Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
7. Решить систему методом простых итераций с точностью 0.001:
10
5
0)(x
f
xxx
,0348
431
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
,44115
,263
4321
.113435
8. Для системы
xxx
321
33.116
326
xxx
321
xxx
321
426
известны приближенные значения неизвестных, полученные методом Гаусса
с тремя значащими цифрами
x , 62.7
1
67.4
x , 05.9
2
x .
3
Методом Зейделя уточнить решения так, чтобы значения неизвестных
)(k
x и
i
)1( k
x отличались не более чем на
i
4
.
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
3.1. Общие замечания
Общий вид нелинейного уравнения
. (3.1)
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса алгебраические
и трансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие
только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).
Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические,
логарифмические, показательные и др.), называются трансцендентными.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и
итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы
(для тригонометрических, логарифмических, показательных, а также
простейших алгебраических уравнений - из школы).
Однако не все уравнения удается решить такими простыми методами.
Для их решения используются итерационные методы. Алгоритм нахождения
корня уравнения с помощью этих методов состоит из двух этапов:
1. Отыскание приближенного значения корня или содержащего его
отрезка;
2. Уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени
точности.
41
3.2. Нахождение действительных корней уравнения
)(x
f
0)(x
f
)(x
f
0)(
f
)(x
f
0)(
f
)(x
f
0)()(
bfa
f
),(ba
0)(
f
),(ba
)(x
f
0xe
)(f
)(f
OX
);(
x
Пусть дана непрерывная функция
и требуется найти корни
уравнения
т.е. такое, что
(3.1). Если
Мы рассмотрим нахождение простых действительных корней
уравнения (3.1). При этом будем предполагать, что уравнение (3.1) имеет
лишь изолированные корни, т.е. для каждого его корня существует
окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное значение корня может быть найдено различными
способами. Часто при этом оказывается полезной теорема Больцано - Коши.
Теорема. Если непрерывная на отрезке
отрезка принимает значения разных знаков, т.е.
отрезка найдется хотя бы одно число
. Всякое значение , обращающее функцию
, называется корнем функции
, но 0)(
f , то
- простой корень.
или уравнения
ba, функция
, такое что
в нуль,
на концах
, то внутри
(рис. 3).
Очевидно, что если )(xf
функция
Пример.
что
корень. Так как 01)(
монотонна), то корень будет единственным (рис. 4).
x
,
Рис. 3
существует и сохраняет знак в
. Рассмотрим функцию xexf
, т.е. на оси
x
exf
Рис. 4
x
)( . Очевидно,
имеется действительный
, то корень один.
(т.е.
42
Отделять корни можно аналитически и графически.
)(x
f
)(xfy
)()(x
x
)(x
)(x
)(x
f
x
e
)(x
y
)(x
y
2
1. Когда ищут только действительные корни, то полезно составить
таблицу значений
разные знаки, то между этими узлами лежит хотя бы один корень.
Если узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.
Однако выявить по таблице корни четной кратности сложно.
2. По таблице можно построить график функции
графически определить точки его пересечения с осью абсцисс. Если
уравнение (3.1) не имеет близких между собой корней, то этим способом
корни его легко отделяются.
На практике уравнение (3.1) часто бывает выгодно заменить
равносильным ему уравнением
где
графиков (рис. 5).
и
Пример.
, искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих
- более простые функции, чем
x
. Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет
и
, (3.2)
.
;
0;1
. Построив графики функций
и
Рис. 5
Найденный интервал изоляции корня, если он мал, позволяет в
качестве начального приближения принять середину отрезка
ba, , т.е.
ba
x
0
начального приближения
приближенных значений корня
корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Рассмотрим
некоторые итерационные методы решения трансцендентных уравнений. Они
43
.
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении
x . В результате находится последовательность
0
x , 2x , ..., nx .
1
Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению
могут использоваться также для нахождения корней алгебраических
0)()(
bfa
f
2
)(x
f
)(x
f
2
2
2
)1(n
2
уравнений, имеющих некоторые особенности решения.
