Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
ab
10
x
x
1x
1
4
4
%06.
0
Решение. По формуле
h
)(
определим 1.0
n
Найденные значения подынтегральной функции
табл.18.
Таблица 18
2
2
)01(
h .
1
)(xxf
1
)(xxf
1
2
поместим в
2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
По формуле трапеций имеем
1
dx
0
2
1
x
1.0
2
По формуле Симпсона -
1
dx
0
2
1
x
0.00
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
0.49
0.64
0.81
1.00
5.00.1
1.00
1.01
1.04
1.09
1.16
1.25
1.36
1.49
1.64
0.81
1.00
1.0000000
0.9900990
0.9615385
0.9174312
0.8620690
0.8000000
0.7352941
0.6711409
0.6097561
0.5524862
0.5000000
.7849815.05524862.0...9900990.0
)5524862.0...9174312.09900990.0(45.00.11.0
Так как
1
dx
1
0
arctg
2
x
1
, то можно считать, что вычисляя этот
0
4
интеграл, находим приближенное значение числа
Так как истинное значение
=0.78539816, то относительная
.785398.0)]6097561.0...9615385.0(2
.
погрешность при пользовании методом трапеций не превосходит
при пользовании методом парабол - практически отсутствует.
1
Пример. Вычислить приближенно по формуле Симпсона dxxI
0
с точностью до 0.001.
Решение. Прежде всего воспользуемся формулой (5.19), определим,
какой шаг h нужно взять для достижения заданной точности. Имеем
71
, а
2
1
2
0x
180
180
60
06.04
h
5.0h
5.0h
0625
.
04
h
5.0;0x
0000
.1)0(f
1180
.1)5.0(f
4142
.1)1(f
3
148
.1
I
2
)(x
f
1)( xxf ;
xf
1)(x
;
2
)(xxf
x
1
;
32
)1(
2
312xx
72
)1(
1;0 достигается в точке
31
.
4
h
, то
), т.е.
т.е.
)(
xf
Наибольшее значение )(xf
IV
: 3)0(
f . Значит,
h
R
n
x
; )(xf
52
)1(
x
IV
на отрезке
IV
xfab
IV
.
44
h
)()(
3
Так как эта погрешность должна быть меньше 0.001, то 001.0
. Можно принять
(если
несколько большей величины, но это не отразится на точности вычислений,
поскольку при оценке была использована предельная абсолютная
погрешность – величина заведомо большая фактической погрешности. Итак,
для достижения нужной точности достаточно разбить интервал пополам.
Вычислим значения функции
2
1)( xxf при
и 1:
,
;
;
. Поэтому
5.0
1477.1)4142.11180.140000.1(
I .
Таким образом, округляя последний знак, находим
.
Вычислим для сравнения точное значение этого интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница:
1
1
0
dxxI
x
2
1
2
1
1
22
)1ln(
xxC
0
2
21ln(2
1
.1478.1)8814.04142.1(
Таким образом, значение этого интеграла, вычисленное по формуле
Симпсона, имеет даже не три, а четыре верных знака после запятой.
5.5. Правило Рунге оценки погрешности
Для оценки погрешности всех рассмотренных квадратурных формул
необходимо знание производных различных порядков от функции.
Так как в практических расчетах функция
часто бывает сложной
или задается таблично, то вычисление производных и их оценка становится
трудной задачей, особенно для )(xf
IV
в методе Симпсона. Поэтому на
практике применяют теоретически нестрогое, но простое правило Рунге. Оно
состоит в следующем.
72
Пусть при вычислении интеграла I с шагом h погрешность
ch
0c
0k
1
22
4k
1512
15
h
2
вычислений имеет вид
Это значит, что если через
k
, где постоянные
I обозначить приближенное значение интеграла
h
при вычислении с шагом h. То
При удвоении шага имеем
Сравнивая (5.21) и (5.22) видим, то
и
k
chII , (5.21)
h
k
hcII )2(
. (5.22)
h
2
kk
hh
hcII )12(2 .
не зависят от h.
Но из (5.21) следует, что
II
Отсюда
II
h
k
Для формулы Симпсона, например,
k
2
hh
- поправка Рунге.
II
. (5.23)
h
IIch . Поэтому
h
IIII .
hhh
II
2hh
k
и
)12)((
k
Это число и принимают за приближенное значение интеграла,
вычисленное с поправкой Рунге по формуле Симпсона.
