Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Пример. С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти
2.1x
x
)(x
y
x
)(x
y
4.0
h
h
4.0
x
)(x
y y
0.8
2.857
значение первой и второй производных при значении
для функции,
заданной табл. 14
Таблица 14
0.8
1.2
1.6
2.0
2.857
3.946
4.938
5.801
2.4
2.8
3.2
3.6
6.503
7.010
7.288
7.301
Решение. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной
функции (табл. 15):
Таблица 15
2
y
y
-0.097
-0.129
-0.161
-0.195
-0.229
-0.265
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
3.946
4.938
5.801
6.503
7.010
7.288
7.301
1.089
0.992
0.863
0.702
0.507
0.278
0.013
3
-0.032
-0.032
-0.034
-0.034
-0.036
Положим 2.1
x ; тогда 0
0
xx
0
q . Воспользуемся для
2.12.1
вычисления формулами
1
)(
xy
y
h
2
00
0
3
yy
0
32
.....
,
1
)(
xy
0
2
2
3
0
получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.
Находим
1
y
)2.1(
992.0
4.0
1
129.0
2
1
3
1
y
)2.1(
61
2
.606.0032.0129.0
,
.....
yy
0
;614.2)0107.00645.0992.0(5.2032.0
4.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
n
2n
ni,...,2,
1
)(xfy
ni,...,2,1,
0
h
1
,...,2,1,
0
n
i
h
ni,...,2,
1
h
2
1
,...,2,
1
n
i
1
,...,2,
1
n
i
)(xfy
)(h
o
)(xfy
Пусть отрезок
ba, разбит на
11210
(
......
) равных частей точками
bxxxxxxxa
.
niii
Разность между соседними значениями аргумента постоянна, т.е. шаг
xxh , (
1
ii
, значения которой в точках
). Далее, пусть на отрезке
x равны )(iixfy
i
ba, определена функция
(
Запишем выражения для первой производной функции в точке
помощью отношения конечных разностей:
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей)
y
xy
i
i
,)(
x
i
hxxx
xy
)( (
i
1
1
,
iii
yy
ii
); (4.7)
1
yyy
,
iii
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)
y
xy
i
i
x
i
,)(
hxxx
1
,
iii
1
yyy
,
iii
).
x :
i
x с
i
yy
ii
xy
i
1)(
в) аппроксимация с помощью центральных разностей (точка
центром системы точек
xy
i
y
i
x
i
,)(
hxxx
x , ix ,
1i
xy
)(
i
x )
1i
yy
ii
iii
11
(
(
2
11
,
) ; (4.8)
x является
i
yyy
,
1
iii
). (4.9)
Аппроксимация производной с помощью центральных разностей
представляет собой среднее арифметическое соотношений (4.7) и (4.8) в
точках
x (
i
).
Отметим, что соотношения (4.7) и (4.9) не позволяют вычислить
производную в точке bx
Можно показать, что для функции
, а (4.8) и (4.9) - в точке ax
n
0
.
, имеющей непрерывные
производные до второго порядка включительно, погрешности
аппроксимации производных разностями вперед и назад имеют один и тот же
порядок
, а погрешности аппроксимации центральными разностями (4.9)
для функции
порядка включительно, имеют порядок )(
, имеющей непрерывные производные до третьего
2
ho .
Приближенное значение производной второго порядка в точке
выразим через значения функции
y , iy ,
1i
y . Для этого представим вторую
1i
производную с помощью правой разности
62
x
i
y
h
h
h
)(xfy
)11,9,7,5,3,1(05.04.2nn
x
x
)(x
y
x
)(x
y
)10,8,6,4,2(08.06.1nn
x
x
)(x
y
x
)(x
y
xy
i
i
x
i
,)(
hxxx
а производные первого порядка
y
1
и
i
,
iii
y - с помощью левых разностей
1i
1
yyy
,
iii
yy
1
xyy
11
ii
ii
,)(
xyy
ii
yy
ii
1)(
.
Окончательно получим
)(
xy
i
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок )(
2
функции
, имеющей непрерывные производные до четвертого
порядка включительно на отрезке
yyy
11
iii
2
ni
(4.10)
)1,...,2,1(,
ho для
2
ba, . Естественно, что представление
(4.10) с помощью конечных разностей позволяет вычислять значения второй
производной только во внутренних точках отрезка.