3.3. Метод деления отрезка пополам
Это один из простейших методов решения нелинейных уравнений.
Пусть нами найден отрезок
ba, , в котором расположено искомое значение
корня :
и 0)(
xf . Т.е. отрезок
ba, является интервалом
изоляции корня.
За начальное приближение корня
x принимаем середину этого
0
ba
x
отрезка:
отрезков
0
, xa и
0
. Далее исследуем значения функции
bx ,
, т.е. в точках bxa ,,
0
. Тот из них, на концах которого
0
на концах
принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; пусть
это будет отрезок
bx ,
: 0)()(
0
0
bfxf . Вторую половину отрезка, не
содержащую корень, отбрасываем.
В качестве первой итерации корня принимаем середину нового
bx
отрезка:
x
выбираем ту, для которой 0)()(
0
1
и вычисляем )(
xf . Из двух половин отрезка опять
1
xfxf . Новый отрезок опять делим
01
пополам и т.д. (рис. 6).
Рис. 6
Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором находится
корень, уменьшается вдвое. После n итераций он сокращается в
n
раз.
Если требуется найти корень уравнения с точностью , то продолжаем
деление пополам до тех пор, пока длина отрезка
ba , не станет меньше
nn
. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой
точностью.
Опишем один шаг итераций. Пусть на
ba такой, что 0)()(
11, nn
ba
11
x
0
44
nn
пополам и вычисляем
bfaf . Делим его точкой
11
nn
. Если
)(0xf
шаге найден отрезок
, то число
xf
0)(
0
x
0
- корень уравнения. Если
)(x
f
)(a
f
)(x
f
)(x
f
)(x
f
)(x
x
)()()(xfxxx
)(x
0)(x
,...2,
1n
ту, на концах которой функция
, то из двух половин отрезка выбираем
xf
0)(
0
имеет противоположные знаки. То есть,
n
aa ,
1nn
xa
,
0
xb
, если 0)()(
0
n
bb , если 0)()(
1nn
afxf .
10
n
afxf .
10
n
Сужение отрезка производится путем замены границ a или b на
текущее значение
так как нам нужен лишь знак функции
x . При этом значение
k
вычисляется только один раз,
на левой границе, а он в
процессе вычислений не меняется.
Достоинства метода. 1. Метод очень прост и надежен. К простому
корню он сходится для любых непрерывных функций, в том числе и
недиференцируемых.
2. Устойчив к ошибкам округления.
3. Легко реализуется на ПЭВМ.
Недостатки. 1. Скорость сходимости невелика. За один шаг точность
увеличивается примерно вдвое. Для достижения точности
нужно
ab
совершить N итераций:
N
2log . Однако, если вычисление значения
функции
несложно, то большое число итераций не является серьезным
препятствием для применения метода.
2. Метод неприменим к корням четной кратности. Для корней высокой
нечетной кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам
округления, возникающим при вычислении
.
3. Метод не обобщается на системы уравнений.
3.4. Метод простых итераций
Пусть отрезок
ba, является интервалом изоляции корня уравнения
(3.1). Заменим исходное уравнение эквивалентным ему уравнением (3.2):
.
Это можно сделать многими способами, например, положив
, где
- произвольная непрерывная функция,
.
Выберем некоторое число ),(
0
bax
и подставим его в правую часть
уравнения (3.2). Получим первое приближение:
)(01xx
.
Последовательно подставляя полученные значения в правую часть
(3.2), будем получать:
)(
45
xx
, . . . , )(
12
xx
, (
1nn
). (3.3)
Получается бесконечная последовательность
)(x
)
(
)(x
1
0
q
,bx
a
x
y
)(x
y
M
)(x
y
x
y
последовательность сходится:
xlim
nn
. Считая, что функция
x ,2x , ..., nx . Пусть эта
1
непрерывна, перейдем к пределу в (3.3):
)lim()(limlim
xx
n
n
n
n
n
11
n
.
