Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п

2

216

sin,0



2



)(xfy



)(xfy







)(xfy



1n

),(ba

1n

)(x

f

)(x

f





~











Применяя формулу Лагранжа, получим

sin,

yyy

210

.1



1

 

 

 







2



1

1 6







2



n

или

1

 





0)(

xL

2

7

)(

2

.3

xxxL 







6



1











6





1

 

 



 







1

2



1





1

2



2



6

График интерполяционного многочлена )(xLy заданные точки: значение многочлена данной функции в узлах ),...,1,0( nix

i

Если функция имеет место тождественное совпадение: )()( xLxf

.

сама является многочленом степени n, то

. В общем случае, в

n

точках, отличных от узлов интерполяции, 0)()()(



1

1 2

проходит через

xLxfxR

nn

1

 

 

 





xxxxxx



6



1

1 2







6



совпадают

.

Эта разность есть погрешность интерполяции, и называется остаточным членом интерполяционной формулы.

Если функция

имеет непрерывные производные до

порядка включительно, то остаточный член формулы Лагранжа имеет вид:

)1(nn



f

)(

xR 



n

)(



)!1(



10

))...()((

xxxxxx

, (1.13)

где  - некоторая точка из промежутка интерполяции

Знание остаточного члена в предположении ( дифференцируемости

через ее интерполяционный многочлен )(xL

n

позволяет записать точное представление

:

n

)1(nn



f

)()(

xLxf 



n

)(



)!1(



10

Абсолютную погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа в любой точке

где

 , ))....()(()(

1

n



 



bax ,

можно оценить с помощью неравенства

M

1

n

)~()~()~(

xLxfxR

 , (1.15)

nn 

)1(

n



)(max

xfM

,

bax





1

)!1(

n



n

101 nn

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке оценивается величиной

M

1

n

)(max

xR

 .

n

   

,

bax







,

bax



)!1(

n



1

n



.

)-кратной

))...()((

xxxxxx

. (1.14)

)~(

xП

xxxxxxxП

.

ba,

)(max

xП

11

Так как максимумы функций )(











)(xfy







ni,...,1,

0



0h





всего, в разных точках отрезка реализуемой следует считать оценку

)1(xfn

и )(

достигаются, чаще

1xПn

ba, , то более точной, но более трудно

xR

 .

n

   

bax

n



,,

bax



)!1(



)(max

1

)1(

n



)()(max

xПxf

1

n



C помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, построенного для промежутка

ba, , можно решать задачи экстраполяции, т.е. вычислять

значения функции для значений аргумента, выходящих за пределы этого промежутка. Задача экстраполирования обычно решается менее точно, чем задача интерполирования, и удовлетворительные результаты можно получить только для точек, близких к основному промежутку.

Вычисления, связанные с формулой Лагранжа, как правило, трудоемки. Если построенный многочлен некоторой степени недостаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию и надо повысить его степень (увеличить число узлов интерполирования), то вычисления надо проводить заново.

1.5. Конечные разности

Зададимся целью придать интерполяционной формуле Лагранжа более простой вид, подобный виду широко используемой в математическом анализе формулы Тейлора. Если в многочлене Лагранжа (1.12) все слагаемые однотипны и играют одинаковую роль в образовании результата, хотелось бы иметь такое представление интерполяционного многочлена, в котором, как в многочлене Тейлора, слагаемые располагались бы в порядке убывания их значимости. Такая структура интерполяционного многочлена позволила бы более просто перестраивать его степень, добавляя или отбрасывая удаленные от начала его записи члены.

Поставленной цели будем добиваться сначала для несколько суженой постановки задачи интерполирования. А именно, будем считать, что интерполируемая функция

на системе равноотстоящих узлов

задана своими значениями

xxx ,...,,

, т.е. таких, что любой узел

10

n

yyy ,...,,

10

n

x

i

можно представить в виде

,0ihxx

где

, а

i

- некоторая постоянная величина, называемая шагом

сетки (таблицы).

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

nnn



12

),()(

xfhxfyyy

00010

),()2(

hxfhxfyyy



00121

.............................................................

 

0011

.)1()(

hnxfnhxfyyy



Эти разности называются конечными разностями первого порядка



nk,...,2,

1





!

2

!

1



!

