Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Для нахождения корней произвольной дифференцируемой функции
)(x
f
bxa
0)(a
f
0)(a
f
чаще всего применяют метод Ньютона, особенно если известны различные
начальные приближения корней
Пример. 0)(
2
n
xx
nn
1
2
ax
x
n
1
x
2
2
a
n
x
axxf . Тогда формула (4.6) дает
, т.е. уже рассмотренная формула.
n
3.6. Метод хорд
Пусть дано уравнение (4.1), где
– непрерывная дважды
дифференцируемая функция на отрезке
0)(
xf при
случая: 1)
. Тогда кривая будет выпукла вниз. Возможны два
(рис.10)
Рис. 10
2)
(рис. 11).
ba, . Пусть для определенности
Рис. 11
51
Проведем хорду
AB
)(xfy
OX
AB
))(,(afa
A
))(,(bfb
B
0y
))(,(bfb
B
2
b
02.12.02.
023xxx
002
.
0
06.0)1(
f
06.5)2(
f
0
425
.1)5.1(
f
5.1
1
, соединяющую концы кривой
. За
приближенное значение искомого корня примем абсциссу
пересечения этой хорды с осью
значения напишем уравнение прямой
точки
xx
1
, то, следовательно,
и
:
. Для разыскания этого приближенного
, проходящей через две заданные
afy
)(
afbf
af
)(
afbf
1
)()(
)()(
ax
, откуда
ab
ax
. Так как
ab
1
ax
.
Чтобы получить более точные значения корня, определяем )(
Если 0)(
bx ,
1
xf , тогда за новый промежуток изоляции корня можно принять
1
))(,(
. Соединив точки
xfxA
111
и
, получим в точке
пересечения хорды с осью OX второе приближение
)()(
xfxb
вычислим по формуле
применим эту формулу к отрезку
xx
. Если же 0)(
12
, xa . Повторяя этот прием несколько раз,
1
будем получать все более точные значения корня ,...,
В первом случае конец
отрезка изоляции неподвижен и
11
)()(
xfbf
1
xx и т.д.
43
последовательные приближения корня находятся по формуле
x точки
1
при
)()(
afab
)()(
afbf
xf .
1
x , которое
xf , то
1
)()(
xfxb
xx
1
nn
nn
. (3.7)
)()(
xfbf
n
Во втором случае неподвижен конец a, а последовательные
приближения имеют вид
)()(
ax
1
n
n
n
afax
. (3.8)
)()(
afxf
Если x - точный корень уравнения (3.1), изолированный на отрезке
ba, , а
- приближенное значение корня, найденное методом хорд, то
оценка погрешности этого приближенного значения такова:
)()(
x
2
max
,
ba
)(
xfbfaf
. (3.9)
3
)(
xf
Пример. Методом хорд найти положительный корень уравнения
с точностью до
.
Решение. Найдем интервал изоляции корня. Так как
и
, то искомый корень лежит в интервале (1,2). Для того чтобы
уменьшить количество вычислений разделим этот интервал пополам. Так
как
,
. Последовательно применяя формулу
(3.7), будем иметь
52
;15.115.01
6.0
425
.
1
073
.0425
.
1
036
.0425
.
1
49.3
002
.0198
.
1
10
n
1
x ;173.0)(
1
6.0)16.1(
xf
1
173.0)15.15.1(
15.1
2
x ;036.0)(
;190.1040.015.1
xf
2
036.0)190.15.1(
190.1
3
Так как 2.04.03)(
xf , то можно принять
x ;0072.0)(
2
2
xxxf и при 5.1
49.38.043.132.05.14.0198.13)(
;198.1008.015.1
xf
3
xx имеем
3
0072.0
002.0
x
.
.
Таким образом,
0
3
, где
3.7. Решение нелинейных систем методом Ньютона
Метод Ньютона легко обобщается на систему уравнений. Для простоты
рассмотрим систему двух уравнений
xxf
0),(
211
xxf
212
(3.10)
.0),(
(случай большего числа уравнений рассматривается аналогично). Будем
поступать так же, как и в случае одного уравнения. Пусть
)(
)(
решение системы (3.7), а ),(
1
nn
xx - приближенное решение на
2
,
21
- точное
-м шаге.