Отсюда видно, что если числовая последовательность сходится, то ее
предел является корнем уравнения (3.2). По формуле (3.3) его можно
вычислить с любой степенью точности.
Достаточное условие сходимости устанавливается следующей
теоремой.
Теорема. Пусть функция
определена и дифференцируема на
отрезке
сходится независимо от начального значения ];[
ba, . Тогда, если существует число
1)(
qx
при
то последовательность )(
такое, что
xx
bax
0
к точному
(n=1,2,…)
1nn
решению уравнения (3.1).
Метод простых итераций легко пояснить графически.
Построим на плоскости XOY графики функций
и
Действительный корень уравнения (3.1) является абсциссой точки
пересечения кривой
1)(
x
возможны два случая: “лестница” (рис. 7) и “спираль” (рис. 8).
с прямой
. При этом для случая
.
46
x
Рис. 7
1)(0
q
a
x
x
x
x
q
x
Рис. 8
0)(1
Общие абсциссы точек
последовательные приближения ,...,
Очевидно, чем меньше
A и 1B ; 2A и 2B представляют собой
1
xx корня
21
.
, тем быстрей сходимость (скорость
сходимости, как у геометрического ряда). Вблизи корня асимптотическая
сходимость определяется величиной )(
0)(
. Т.о., успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана
и будет особенно быстрой, если
функция )(x.
Пример. Для извлечения корня
2
можно записать два
равносильных уравнения
a
x )(,
В окрестности точки ax имеем:
итерационный процесс
2
0)(
a
, т.е. итерационный процесс
1
a
x
и
1
2
a
,
x
)(
x
1
xx
a
x расходится. Но
n
x
1n
1
xx
1
nn
2
1
2
2
a
и 1)(
2
x
2
a
сходится очень
x
1
n
a
xx
.
x
a
1
1
2
, т.е.
a
2
x
и
быстро. Он используется на клавишных калькуляторах для извлечения корня.
Приведем практический критерий сходимости.
Для случая “спирали” итерации оказываются попеременно по разные
стороны корня , т.е. ).,(
xx
Поэтому
1nn
xxx
1
nnn
. Это
надежная, хотя и несколько грубая оценка.
В случае “лестница” итерации сходятся к корню монотонно (с одной
стороны), поэтому такая оценка неприменима. Учитывая, что вблизи корня
итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем
, в этом случае можно получить оценку:
47
q
];[ba
0)(x
f
)(x
f
x
xx
.
11
q
nnn
То есть, итерации надо прекращать при выполнении условия
q
xx в первом случае и условия
1nn
xx
nn
11
- во втором.
q
Погрешность результата зависит от знака )(x
погрешность не превышает
; если 0)(
x
. Если 0)(
x
, то
, то корень найден с
q
погрешностью
.
q
1
Достоинства. 1. Так как метод простых итераций сходится при любом
];[0bax
, то он является самоисправляющимся. Это значит, что отдельная
ошибка в вычислениях (хотя бы и грубая – сбой ЭВМ), если она не выводит
за пределы отрезка
, не повлияет на точность окончательного
результата. Это отразится только на количестве итераций, т.к. ошибочное
значение можно рассматривать как новое начальное значение
x .
0
2. Метод простых итераций можно обобщить на случай системы
уравнений.
Недостаток: метод сходится медленно, если )(x
близка к единице.
3.5. Метод Ньютона (Метод касательных)
Данный метод является очень общим и применим к широкому классу
нелинейных уравнений. С формальной точки зрения его можно
рассматривать как частный случай метода простых итераций, но он основан
на совершенно иной идее (рис. 9).
Рис. 9
Пусть корень уравнения
на этом отрезке существуют непрерывные производные функции
отделен на отрезке
ba, , причем
до
второго порядка включительно.
48
Пусть найдено некоторое приближенное значение
!2!