Задачи для самостоятельного решения
1. С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти значение
первой и второй производных при значении
для функции, заданной табл. 16:
Таблица 16
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.526
3.782
3.945
4.043
4.104
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
2. С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти значение
первой и второй производных при значении
для функции, заданной табл. 17:
Таблица 17
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
10.517
10.193
9.807
9.387
8.977
8.637
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
4.222
4.331
4.507
4.775
5.159
8.442
8.482
8.862
9.701
11.132
13.302
63
5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
)(xfy
(5.2)
)(x
f
)(x
f
)(x
F
)(x
f
)(x
F
)(x
f
)(x
f
1n
Пусть на отрезке
5.1. Постановка задачи
ba, задана непрерывная функция
. Точками
,...,,,
210
отрезков длиной
произвольную точку
bxxxax
n
разобьем исходный отрезок на n элементарных
(
i
xxx . На каждом из этих отрезков выберем
1
iii
xx
) и составим интегральную сумму
n
i
iii
. (5.1)
xfI
)(
1
ii
1
По определению
b
a
x
n
.
xfdxxf
)(lim)(
0max
i
i
1
ii
Геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной
на интервале
Для непрерывной функции
ba,
функции
- площадь криволинейной трапеции.
первообразная всегда существует и
определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:
b
),()()( aFbFdxxf
.
не может быть найдена
где
a
- некоторая первообразная для данной функции
Однако во многих случаях первообразная
с помощью элементарных средств или является слишком сложной; например,
таким способом не удается вычислить интегралы
b
x
sin
a
dx
x
Кроме того, на практике функция
b
dx
,
x
ln
a
b
2
x
,
e ,
a
и т.д.
часто задается таблично и тогда
само понятие первообразной теряет смысл. В таких случаях используются
методы численного интегрирования, состоящие в том, что данную функцию
на отрезке
ba, заменяют интерполирующей или аппроксимирующей
функцией более простого вида. Такие специальные приближенные формулы
для вычисления определенных интегралов называют квадратурными
формулами или формулами численного интегрирования.
5.2. Метод прямоугольников
Простые квадратурные формулы можно вывести непосредственно из
определения интеграла, т.е. из формулы (5.1). Зафиксировав там некоторое
, будем иметь
n
. (5.3)
xfI
)(
i
1
ii
64
Это приближенное равенство называют общей формулой
],[ba
n
1
,...,2,
1
n
i
)(x
f
2
],[ba
прямоугольников (площадь криволинейной трапеции приближенно
заменяется площадью ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников, основаниями которых служат отрезки ],[
высотами – ординаты )(
f
).
i
1 iixx
, а
Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным разбиением
ab
отрезка
на n частей точками
ax
0
, hxx
ii
1
x с шагом
i
(
h
, полагая
), bx
n
.
При таком разбиении формула (5.3) приобретает вид
n
В качестве промежуточных точек
или правые (
x
) концы элементарных отрезков ],[
ii
i
fhI
1
, ],[
)(
i
можно выбрать левые (
i
xx
. (5.4)
1 iii
x
)
1ii
. Соответственно
1 iixx
получим две интегральные суммы:
П
П
n
, (5.5)
1
i
n
i
1
i
i
1
21
)......()(
yyyyhxfhII
110
ni
, (5.6)
)......()(
yyyyhxfhII
ni
которые называются квадратурными формулами левых и правых
прямоугольников.
Часто применяется еще одна формула прямоугольников, использующая
значения функции
в середине элементарных отрезков, т.е.
1
)(
xx
1 iii
. В результате имеем квадратурную формулу средних
прямоугольников
n
П
xfhII
i
h
i
1
n
i
11
h
. (5.7)
xfh
i
22
Для формул (5.5) и (5.6) может быть получена следующая оценка
погрешности
ab
, (5.8)
)(
hR
2
11
;
bax
)('max;
xfMhM
а для формулы (5.7)
)(
hR
24
ab
2
2
2
, (5.9)
)(max;
xfMhM
;
bax
то есть формула средних имеет более высокий порядок точности.
