Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из
n
1)(
0
A
P
n
26m
*( ) 0.0026
10000
n
общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < т < п и,
значит, 10
. Следовательно, 0 < Р(А) < 1 .
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному
m
неравенству
.
3. Относительная частота. Статистическое определение
вероятности. Классическое определение вероятности не является
пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно
неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например,
при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных
граней не равновозможно.
В таких случаях используется, так называемое, статистическое
определение вероятности.
Пусть произведено п испытаний, при этом некоторое событие А
наступило т раз (m п).
Определение 10. Число т называют абсолютной частотой (или
m
просто частотой) события А, а отношение
АР )(* называют
относительной частотой события А.
Пример 13. При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26.
Здесь
Р А
абсолютная частота испорченных арбузов, а
26
относительная.
Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают
заключить: при проведении серий из п испытаний, когда число n
сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения,
которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением
m
п числа испытаний в сериях относительная частота
АР )(*
приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и
принимая все более устойчивые значения.
Пример 14. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000
бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались
равными 0.501; 0.485; 0.509; 0.536; 0.485; 0.488; 0.500; 0.497; 0.494; 0.484.
Эти частоты группируются около числа 0.5.
Определение 11. (статистическое определение вероятности).
Вероятностью события А в данном испытании называют число Р(А), около
которого группируются значения относительной частоты при больших п.
В условиях только что приведенного примера 2 указанная вероятность
равна 0.5.
101
Пример 15. По официальным данным шведской статистики
200
n
m
относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г.
характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования
месяцев, начиная с января): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462;
0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473. Эти частоты группируются около числа
0.482.
Таким образом, относительная частота события приближенно
совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико.
Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения.
Укажем еще один такой пример с бросанием монеты (табл. 22).
Таблица 22
Экспериментатор
Бюффон
К. Пирсон
Число
бросаний
4040
12000
Число
выпадений
герба
2048
6019
Относитель-
ная частота
0.5080
0.5016
К. Пирсон 24000 12012 0.5005
Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0.5,
причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях
отклонение равно 0.008, а при 24 000 0.0005.
Пример 16. Чтобы знать, какова вероятность для данного станка
изготовить годную деталь, поступают так: проверяют одну или несколько
партий деталей, изготовленных станком, подсчитывают число годных
деталей, вычисляют относительную частоту и в соответствии с
определением вероятность принимают равной этой частоте. Допустим, при
проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность
наудачу выбранной детали быть годной
190
Р
.95.0
Вероятность найдена приближенно, так как 0.95 это относительная
частота.
Аналогичным образом поступают, например, при определении
процента всхожести семян.
4. Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика - раздел
математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного
типа можно составить из данных предметов (элементов).
Как при решении задач с использованием классического определения
вероятности, так и в дальнейшем нам понадобятся некоторые формулы
комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Определение 12. Размещениями из п различных элементов по т
элементов (
) называют комбинации, составленные из данных п
102
элементов по т элементов, которые отличаются либо самими элементами,
либо порядком элементов.
Например, из трех элементов a, b, с можно составить по два элемента
следующие размещения:
ab, ас, bс, ba, ca, cb.
Число различных размещений из п элементов по т элементов
определяется с помощью формулы
m
n
).1()2)(1( mnnnnА
Пример 17. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков
различного цвета, взятых по 2?
Решение. Искомое число сигналов 3056
2
6
А .
Определение 13. Перестановками из п различных элементов
называют размещения из этих п элементов по п.
Как видно из определений 1 и 2, перестановки можно считать частным
случаем размещений при т = п. Следовательно, число всех перестановок из
п элементов вычисляется по формуле
n
!123)2)(1( nnnnР
Пример 18. Для лечения заболевания применяют три лекарства.
Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства,
оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется
различных порядков назначения этих лекарств?
Решение. Имеется 6123!3
Р различных порядков назначения
3
трех лекарств.
Определение 14. Сочетаниями из п различных элементов по т
элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов
по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не
учитывается порядок элементов.
Число сочетаний из п элементов по т элементов вычисляется по
формуле
m
С
A
m
n
P
n
m
mnnnn
)1()2)(1(
mm
)1(321
или
!
m
C
n
Отметим особенность формулы (9.1): .
n
(9.1)
.
)!(!
mnm
m
n
mn
CC
n
Пример 19. В лабораторной клетке содержат трех белых и трех
коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они
могут быть любого цвета.
103
Решение. В данном случае цвет не существен. Поэтому имеется
265!4!
2
).()()(ВРАРВАР
2
6
!6
15
С способов, которыми две мыши можно выбрать из
шести.
Приведем, наконец, один из примеров применения формул
комбинаторики к нахождению вероятности события.
Пример 20. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние
цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова
вероятность того, что номер набран правильно?
Решение. Две последние цифры можно набрать
2
А способами, а
10
благоприятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет только
один способ. Поэтому
)(
МР
А
2
10
11
1
.
90
910
9.2. Свойства вероятности
1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий
Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В,
состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.
Пример 1. Испытание стрельба двух стрелков (каждый делает по
одному выстрелу). Событие А попадание в мишень первым стрелком,
событие В попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В
будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней
мере, одним стрелком.