2





)(x

f





ni,...,1,

0





функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить 1

n

конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

2

010

2

121

2



.....;;;

yyyyyyyyy

212



nnn

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка k определяется формулой

11

k



i

k

1 

k



yyy , где

1

i

и

0

yy 

.

ii

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

yyy

;

010

2

3

2

0

2

1

.33

yyyy



0123

;2)()(

yyyyyyyyyy 

0120112010

2)()(

yyyyyyyyyy



01201120

22)()(2)(

yyyyyyyyyyyy



011223011223

Аналогично для любого k можно записать:

)1(

k

yy

y

kk



kkk



k

)1(...

yy



. (1.16)

0210

узлах

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле

kk

k

Для функции )(xfy

xxx ,...,,

, конечные разности разных порядков удобно помещать в

10

n

kyyy )1(...



ikikiki

21



, заданной таблицей своих значений

)1(

k

yy



. (1.17)

i

x :

i

yyy ,...,,

в

10

n

одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу (табл. 2) или диагональную таблицу (табл. 3) конечных разностей.

1.6. Интерполяционные многочлены Ньютона

где

Пусть функция

, и для нее построена таблица конечных разностей.

Будем строить интерполяционный многочлен )(xP

n

задана на сетке равноотстоящих узлов ,

в форме

n

))(()()(

xxxxaxxaaxP

102010

i

(1.18)



).)...()((...))()((

xxxxxxaxxxxxxa

1102103



nn

ihxx

0

13

Таблица 2

x

y



y



1n













hyh







1

h



!2h

Горизонтальная таблица разностей

x

0

x

1

2

x

3

x

4

y

0

y

1

y

2

y

3

y

4

y

0

y

1

y

2

y

3

2

y



2

y

2

y

2

y

0

1

2

3

y

 y

3

y

0

3

y

1

4



4

y

0

Таблица 3

Диагональная таблица разностей

x

2

y

 y

3

 y

4



Его

Для этого сначала подставим в (1.18) вместо x значение

)( axPy

n

или, так как hxx

Продолжая вычисление коэффициентов, положим

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

y

0

y

1

y

2

y

3

y

4

коэффициент

. Далее, полагая

000

01

, hayxPy

a

 .

1

n

y

0

y

1

y

2

y

3

aaa ,...,,

10

xx

n

)(

n 1011

yy

2

y

0

2

y

1

2

y

2

определим из условий:

n

1100 nnnnn

, получаем

1

3

y

3

y

0

1

4

y

.)(;...;)(;)(

yxPyxPyxP

)()(

xxaaxPy

,

011011

, откуда

001

0

(1.19)

x . Тогда

0

xx

. Тогда

2

))(()()(

xxxxaxxaaxPy

.

12022021022

Заменим найденные коэффициенты

y

yy 

02

0

 22

a ,

a их значениями

0

hhah

2

;

тогда

2

222 hayyyyyy  .

2012002

Воспользовавшись формулой, выражающей разности через значения функции, получим

2

y



a

 .

2

14

0

2

Точно так же получим

!3h

h

n

!

3

h

n

h



x

h







q





h





h



h

!

n





3

y



a

 .

3

0

3

Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для отыскания коэффициентов

n

y



a

 .

n

0

n

Подставим найденные выражения коэффициентов в формулу (1.18)

2



y

)()(



0

xxxxxx

0

2

!2

h

n



y

...))()((

210



0

n

))((



xxxx

10

(1.20)



).)...()((

xxxxxx

110



n



y

0



yxP

n

3

y

0

3

0

h

xx

Полученный многочлен называется первым интерполяционным многочленом Ньютона. Учитывая, что каждое слагаемое многочлена Ньютона, начиная со второго, содержит множитель

xx

, естественно

0

предположить, что им удобно пользоваться при интерполировании в окрестности узла

x или при

0

, близких к

x . Будем называть 0x базовым

0

для многочлена (1.20).

Для практического использования многочлен Ньютона обычно записывают в несколько преобразованном виде. Чтобы получить его, введем обозначение

xx

0

q



или qhxx

0

.

Множители, входящие в формулу (1.18), выразятся через следующим образом

Подставив эти выражения в формулу (1.20) , приведем ее к виду

)(

n

....



xx

hxx

q

2

xx

hxx

02

q

……………………………….

)1(

xx



n

yqyxP



00

01

)1(

qq

2

y

!2

)1(...)1(

nqqq





n

y

hnxx

0

.

0

101

,

2



,

1



nq

.

)2)(1(

qqq

!3

3

y



0

(1.21)

15

Первая формула Ньютона (1.21) обычно применяется при значениях



))1,0(q



)

0q

1n

h



2n

!