Как видно из формулы (5.9), при увеличении числа n элементарных
отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования
,
65
погрешность интегрирования по формуле (5.7) убывает пропорционально
10n
10
265
.1225
.1183
.1140
.1095
.1049
.1000
.1(1.
0
I
5.0
1x
2
2
025
.020.1
I
)(x
f
)(xfy
!
!
2
n
hdq
dx
квадрату шага h. А погрешность интегрирования по формулам (5.5), (5.6)
убывает лишь по линейному закону.
2
Пример. Вычислить по формуле прямоугольников
1
, разбив
dxxI
интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.
12
Решение. Здесь xy ; при
имеем 1.0
h . Точками
деления служат 1
соответствующие значения подынтегральной функции: 11
y , 342.1
7
304.1
y , 378.1
8
x , 1.1
0
049.1.1.11y , 095.1
y , 140.1
2
y .
9
hxx , 2.1
01
y , 183.1
3
x ,…, 9.1
2
y , 225.1
4
x . Найдем
9
00
y , 265.1
5
y ,
6
Используя формулу прямоугольников, получим:
.20.1981.111.0)378.1342.1304.1
1
Оценим погрешность. В данном случае
2;1 достигает наибольшего значения, равного
21)(
образом,
)( hR
Следовательно,
1
1.0
1
Mxf
1
.025.0
. По формуле (5.8) находим:
.
xf
)(
, при
; на отрезке
x
2
. Таким
5.3. Метод трапеций
Для получения других формул численного интегрирования, как
говорилось ранее, подынтегральную функцию
на отрезке
xy ,
интегрирования
ba, заменяют интерполирующей или аппроксимирующей
функцией более простого вида. Заменим подынтегральную функцию
первым интерполяционным многочленом Ньютона
)(
n
в котором hqxx
xa
, nhxb
0
)1(
yqyxP
qq
00
0
0
. Тогда
. Проинтегрировав многочлен Ньютона на отрезке
2
...
y
, пределы интегрирования равны
)1(...)1(
nqqq
n
,
y
00
ba, ,
получим
b
a
66
nhx
0
)()(
x
0
)2)(1(
qqq
!3
n
0
3
0
dqy
yqyhhdqhqxFdxxf
000
....
)1(
qq
!2
2
y
0
В результате интегрирования будем иметь
1n
1n
)(x
f
n
n
nhx
0
x
0
nyhydx
2
n
0
y
0
nn
2
23
y
0
4
n
nn
3
y
23
!34!2232
0
(5.10)
....
Из (5.10) можно получить целый ряд формул численного
интегрирования (формул квадратур), придавая n различные значения, т.е.
деля участок на различное число частей, и пользуясь интерполяционными
многочленами различных степеней.
Положим в формуле (5.10)
порядка пропадают, так как имеем только две точки
hx
0
x
0
1
. В этом случае разности выше первого
x и hx
0
yy
yhyyhydx
000
h
222
. Тогда
0
yy
1001
(5.11)
.
Геометрически этот результат совершенно очевиден. Действительно,
положив
, заменяем функцию интерполяционным многочленом первой
степени, т.е. заменяем кривую хордой (рис.14). При этом интеграл
заменяется площадью обычной прямолинейной трапеции. Очевидно, что
формула будет точной, если
- линейная функция.
Рис. 14
Для формулы (5.11) может быть получена следующая оценка
погрешности
3
)(
xx
12
01
)(
hR
)(max
xf
.
,
xxx
10
Так как ошибка вычислений возрастает с увеличением длины отрезка
интегрирования, то для уменьшения этой ошибки поступают следующим
образом. Разбив интервал
ba, на
частей, можно применять формулу
(5.11) для каждого из этих участков в отдельности, т.е. рассматривать не
один интерполяционный многочлен степени n на всем интервале
ba, , а
интерполяционных многочленов первой степени, различных на каждом из
отдельных участков. При этом кривая заменяется ломаной линией (рис.15).
67
)(x
f
h
12
Рис. 15
Применяя формулу (5.11) к участкам
x
2
x
1
x
n
x
n
1
hydx
yy
21
2
hydx
1
2
,
.................................
yy
xx ,(
), получаем
ii
1
(5.12)
nn
.