Тогда точное решение можно представить в виде.
n
)(
n
и
1
2
где
x
1
1
nn2)(
,
1
xxf дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности решения.
212
- поправки (погрешность решения). Пусть функции ),(
),(
Разложим левые части уравнений (3.10) по степеням малых величин
x
n
2
)(
,
n
2
xxf и
211
nn
,
21
ограничиваясь линейными членами, т.е. дифференциалами 1 порядка:
)(
)(
)(
1211
1
2212
1
)(
2
1
)(
)(
2
1
Отбрасывая слагаемые ),(
)(
1
2
)(
)(
2
1
2
)(
o
и ),(
1
)(2)(
)(
)(
2
1
)(
1
получаем, что точное решение ),(
)(
приближенное решение ),(
)(nnn
)(
xxx из решения линейной системы:
2
1
)(2)(
1
1
2
1
)(
nnn
2
определяется через
21
oxxdfxxfxxff
)(2)(
o
2
)(
nnnnnnnnnn
),(),(),();(),(
1
oxxdfxxfxxff
)(
2
1
)(2)(
nnnnnnnnnn
2
,
1
)(
2
1
).,(),(),();(),(
)(
nnn
53
f
x
x
)(
1
1
1
f
)(
2
1
1
f
x
x
)(
nn
1
2
f
2
2
f
2
1
)(
nn
.
f
2
2
Учитывая, что
)(
1
f
1
x
1
f
2
x
1
Значения функций
1
1
1
f и 2f вычисляются при
1
)(
nn
x
и
1
)(
x
1
x
1
)(
)(
2
f
1
x
2
f
2
x
2
2
2
2
)(
nn
x
, получим:
2
)(
nn
)()(
fx
2
1
)(
nn
.)()(
fx
2
2
)(
,
1
1
2
)(
nn
xxxx .
2
Это приводит к естественному определению приближенного решения
)1(
n
)1(
1
следующей системы линейных относительно
)1(
nn
xxx по приближению ),(
),(
2
f
1
x
1
f
2
x
1
)1(
1
)1(
1
)(
xx
1
)(
xx
1
f
1
x
2
f
2
x
2
)(nnn
)(
1
)1(
2
)1(
2
)(
)(
xxx , как решение
2
1
)(
,nnxx уравнений:
2
)(
nnnn
)()(
fxx
2
1
(3.11)
)(
nnnn
.)()(
fxx
2
2
Для существования единственного решения системы (3.11) ее
определитель (якобиан, определитель Якоби) должен быть отличен от нуля
на каждой итерации, т.е.
f
1
x
J
1
f
2
x
1
f
1
x
2
f
2
x
2
.
0
Тогда решая систему (3.11), например, по правилу Крамера, получим:
)1(
1
)(
nn
xx
1
1
J
f
2
f
1
f
x
2
2
)1(
xx
2
2
1
)(
nn
J
f
2
f
1
f
x
2
1
Величины в правой части вычисляются при ),(
f
1
x
2
.
f
1
x
2
)(
1
)(
xxx .
2
)(nnn
54
3.8. Метод итерации для системы двух уравнений
,
R
R
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными
0),(
yxf
1
yxf
2
(3.12)
,0),(
где ),(
yxf , ),(2yxf непрерывные функции. Требуется найти
1
действительные корни этой системы.
Предположим, что эта система имеет только изолированные корни.
Начальное приближение (
кривые 0),(
yxf , 0),(
1
, yx ) можно найти графически, построив
00
yxf и определив координаты их точек
2
пересечения.
Представим систему (3.12) в виде
1
),(
yxx
(3.13)
),(
yxy
2
и построим последовательные приближения по следующим формулам
),(
),(
yxx
; ),(
0011
yxx
; ),(
1112
yxy
;
0021
yxy
; (3.14)
1122
……………………………………….