2

nki













3ni

y















1q , а именно, для интерполирования вперед (при ),(

и экстраполирования назад (при

xx

, т.е. при

0

xxx

, т.е. при

10

.

Частные случаи формулы Ньютона.

1. При

2. При

получается формула линейной интерполяции:

xx

yyxP 



01

0

.;)(

yqyyy

000

– формула квадратичной интерполяции:

2

))((

xx

)(

yyxP



02

yqyy



00





h

qq

!1

)1(



2

.

y



0

h

xxxxy

2

y



1000

0

,

!2

Интерполяционную формулу (1.21) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том,

разности

k

y

вычисляются через значения функции

i

yyy

...,,,

1

, причем

kiii



(1.17). Поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить

разности высших порядков можно учесть только

, y

2

 и y

ink

. Например, при

3

 .

в (1.21)

Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (1.21) формулы, которая была бы пригодна для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (1.18), форма интерполяционного многочлена )(xP

берется такой, которая

n

предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.

))(()()(

xxxxaxxaaxP

1210

nnnn

Коэффициенты



nnnnnn



aaa ,...,,

этого многочлена находятся аналогично

10

n



).)...()((...))()((

xxxxxxaxxxxxxa

11213

тому, как они находились для многочлена (1.18), только здесь подстановка узловых точек вместо x и рассмотрение интерполяционных равенств производится в обратном порядке. Полагая

nnnnnn



xx

,

n

yaayxP

00 nnnn

ayxxayxP

11111

xx ,…, имеем:

1n

.;)(

yy

1

nn





xx



1

nn



y

1

n





, )()(

h

y

1

n

yxP

2



a



2



nnn



h

2

yyy



12

nnn



))((

xxxx



122

nnnn



16

))(()()(

yxxxxaxx





2

yyy



hh



21

)(2

2

y



nnnn





2

!2

h

212222

nnnnnnn



2

и т.д. В общем случае

h

k

!

nk,...,2,

1



!

h

n





h





!

2

!

2





))0,1(





q

)

0q









~









)(x

f

x

~

)1,0(

~q

4

)1,0(

~q

Таким образом получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

y



n



h

n

y



0

n

...

yxP

nn



k

y



a



k

1

xx

n

kn



,

k

2

y



)()(



2

n



2

!2

h

),)...()((

xxxxxx



nn



11

.

xxxx

nn

...))((



1



(1.22)

в котором базовым является узел

Положим в (1.22) qhxx

x .

n

. Введем новую переменную

преобразуем к ней входящие в (1.22) разности

ni

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

)1(

)(

yqyxP



1

qq

2

y

...

nnnn





Ее также целесообразно использовать при значениях 1q т.е. в окрестности узла

экстраполирования вперед (при

x для интерполирования назад (при

n

.

Величина остаточного члена для первой интерполяционной формулы Ньютона определяется равенством

)1(

n



f

)()(

qhxRxR

0

nn



n

)(



)!1(



1

n



xx

q

 и

)(

inqhihxqhnhxihxqhxxx

000

)1)...(1(

nqqq



n

.

y

(1.23)

02

n

и

))...(1(

nqqqh



. (1.24)

n

)1(

При наличии оценки



n

1



baxMxf

,)(



можно уточнить

границы абсолютной погрешности конечноразностного интерполирования в конкретной точке и на всем промежутке

оценки погрешности интерполяции в точке hqxx

M

1

n

~

()~(

0

n

)

hqxPxf





n



Если интерполяционная формула )()( аппроксимации базовому узлу

x справа от него, т.е. если

0

в точке

, расположенной достаточно близко к

ba, по типу (1.14), (1.15). Так, для

)...(1

имеем

~

)

nqqqh



. (1.25)

0

1

n



~

(

)!1(

qhxPxf

0

n

используется для

, то оценку (1.25) можно

существенно упростить. Это достигается применением неравенства

!

n

))...(1(

nqqq 

17

для любого

.

Подстановка последнего неравенства в (1.25) приводит к простой

)(x

y



x

y



точечной оценке

M

1



~

()~(

0

n

)



hqxPxf , (1.26)

n



n

1



n

h

)1(4

подчеркивающей степенную зависимость точности интерполирования от малости шага таблицы.

Пример. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значения функции

при следующих значениях

аргумента (табл. 4):

1) 2273.1

x ; 2) 253.1

1

x ; 3) 210.1

2

x ; 4) 2638.1

3

x .