Сложив все формулы (5.12) с формулой (5.11), придем к общей
формуле, дающей приближенное выражение для интеграла
b
a
)(
hdxxf
yy
n
0
...
2
yyy
. (5.13)
n
121
Эта формула дает при достаточно малых h, т.е. при большом числе n
точек деления, довольно хорошие результаты. Формула (5.13) носит
название формулы трапеций, что вполне объясняется ее геометрическим
смыслом.
Ошибка вычислений по формуле (5.13) складывается из ошибок
вычислений на каждом из отрезков
)(
)(
hR
12
2
hab
xx ,
. Поэтому
ii
1
. (5.14)
)(max
,
bax
xf
Ошибку по формуле (5.14) не всегда можно оценить, например, когда
функция
задана в виде таблицы и ее аналитическое выражение
неизвестно. В этом случае производная )(xf
2
y
табличных разностей
)(
xf
. Поэтому вместо формулы (5.14)
2
используется формула
ab
hR
)(
68
max
)(
2
i
оценивается с помощью
y
. (5.15)
i
2
4
4
12
0002
.0218
.1I
2n
)(xfy
Пример. Вычислить по формуле трапеций
dxx
1
интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.
Решение. При тех же обозначениях, что и для метода
прямоугольников, используя формулу трапеций, получим:
414.11
(1.0
I
2
, разбив интервал
265.1225.1183.1140.1095.1049.1
1
Далее,
)(xxf
;
3
4
образом, по формуле (5.14) находим
Итак,
.
5.4. Параболическая интерполяция. Формула Симпсона
Для получения еще одной квадратурной формулы численного
интегрирования положим в (5.10)
второй. Тогда
2
hx
0
0
x
22
1
222
3
8
00
3
Геометрический смысл полученной формулы заключается в том, что
в интервале интегрирования
00
обычной параболой второй степени CBxAxy
.218.1)378.1342.1304.1
xf
)(
)( hR
1
на отрезке
01.0
1
1
2;1 . Таким
.0002.0
, т.е. отбросим все разности выше
1
2
2
yyyyyyh
hxx 2,
функция
2
2
yyyhydx
0
h
)2(
3
(5.16)
).4(
yyy
210012010
заменяется
, проходящей через три
точки кривой с абсциссами hxhxx 2,,
000
(рис.16). При этом площадь
криволинейной трапеции заменяется площадью параболической трапеции.
Рис. 16
69
Из формулы (5.16) можно получить формулу для приближенного
mn2
)(x
f
h
180
10x
вычисления интеграла по всему интервалу
ba, .
Для этого разобьем интервал
ba, на четное число
отрезков и для каждого из отрезков
применим формулу (5.16)
x
2
ydx
x
0
x
4
ydx
x
2
x
2
n
x
n
22
ydx
h
3
h
3
h
3
yyy
210
yyy
Просуммировав все формулы (5.17), получим
b
a
h
)(
dxxf
3
Формула (5.18) называется формулой Симпсона или формулой
парабол.
равных
, xx ,
20
)4(
)4(
432
...............................................
yyy
, xx ,....,
).4(
21222
mmm
,
42
xx
222
mm
(5.17)
(5.18)
yyyyyyyy
.)(2)...(4
2242123120
mmm
Если подынтегральная функция
производную четвертого порядка на
ba, , то справедлива такая оценка
имеет непрерывную
погрешности формулы Симпсона
4
)(
hab
)(
hR
180
или, пользуясь формулой
)4(
)(max
xf
,
4
y
)4(
hR
)(
. (5.20)
)(
xf
ab
)(
,
4
max
i
180
4
y
5
)(
ab
,
i
)4(
(5.19)
)(max
xf
baxbax
При одном и том же числе участков разбиения формула Симпсона
обычно дает более хорошие результаты, чем формула трапеций. Поэтому
пользуются предпочтительно ею, хотя она и требует несколько большего
количества вычислений. Особенно целесообразно предпочесть формулу
Симпсона формуле трапеций в тех случаях, когда нет возможности получить
значения функции в большом числе точек.
1
Пример. Вычислим
участок
на 10 частей.
1 x
0
dx
способом трапеций и парабол, разбив
2
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]