Замечание. На практике поступают еще проще: осуществляют двойной
пересчет с шагом h и
, и считают, что совпадающие десятичные знаки
принадлежат точному значению интеграла.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников и оценить
погрешность.
a)
1
0
2
x
ndxe
; б) 6,
4,
2
0
cos
1
x
ndx
; в)
x
2
1
2. Вычислить интеграл по формуле трапеций и оценить погрешность.
a)
г)
2
dx
1
n
x
4.2
dx
5.0
2.1
; б) 4,sin
10,
2
x
n
2
0
8,
.
nxdx
; в)
3
1
3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона и оценить
погрешность.
. Поэтому
ln
x
.
4,
n
x
dx
;4,
n
1
x
73
6n
8n
)(x
)(x
y
),(yx
f
a)
3
dx
1
1
n
x
; б) 4,sin
4,
2
0
nxdx
4. Вычислить по формуле трапеций dxxI
; в)
2
dx
2
0
2
0
n
x
sin5.01
.
4,
2
, приняв
; оценить погрешность заранее, чтобы определить с каким числом
знаков надо вести вычисления.
8
5. Вычислить по формуле Симпсона
dx
4
, приняв
1x
. Оценить
погрешность по методу удвоения шага; сравнить с точным значением
интеграла. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.
6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. Понятие о численном решении задачи Коши
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное
относительно производной, имеет вид
),( yxfy
. (6.1)
Решением дифференциального уравнения (6.1) называется функция
, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. График
решения
называется интегральной кривой. Задача Коши для
дифференциального уравнения (6.1) состоит в том, чтобы найти решение
этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
Пару чисел ( ),
yx называют начальными данными. Решение задачи
00
)( yxy
. (6.2)
00
Коши называется частным решением уравнения (6.1) при условии (6.2).
Частному решению соответствует одна из интегральных кривых,
проходящих через точку ( ),
yx .
00
Условия существования и единственности решения задачи Коши
содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция
уравнения (6.1) – непрерывна вместе со своей частной производной ),( yxf
- правая часть дифференциального
y
по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых
начальных данных ( Dyx
решение )(xy
.
При выполнении условий теоремы Коши через точку ),(
),
00
задача Коши (6.1) - (6.2) имеет единственное
yx на
00
плоскости проходит единственная интегральная кривая.
74
Методы решения задачи Коши можно условно разбить на точные,
)(x
y
)(x
y
)(xyy
приближенные и численные.
Точные методы позволяют получить решение дифференциального
уравнения интегрированием элементарных функций, а это удается не всегда.
В приближенных методах частное решение дифференциального уравнения
получается как предел некоторой последовательности
элементарных функций )(xy
приближенное решение: )()( xx
. Если n конечно, то получают
nn
. Такой прием применим для
n
сравнительно простых задач. Иногда используется прием упрощения
дифференциального уравнения, заключающийся в обоснованном
отбрасывании некоторых членов уравнения.
Численное решение задачи Коши (6.1) - (6.2) состоит в том, чтобы
получить искомое решение
значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке
.,...,,,
в виде таблицы его приближенных
ba, :
bxxxax
210
n
(6.3)
Точки (6.3) называют узловыми точками, а множество этих точек
называют сеткой на отрезке
шагом h: ),...,2,1(;/)(
ba, . Будем использоваь равномерную сетку с
niihxxилиhxxnabh
01
iii
.
Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых
точках
x обозначим через iy ; таким образом,
i
ii
).,....,2,1()( nixy
Для любого численного метода решения задачи (6.1) -(6.2)
начальное условие (6.2) выполняется точно, т.е. )(
xy
.
00
Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на
сетке отрезка
ba, оценивается величиной
1iini
т.е. расстоянием между векторами приближенного решения ( ),...,,
точного ( ))(),....,(),(
10 n
xxx
.
,
yyy и
10 n
)(max
xyd
Численные методы применимы к очень широкому классу
дифференциальных уравнений. Это обстоятельство, а также появление
ПЭВМ послужило основой для выбора этих методов в качестве основного
инструмента решения дифференциальных уравнений.
Рассмотрим некоторые методы решения задачи Коши.