Аналогично суммой конечного числа событий А1, A2, ..., Ak называют
событие А = А1 + А2 + ... + Ak, состоящее в наступлении хотя бы одного из
событий Аi (i = 1,..., k).
Определение 2. Произведением событий А и В называют событие С =
АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и
событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, ... , Ak
называют событие А = А1А2 ... Ak , состоящее в том, что в результате
испытания произошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведением событий А и В
будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Из определения 2 непосредственно следует, что АВ = ВА.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий:
Совершенно так же теорема формулируется для любого конечного
числа попарно несовместимых событий.
104
(9.2)
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и A
10
10
( ) ( ) ( ) 0.8
10 10
959050903090
2
2
равна единице:
.1)()( APAP (9.3)
Так как события А и A несовместимы, то по сформулированной выше
теореме Р(А) + Р(A) = Р(А+A). Событие А + A есть достоверное событие
(ибо одно из событий А или A произойдет). Поэтому Р(А+A) = 1, что и
приводит к искомому соотношению (9.3).
Пример 2. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова
вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
Решение. Вероятность вынуть красный шар
)( АР , синий
5
)( ВР . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше
теореме
3 5
3
Р А В Р А Р В
.
Пример 3. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр.
Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают
одну астру?
Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать
20
.
красную или синюю астру, т. е.
Р
2. Теорема умножения вероятностей
Определение 3. Два события А и В называют независимыми, если
вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое
событие или нет1. В противном случае события А и В называют
зависимыми.
Пример 4. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть
1
событие А вынут белый шар. Очевидно,
)( АР . После первого
испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и
снова вынимается шар. Событие В во втором испытании вынут белый шар
1
– также имеет вероятность
)( ВР , т.е. события А и В независимые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не
кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом
испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается
1
Несколько событий А1, ..., Ak называют независимыми в совокупности (или просто независимыми),
если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие
рассматриваемые события или нет.
105
1
3
A
В
61312
1.0
вероятность события В увеличивается
)(ВР ; если в первом испытании был вынут черный шар, то
3
2
)(ВР .
3
Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло
или не произошло событие А, в таких случаях события А и В зависимые.
Определение 4. Пусть А и В зависимые события. Условной
вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В,
найденную в предположении, что событие А уже наступило.
Так, в примере 1,
)( ВР
А
. Заметим, что если события А и В
независимы, то РА(В) = Р(В).
Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
1
Р(АВ)=Р(А) )(BР
. (9.4)
Замечание. Применив формулу (1.4) к событию ВА, получим
Р(ВА)=Р(В) )(АР
. (9.5)
Так как АВ = ВА (см. п. 1), то, сравнивая (9.4) и (9.5), получаем, что
).()()()( АРВРВРАР
ВА
Пример 5. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый
шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий
вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?
Решение. По формуле (9.4) имеем
.
)( АР
Пример 6. Предположим, что вероятности встретить реку,
загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и
обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0.4; 0.1 и 0.05. Найти:
1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором,
1
будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. )(АР
;
В
2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором,
будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. )(BР
Решение. Из формулы (9.5) находим
)(
АР
В
.
A
)(
АВР
)(
ВР
откуда
,
05.0
)( АР
В
.5.0
Аналогично, используя формулу (9.4), находим
106
4.0
05.0
).()()(ВРАРАВ
Р
7.07.0
)( ВР
А
.125.0
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и
В равна произведению вероятностей этих событий2:
Действительно, если А и В независимые события, то )()( BPBР
(9.6)
A
и
формула (9.4) превращается в формулу (9.6)
Пример 7. Вероятность выживания одного организма в течение 20
мин Р=0.7. В пробирке с благоприятными для существования этих
организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма.
Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?
Решение. Пусть событие А первый организм жив через 20 мин,
событие В второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между
организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В
независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По
теореме 2 получаем Р(АВ) =
= 0.49.
3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их
произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ). (9.7)
Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ
есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (9.2)
является частным случаем формулы (9.7).
Пример 8. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых
растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди
них хотя бы одно окажется здоровым.
Решение. Введем обозначения для событий: А1 первое растение
здоровое; А2 второе растение здоровое; A1 + А2 хотя бы одно растение
здоровое.
Так как события А1 и А2 совместимые, то согласно формуле (9.7)
ААРАРАРААР
212121
.19975.095.095.095.095.0)()()()(
4. Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь
при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,
... , Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей
каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность
события А:
2
В случае независимых событий эта теорема распространяется на любое их конечное число.
107
)()()()()()()(
1
2
.66.03.036.05.06.09.04.0)
(
A
P
3
3
4
2
362321314331323
21
21
. (9.8)
АРВРАРВРАРВРАР
ВnВВ
n
(формула полной вероятности).
Пример 9. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20
задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному
исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же
доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет,
если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15
задач по интегральному исчислению?
Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному
исчислению (событие В1) равна Р(В1) = 0.4, по интегральному исчислению
(событие В2) Р(В2) = 0.6. Если событие А означает, что задача решена, то
AР
В
,9.0)(
5.0)(
В
AР
. Теперь по формуле (9.8) имеем
Пример 10. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом
находятся две белые мыши и одна серая, во втором три белые и одна
серая, в третьем две белые и две серые мыши. Какова вероятность того,
что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Решение. Обозначим В
выбор первого ящика, В2 выбор второго
1
ящика, В3 выбор третьего ящика, А извлечение белой мыши.
1
Так как все ящики одинаковы, то P(B1)=Р(В2)=Р(В3) .
первый ящик, то
2
)(1АР
В
. Аналогично
В
3
)(2АР
,
Если выбран
1
)(3АР
В
. Наконец,
по формуле (9.8) получаем
1
)( АР
.
5. Формула Бейеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к
формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате
которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с
тем, что событие А уже произошло) величины )(
Найдем условную вероятность )(
BР .
kA
BР , k = 1,... , п.
k
По теореме умножения вероятностей и формуле (9.5) (см. п. 2) имеем
).()()()()( АРВРВРАРАВР
ВkkАk
k
)(
ВР
kА
Отсюда
)()(
АРВР
Вk
k
)(
АР
.
Наконец, используя формулу полной вероятности, находим
108
)()(
2
1
395
.048.05.031.05.0)
(
А
Р
395
.
0
p
q
1
АРВР
Вk
)(
ВР
kА
n
1
j
k
)()(
АРВР
Вj
j
).,,2,1(
nk
(9.9)
Формулы (9.9) называют формулами Бейеса (или Байеса).
Пример 11. Большая популяция людей разбита на две группы
одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким
содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была
богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах
возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах
соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек
имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот
человек принадлежит к контрольной группе?
Решение. Введем обозначения для событий: А случайно выбранный
из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание; В1 человек
придерживался специальной диеты; В2 человек принадлежал к
контрольной группе. Имеем
21
АРАРВРВР
ВВ
.48.0)(,31.0)( ,5.0)()(
Согласно формуле полной вероятности
и, наконец, в силу формулы (9.9) искомая вероятность
48.05.0
)(
ВР
2
А
.61.0
6. Формула Бернулли. Будем производить последовательные
испытания, в результате каждого из которых может наступить или не
наступить некоторое событие A, и пусть при каждом отдельном испытании
вероятность наступления события A одна и та же и не зависит от
наступления или не наступления этого события при других испытаниях;
обозначим ее через p
10
p . Какова вероятность того, что событие A в n
испытаниях наступит ровно m раз, безразлично в какой последовательности,
(и, следовательно, не наступит ровно в n - m испытаниях)?
Искомую вероятность можно вычислить точно. Искомая вероятность
наступления события A ровно при m испытаниях находится по формуле
Бернулли
n
)(
qpCmP
nn
mnm
)!(!
!
mnmmnmm
, (9.10)
qp
где q - вероятность противоположного события A,
.
Это выражение известно в алгебре как общий член бинома Ньютона,
поэтому оно называется биномиальным законом распределения
вероятностей.
109
Пример 12. Вероятность того, что стрелок поразит мишень одна и та
1
1
p
q
1
.
7373
.03277
.04096
.0)
(
A
P
8.0p
.
9421
.03277
.04096
.02048
.0
.
2629
.03277
.04096
.01
же при каждом выстреле и равна 0,8. Стрелок произвел 5 выстрелов. Какова
вероятность, что мишень будет поражена не менее 4-х раз?
Решение. Пусть событие А заключается в том, что стрелок поразит
мишень не менее 4-х раз. Событие А произойдет, если произойдет событие
A – стрелок поразит мишень 4 раза, или произойдет событие 2A – стрелок
поразит мишень 5 раз. Так как события
A и 2A – несовместны, то
)()()(
APAPAP
.
21
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой
вероятности воспользуемся формулой Бернулли
!
k
C
- число сочетаний из n элементов по k,
n
n
!)!(
kkn
)( , где
nn
knkk
qpCkP
. Найдем
вероятности этих событий
)(
51
52
qpCAP
)!45(!4
555
pCAP
!5
444
;4096.0)8.01()8.0(
.327.0)8.0()(
Тогда
Пример 13. Найти вероятность того, что в пяти независимых
испытаниях событие появится: а) ровно 3 раза, б) не менее трех раз, в) не
более трех раз, г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность
появления этого события
.
Решение. Для нахождения искомых вероятностей опять воспользуемся
формулой Бернулли. В рассматриваемом случае:
а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях
55
)8.01()8.0()3(
!2!3
!5
23233
CP
.2048.0)2.0()8.0(
б) вероятность появления события не менее трех раз в 5 испытаниях
144
5555
5
055
)2.0()8.0()2.0()8.0(2048.0)5()4()3( CCPPP
в) вероятность появления события не более 3 раз в 5 испытаниях
)5()4(1)3()2()1()0(
PPPPPP
555555
г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях
)0(1)5()4()3()2()1(
PPPPPP
555555
5
500
C
.9997.00003.01)2.0()8.0(1
При решении б) - г) использована теорема сложения вероятностей
несовместных событий, а при решении в), г) – понятие противоположных
событий, сумма вероятностей которых равна 1.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]