка
рассматриваемой задачи шаблон изображен на рис. 20, из которого видно,
что полученная схема является неявной.
Рис. 20
95
Запишем разностное уравнение следующим образом
k
t
ABCD
),(yxuu
0
:u
AB
)1(50:xxuBC
)1(50:xxuAD
1h
16
9
2
c
u
2
h
1
1,1
2
2
c
u
2
h
2
c
1,
2
h
. (8.14)
),(
txfuu
1,1,1
kikikikiki
Схема (8.14) аппроксимирует уравнение (8.11) только во внутренних
узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (8.14) меньше числа
неизвестных
)(
Схема (8.14)-(8.15) неявная, поэтому значения
. Недостающие уравнения получаем из граничных условий
kiu,
tu
, )(
1,0 kk
tu
. (8.15)
2, kkn
находят как
kiu,
решение системы линейных уравнений (8.14). Для решения этой системы
можно применять любой алгоритм решения систем линейных уравнений,
однако она обладает трехдиагональной матрицей и рациональнее всего
решать ее методом прогонки. Таким образом, последовательно проходя
все слои
0, ii
)(
xu
, начиная с нулевого слоя, для которого известны значения
, находим сеточную функцию
, значения которой в узлах сетки
kiu,
приближенно заменяют значения искомого решения исходного уравнения.
Замечательным свойством неявной схемы (8.14) является ее устойчивость
при любых значениях 0
при 2
2
h
. Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести
2
h
. Явная схема оказывается устойчивой только
с очень малым шагом по , что может привести к большому числу
вычислений. В неявной схеме вычисления на одном шаге требуют больше
операций, но зато величину шага можно выбрать как угодно большой без
риска нарушить устойчивость системы. Все это позволяет сократить число
вычислений. Для получения точного решения следует проводить дробление
шага.
Задачи для самостоятельного решения
1. Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи
2
u
Дирихле для уравнения Лапласа 0
x
функция
задана на сторонах квадрата уравнениями:
; )1(50:
2
yyuCD ;
2
u
2
2
y
в квадрате
, где
.
2. Используя метод сеток, составить решение дифференциального
2
уравнения Лапласа 0
u
2
x
2
u
2
y
с заданными начальными условиями; шаг
;
.
22
yx
, yxyxu
)(1
Г
96
Г
),( .
3. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для
x
)2(3)0,(xxx
u
0),0(t
u, 52.2),6.0(
ttu
1.0h
xut
3.0)1(2)0,(
xxx
u
)10
(
x
3.0),0(t
u, 3.4),1(
ttu
1.0h
),(tx
u
.5.00
t
30d
5
110
T
5.0
300
м
600
q
мl5.1
0x
l
x
l
x
0
0x
l
x
l
дифференциального уравнения параболического типа
2
u
t
u
(уравнение
2
теплопроводности) при заданных начальных условиях
. Решение выполнить при
для
t .
01.0;0
4. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для
уравнения колебания струны
, xxu
t
. Решение выполнить с шагом
значения функции
с четырьмя десятичными знаками, причем
2
u
2
sin2)0,(
2
с начальными условиями
2
и краевыми условиями
, определяя
5. По пластмассовой трубе с внутренним диаметром
толщиной
теплопроводности стенки трубы
мм течет жидкость с температурой
Вт/(мК), коэффициент теплоотдачи
от жидкости к внутренней поверхности трубы
Вт/(
0
С. Коэффициент
2
К). Рассчитать
мм и
температуру на наружной поверхности трубы, если тепловой поток на один
погонный метр длины трубы
Вт/м.
,
6. Прямоугольная пластина, толщиной которой можно пренебречь имеет
размеры
напряжения y
(
) и касательные напряжения 0
. и .24.0
150
x
мС
0
;
На границах пластины заданы нормальные
;
(
xy
;
СуС
), 0
00
;
при
y
;
Cy
Cy
.
0
0
Кроме того на кромках пластины задано распределение температуры, не
зависящее от времени:
0
T ;
130
0
x
0
T ; )(),(
320
lx
x
TCxT .
TT
0100
В этом случае имеем стационарный процесс теплопроводности.
а) Построить математическую модель задачи, определяющую поле
деформации пластины. Для этого записать соотношение Дюамеля-Неймана,
связывающее деформацию, напряжение, температуру в точках пластины.
б) Найти распределение напряжений пластины, решив дифференциальное
уравнение равновесия при заданных значениях на границе. Для решения этого
уравнения использовать функцию напряжения.
в) Написать краевую задачу для уравнения теплопроводности.
г) Написать дискретную модель для уравнения теплопроводности и найти
распределение температуры в узлах выбранной сетки.