),(
11 nnn
Если существуют пределы
yxx
; ),(
lim
nx
21 nnn
n
,
yxy
.
lim
ny
, то точка (
n
является решением системы (3.12).
Достаточные условия сходимости итерационного процесса содержатся
в следующей теореме.
Теорема. Пусть в некоторой области
, имеется
BybAxa
)
одно решение системы (3.13). Если выполнены условия:
1) функции ),(
yx
1
и ),(
yx
2
определены и непрерывно
дифференцируемы в R;
2) начальное приближение (
(
yx , ) принадлежат
nn
;
, yx ) и все последующие приближения
00
3) в R выполнены неравенства
),(),(
yx
x
yx
21
x
1
q
1
yx
y
21
),(),(
yx
q
y
,1
2
то процесс последовательных приближений (3.14) сходится к корням
системы (3.13), т.е. существуют пределы
55
lim
nx
,
n
lim
ny
.
n
Пример. Решить методом итераций систему уравнений
)4.1;4.1(
)2.2;4.3(
x
xex
x
Решение. Построим кривые
2
2
152),(
xxyxyx
(рис.12). Это будут точки
2
2
0lg3
yxx
xxyx
1
lg3),( yxxyx
2
и
и определим графически точки их пересечения
и
.
Рис. 12
Для применения метода итерации необходимо привести систему к
виду (3.13), что можно сделать различными путями. Если приведем систему
к виду
1
2
xy
x , 2.2
;
0
yx
2
),(
yx
2
x
y будут
0
1
2
2
то производные
2
y
.0
),(
yx
Отсюда видно, что в окрестности точки 4.3
2
yx
1
),(
, ),,(5
1
lg3
),(lg3
yxxyx
yx2),(
; y
1
y
иметь место неравенства
),(),(
yx
x
yx
12
x
1
, 4
1
),(
yx
.
y
;
Это показывает, что при таком виде системы итерационный процесс
расходится. Определим теперь x из второго уравнения, а y из первого и
запишем нашу систему в таком виде
56
2
Здесь
43x
5.2
2
y
x
x
2
,...2,1,
0n
2
483
.
3
262
.
2
1
x
yx
yx
),(
1
x
2
1)5(
1
y
yx
1
yx
),(
x
).,(lg3
);,(
yx
;
1
1)5(252
e
lg3
x
; .0
xx
lg32
),(
yx
1
y
),(
yx
2
y
yxxxy
2
x
;
1)5(22
yx
За область изоляции корня можно принять прямоугольник
. Легко установить, что в этом прямоугольнике
),(
yx
1
60.0
, 32.0
1
),(
yx
y
, 34.0
2
),(
yx
.
Отсюда
),(),(
yx
21
x
),(),(
yx
21
y
194.034.060.0
,
132.0032.0
.
yx
x
yx
y
Следовательно, итерационный процесс сходится, но так как сумма
производных по x сравнительно велика, то скорость сходимости
оказывается небольшой.
Вычисления с нулевыми приближениями 4.3
x , 2.2
0
y будем
0
производить по формулам
1)5(
yx
x ,
1
nnn
xxy lg31
(
nnn
).
,
При различных значениях n эти вычисления дают следующие
результаты
1)52.2(4.3
x , 243.2426.3lg3426.3
1
x , 205.2
2
x , 255.2
3
x , 258.2
4
x , 259.2
5
x , 260.2
6
451.3
466.3
475.3
480.3
483.3
y ,
y ,
y ,
y ,
y .
426.3
2
3
4
5
6
Таким образом, можно принять
57
1
,
y ,
.
Задачи для самостоятельного решения
0118
923xxx
01123xx
02034xx
0523xx
0134xx
0533xx
01.0
0xe
x
0
25xx
0
sin
42x
x
0133xx
0y
001
.
0
001
.
0
0x
1. Определить графически интервалы изоляции действительных
корней уравнения
.