4

Таблица 4

1.215

1.220

1.225

1.230

1.235

1.240

1.245

1.250

1.255

1.260

0.106044

0.113276

0.119671

0.125324

0.130328

0.134776

0.138759

0.142367

0.145688

0.14809

Решение. Составим таблицу конечных разностей (табл. 5):

Таблица 5

x

i

1.215

y

i

0.106044

y

i

0.007232

2

y



i

-0.000837

3

y



0.000095

i

1.220

1.225

1.230

1.235

1.240

1.245

1.250

1.255

1.260

0.113276

0.119671

0.125324

0.130328

0.134776

0.138759

0.142367

0.145688

0.14809

0.006395

0.005653

0.005004

0.004448

0.003983

0.003608

0.003321

0.003121

------

-0.000742

-0.000649

-0.000556

-0.000465

-0.000375

-0.000287

-0.000200

------

0.000093

0.000091

0.000090

0.000088

0.000087

-------

------

18

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся

2273

.1

x

210

.1

x

!

3

!

2





h



2273

.1

x



46

005

.

0



210

.1

x



005

.

0



6



253

.1

x

2638

.1

x

!

3

!

2





h



253

.1

x



005

.

0



6





2638

.1

x



005

.

0



6



n

1n

разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значений функции при

и

воспользуемся

формулой Ньютона для интерполирования вперед:

)1(

)( y

yqyxy 

 , где

00

qq

2

y

0

)2)(1(

qqq

3

q

0

 .

xx

0

1) Если

, то примем 225.1

x ; тогда

0

q ,

)54.0(46.0

005653.046.0119671.0)2273.1(

y

2

)54.1)(54.0(46.0





000806.00026004.0119671.0000093.0

6

.122358.01223579.00000059.0

q ,

2) Если



, то примем 215.1

x ; тогда 1

0

)2)(1(

007232.0)1(1106044.0)210.1(

y

2

)3)(2)(1(







Для вычисления значений функции при

.097880.0000095.0

и

воспользуемся формулой Ньютона для интерполирования назад:

)1(

)(



yqyxy , где

1

qq

2

y

2

)2)(1(

qqq



3

y

3



nnnn

225.12273.1

)000649.0(





215.1210.1

)000837.0(



q

 .

.0





xx

n

3) Если

, то примем 255.1

x ; тогда

n

255.1253.1

4.0

q ,



6.0)4.0(

003321.0)4.0(145688.0)253.1(

y

2

6.16.0)4.0(







.144388.01443884.0000088.0

)000287.0(



260.02638.1

4) Если

, то примем 260.1

x ; тогда 76.0

n

q ,



76.176.0

003121.076.0148809.0)2638.1(

y

2

76.276.176.0







.151101.01511007.0000087.0

)000200.0(



Многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные для одних и тех же узлов интерполяции, тождественно равны между собой (многочлены степени

совпадают в

точке), хотя и имеют различную форму записи.

19

Формула Ньютона обычно более удобна для применения. Если мы

1n

)(x

f



)(x

f

)(x











mi,...,1,

0







mi,...,1,

0



],[ba

хотим улучшить приближение, повысив степень аппроксимирующего многочлена, добавив несколько новых узлов не меняя старых, то в формуле Ньютона придется добавить только несколько новых слагаемых. Число их равно числу добавленных узлов. В случае формулы Лагранжа надо производить все вычисления вновь.

Следует подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен (при условии, что вычисления проводятся точно).

Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, тогда как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху.

При построении интерполяционных многочленов с равномерным распределением узлов с увеличением степени многочлена последовательность его значений расходится для любой фиксированной

точки x при 17.0  x .

Положение может быть исправлено специальным расположением узлов интерполяции, например выбором

многочленов Чебышева степени

.

x , совпадающими с корнями

i

На практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяцию, сплайны).

1.7. Среднеквадратичное приближение функций. Метод наименьших квадратов

Пусть для неизвестной функции

в точках

xxx ...,,,

10

m

экспериментальным путем получены значения

)(),....,(),(

xfyxfyxfy

1100 mm

аппроксимировать таблично заданную функцию простой функции интерполяции

x равенства )()(

i

. При этом требуется выполнение в узлах

. Интерполяция позволяет

с помощью более

xxf

(

ii

). В ряде случаев

выполнение этого условия затруднительно или даже не целесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу )()(

большего отрезка

. При этом точность приближения может оцениваться

xxf

ii

(

), пригодную для

по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

20