д) Найти распределение деформаций в узлах сетки пластины, разрешив
соотношение Дюамеля – Неймана относительно искомых величин.
97
9. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
9.1. Основные понятия. Определение вероятности
1. Понятие о случайном событии. Опыт, эксперимент, наблюдение
явления называется испытанием. Испытаниями, например, являются
бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с
нанесенными на каждую грань числом очков от одного до шести).
Результат, исход испытания, называется событием. Событиями
являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах,
появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.
Для обозначения событий используют большие буквы латинского
алфавита: А, В, С и т.д.
Определение 1. Два события называют совместимыми, если
появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же
испытании.
Пример 1. Испытание однократное бросание игральной кости.
Событие А появление четырех очков. Событие В появление четного
числа очков. События А и В совместимые.
Определение 2. Два события называют несовместимыми, если
появление одного из них исключает появление другого в одном и том же
испытании.
Пример 2. Испытание однократное бросание монеты. Событие А
выпадение герба, событие В выпадение цифры. Эти события
несовместимы, так как появление одного из них исключает появление
другого.
Несовместимость более чем двух событий означает их попарную
несовместимость.
Пример 3. Испытание однократное бросание игральной кости. Пусть
события A1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпадение одного очка, двух,
трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.
Определение 3. Два события А и В называются противоположными,
если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит.
Событие, противоположное событию А, обозначают через А.
Пример 4. Испытание бросание монеты. Событие А выпадение
герба, событие В выпадение цифры. Эти события противоположны, так как
исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них
исключает появление другого, т.е. А = В или А= В.
Определение 4. Событие называют достоверным, если в данном
испытании оно является единственно возможным его исходом, и
невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
98
Пример 5. Испытание извлечение шара из урны, в которой все шары
белые. Событие А вынут белый шар достоверное событие; событие В
вынут черный шар невозможное событие.
Заметим, что достоверное и невозможное события в данном
испытании являются противоположными.
Определение 5. Событие А называют случайным, если оно объективно
может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример 6. Событие А6 выпадение шести очков при бросании
игральной кости случайное. Оно может наступить, но может и не
наступить в данном испытании.
Пример 7. Событие A98 прорастание девяноста восьми зерен
пшеницы из ста случайное. Это событие может наступить, но, может быть,
прорастет зерен больше или меньше.
Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого
случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту
возможность некоторым числом?
2. Классическое определение вероятности. Всякое испытание влечет
за собой некоторую совокупность исходов - результатов испытания, т.е.
событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые
могут быть исходами данного испытания.
Определение 6. Говорят, что совокупность событий образует полную
группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно
становится хотя бы одно из них.
Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и
выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и
промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и
шести очков при одном бросании игральной кости.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий
UUU ,,,
, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в
21
n
этом испытании осуществление каждого из событий Ui (i = 1,2, ..., п)
равновозможно, т.е. условия испытания не создают преимущества в
появлении какого-либо события перед другими возможными.
Определение 7. События
21
UUU ,,,
, образующие полную группу
n
попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть
элементарными событиями.
Пример 8. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости.
Пусть Ui событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i.
Как уже отмечалось (пункты 1, 2), события
,,, UUU образуют полную
621
группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается
однородной и симметричной, то события
,,, UUU являются и
621
равновозможными, т.е. элементарными.
99
Определение 8. Событие А называют благоприятствующим событию
n
n
2n
1m
2
6
216
n
m
nnn
0m
n
n
В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Пример 9. Пусть при бросании игральной кости события
,, UUU
642
появление соответственно двух, четырех и шести очков и А событие,
состоящее в появлении четного числа очков; события
,, UUU
642
благоприятствуют событию А.
Определение 9 (классическое определение вероятности).
m
Вероятностью Р(А) события А называют отношение
числа
элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех
m
элементарных событий, т.е.
AP )( .
Пример 10. Вычислим вероятность выпадения герба при одном
бросании монеты.
Решение. Очевидно, событие А выпадение герба и событие В
выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и
равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь
Событию А благоприятствует лишь одно событие само A, т.е. здесь
1
. Поэтому
)( AP .
.
Пример 11. Очевидно, что в опыте с игральной костью (см. пункт 2,
1
пример 8) 6,,2,1,
)( iUP
i
.
Пример 12. Найти вероятность того, что при бросании игральной
кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).
Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число
благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6).
3
Поэтому
)( AP .
Из приведенного классического определения вероятности вытекают
следующие ее свойства.
1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно,
достоверному событию должны благоприятствовать все п элементарных
m
событий, т.е.
и, следовательно, 1)(
AP .
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле,
невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из
элементарных событий, т.е.
, откуда 0
3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
100
0
m
)(
AP .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]