2. Определить графически интервалы изоляции действительных
корней уравнения
.
3. Методами деления пополам, касательных и хорд решить с
точностью до 01.0 уравнения:
а)
в)
; б)
; г)
;
.
4. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них
методом итераций с точностью до
а)
; б)
:
.
5. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них
методом итераций с точностью до 01.0 :
а)
; б)
.
6. Методом Ньютона найти решение нелинейной системы уравнений
22
yx
23
yxx
012
.016
7. Методом Ньютона найти решение нелинейной системы уравнений
y
0
ex
x
ey
.0
8. Методом Ньютона найти решение нелинейной системы уравнений
22
yx
,02
xyx
(
)
;0)ln(
9. Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений
2.1)1sin(
.2cos2
с точностью до
:
yx
yx
10. Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений
,0)cos(
yxx
22
yx
(
;01
).
с точностью до
:
58
4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
)(x
f
)(x
P
)(x
f
)(x
P
)()()(xPxfx
R
)(xfy
)(xPY
)(x
f
)
,...,2,1,0(ni
)(x
f
4.1. Постановка вопроса
Обычное нахождение производной с помощью таблицы производной
при численном решении задач применимо не всегда, в частности, если
функция )(xf задана таблично, а также при решении дифференциальных
уравнений разностными методами. В этих случаях обычно прибегают к
приближенному дифференцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют
данную функцию
(чаще всего полиномом), а затем полагают
)()( xPxf
Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков
функции
.
на отрезке
ba, интерполирующей функцией
. (4.1)
Если для интерполирующей функции
, то погрешность производной )(xP
)()()()( xRxPxfxr
то есть погрешность производной интерполирующей функции равна
производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для
производных высших порядков.
Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет
собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно,
близость друг к другу ординат двух кривых
и
на отрезке
производных )(xf
коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых
значениях аргумента (рис. 13).
4.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные
Пусть имеем функцию
нахождения на
ba, еще не гарантирует близости на этом отрезке их
и )(xP
на первой интерполяционной формуле Ньютона
отрезка
ba, производных )(xfy
ba, с помощью значений )(
, т.е. малого расхождения угловых
, заданную в равноотстоящих точках
, )(xfy
известна погрешность
выражается формулой
, (4.2)
x
i
xfy
. Для
ii
и т.д. функцию
приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона,
построенным для системы узлов
59
xxx ,...,,
, т.е. ).()( xPxf
10
n
n
!
4
!
3
!
2
h
....
!
4
!
323!
2
)(x
y
Рис. 13
Имеем
)(
где ),...,2,1(,
q
yqyxy
xx
0
)1(
qq
y
00
2
y
0
1
ii
)2)(1(
qqq
3
y
0
nixxh
.
)3)(2)(1(
qqqq
4
Перепишем ее, выполнив умножение:
2
qq
)(
y
yqyxy
00
dy
dy
Так как ,
dq
dx
)(
xy . (4.3)
y
0
h
q
2
Аналогично, так как ,
xy . (4.4)
1
)(
2
h
2
y
0
1dqdy
dq
то
hdx
121
2
y
0
2
0
2
)(
xy
23
qqq
3
y
0
dq
dx
qq
23
12
то
11186
4
263
qq
6
3
y
0
)()(
yd
yd
dx
3
)1(
yqy
0
dq
2
12
234
6116
qqqq
4
31192
qqq
4
....
y
0
....
y
0
Таким же способом в случае надобности можно вычислить и
производные функции
любого порядка.
...,
0
0
Иногда требуется находить производные функции y в основных
табличных точках
x . В этом случае формулы численного
i
дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение
можно считать за начальное, то положив 0,
1
xP
n
)(
y
h
2
00
0
3
4
0
qxx будем иметь:
0
5
yyyy
0
0
5432
.....
(4.5)
и
)(
xP
0
n
h
60
2
2
3
0
111
0
12
4
5
5
0
yyyy
6
0
.....
. (4.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]