1
)(xfy
)(x
f
0)()(
bfa
f
0)(x
f
Положим
где
h - малая по модулю величина. Воспользуемся формулой Тейлора:
n
hx
, (3.4)
nn
)(
xf
)()()(
xfhxff
nnn
n
h
cf
2
h
, (3.5)
nn
x корня
n
.
где ),(,
В малой окрестности точного решения
порядок малости относительно
hxfxf )()(0
nnn
xcxh
.
nnn
, откуда
h
и
n
)(
cf
!2
h , поэтому приближенно можно записать
n
)(
)(
xf
n
)(
xf
n
x
n
xf
n
.
)(
xf
n
2
h
имеет второй
n
Эта формула подсказывает следующие итерации:
)(
xf
nn
xx
1
n
)(
xf
n
n
,...),2,1,0(,
(3.6)
которые и составляют метод Ньютона приближенного решения уравнения
(3.1). При этом необходимо, чтобы 0)(
xf .
n
Значение данного метода заключается в том, что он позволяет решение
нелинейного исходного уравнения свести к решению последовательности
линейных задач (за счет выделения из нелинейного уравнения главной
линейной части). Геометрически это означает замену небольшого отрезка
кривой
на каждом шаге итерации отрезком соответствующей
касательной.
Замечание. Метод касательных получается как частный случай метода
)(
простых итераций, если положить
2
1)(
x
)(
xf
)(
xx
)()()(
xfxfxf
xf
)(
xf
)(
xf
. Тогда
)()(
xfxf
и 0)(
22
,
т.е. для простого корня сходимость очень высока – быстрее, чем скорость
сходимости геометрического ряда. Можно показать, что для кратного корня
скорость сходимости соответствует скорости геометрической прогрессии.
Рис. 9 указывает на следующее достаточное условие сходимости
итераций.
Теорема. Пусть функция
ba, , причем
и ],[0)(,0)( baxxfxf
любого начального приближения ];[
xfxf последовательность (3.6) сходится к единственному на
ba, корню
0)()(
00
уравнения
дважды дифференцируема на отрезке
. Тогда для
bax
0
, удовлетворяющего неравенству
.
49
То есть, итерации сходятся к корню с той стороны, с которой
1n
0)()(
xfxf (рис.9). Вообще же, если нулевое приближение 0x выбрано
достаточно близко к корню, ньютоновские итерации сходятся.
Для оценки погрешности n - го приближения корня можно получить
неравенство
M
x
То есть, если ,
2
2
m
1
xx то
1
nn
2
1
nnn
x
n
2
M
2
, т.е. погрешность очередного
2m
1
)(max,
xfMгдеxx
и )(min
];[
bax
2
1
xfm
.
];[
bax
приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего и процесс
сходится очень быстро. Если надо найти корень с точностью , то условием
окончания итерационного процесса будет
2Mm
1
.
xx
nn
01
2
Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального
приближения
x , которое должно находиться достаточно близко к значению
0
корня . Поэтому иногда применяют смешанный алгоритм. Сначала
используют всегда сходящийся метод (деления отрезка пополам), а после
нескольких шагов – быстро сходящийся метод Ньютона.
Опишем один шаг итераций. Если на (
) шаге очередное
приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то
вычисляются величины )(
При выполнении условия
значение корня значение
xf , )(
1n
xf и следующее приближение
1n
xx .
1
nn
xx принимаем за приближенное
x с точностью
n
)(
xf
1
n
nn
)(
xf
1
n
01
.
Достоинства метода. 1. При выполнении условий теоремы высокая
скорость сходимости вблизи простого корня.
2. При больших значениях )(xf
метод Ньютона обладает хорошей
устойчивостью.
3. Метод естественно обобщается на системы уравнений.
Недостатки. 1. Метод касательных очень чувствителен к выбору
начального приближения. При неудачном выборе
x метод расходится или
0
дает циклы.
1. Метод Ньютона удобно применять, если )(xf
график имеет большую крутизну вблизи корня. Если )(xf
велика, т.е.
мала, то число
итераций может оказаться большим или вычисление корня с заданной
точностью – невозможным.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]