6.2. Метод последовательных приближений
Рассмотрим приближенно-аналитический способ решения начальной
задачи (6.1)-(6.2), в котором искомое решение
окрестности точки
определенным образом функций )(xy
75
x является пределом последовательности получаемых
0
.
n
в некоторой
x до
x
0n
1n
,...2,1,
0n
G
0h
)(x
y
0
Проинтегрируем левую и правую части уравнения (6.1) в пределах от
x
x
x
x
00
.
dttytfdtty
))(,()(
Отсюда с учетом того, что одной из первообразных для )(xy
)(xy , получаем
x
0
x
0
dttytfxyxy
))(,()()(
служит
или, с использованием начального условия (6.2),
x
0
x
0
. (6.4)
dttytfyxy
))(,()(
Таким образом, данное дифференциальное уравнение (6.1) с
начальным условием (6.2) преобразовалось в интегральное уравнение.
Применим к этому уравнению метод простых итераций, рассматривающийся
применительно к системам линейных и нелинейных уравнений, а также к
трансцендентным уравнениям. Беря в качестве начальной функции )(
заданную в (6.2) постоянную
При
получим второе приближение
y , получим при
0
x
x
0
x
x
0
),()(
102
первое приближение
.
dtytfyxy
),()(
001
и т.д.
dtytfyxy
xy
0
Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый
методом последовательных приближений или методом Пикара, определяется
формулой
x
, (6.5)
dttytfyxy
))(,()(
где
и
)( yxy
.
00
01
x
0
nn
Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в
следующей теореме.
Теорема. Если в некоторой односвязной области
точку ( );
yx ,
00
, содержащей
Cyxf ),( ,
то найдется такая постоянная
последовательность функций )(xy
n
равномерно сходится к решению
оценка погрешности
76
y
),( Cyxf
, что на отрезке
,
1
,
hxx
00
, определяемая методом (6.5),
задачи Коши (6.1)-(6.2) и справедлива
)()(
)(xyy
)(x
y
1
)(x
y
)(xyy
n
n
CCxyxy
1
xx
0
n
.
)!1(
1
n
)(
Отметим два обстоятельства, которые не позволяют часто
использовать метод последовательных приближений в практических
вычислениях. Во-первых, первообразную не всегда удается найти. Поэтому в
чистом виде метод (6.5) редко реализуем. Во-вторых, это метод следует
считать локальным, пригодным для приближенного решения в малой
окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для
доказательства существования и единственности решения задачи Коши,
нежели для его практического нахождения.
6.3. Метод Эйлера
Простейшим численным методом решения задачи Коши (6.1)-(6.2)
является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. В
практических вычислениях он применяется редко из-за невысокой точности,
однако он лежит в основе некоторых более точных методов.
Пользуясь тем, что в точке
и значение его производной ),()(
касательной к графику искомой функции
x известно и значение решения
0
yyfxy
, можно записать уравнение
000
в точке ),(
yx :
00
)( yxy
00
))(,(
xxyxfyy
. (6.6)
0000
При достаточно малом значении h ордината
),(
yxhfyy
0001
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (6.6) значения
hxx
, по непрерывности должна мало отличаться от ординаты )(
01
решения
задачи (6.1)-(6.2). Следовательно, точка ),(
касательной с прямой
yx пересечения
11
xx может быть приближенно принята за новую
xy
1
начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую
))(,(
xxyxfyy
,
1111
которая уже приближенно отражает поведение касательной к
))(;(
xyx . Подставляя сюда )(
11
значения )(
xy значением
2
hxxx
12
yxhfyy
, получим приближение
),(
1112
в точке
и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим
формулу Эйлера для решения задачи Коши (6.1) - (6.2)
.,...,2,1),(
niyxhfyy
1
iiii
(6.7)
Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что
интегральная кривая
…,
77
xx ,
заменяется отрезком касательной к интегральной кривой,
mm
1
на каждом отрезке
, xx ,
10
, xx ,
21
проходящей через точки ),(
)(x
y
2
h
ломаной, проходящей через точки ),(
yxP , а интегральная кривая заменяется
kkk
yxP , ),(
000
ломаная называется ломаной Эйлера (рис.17).
Рис. 17
Рассмотрим еще один способ получения формулы Эйлера (6.7). Для
этого на отрезке
xx разложим искомое решение
1,ii
Тейлора
2
xyhxyhxy . (6.8)
h
)()()(
yxP , …, ),(
111
yxP . Эта
nnn
по формуле
...)(
xy
iiii
Ограничиваясь линейными членами, получим
1
Здесь введены обозначения:
iiii
. (6.9)
yhxy ;
1)(
ii
yxy)( , а в правой
ii
2
)(),(
hoyxhfyy
части (6.1) имеем:
),())(,()(
yxfxyxfxy
.
iiiii
Пренебрегая в (6.9) членами порядка )(
2
ho , получим формулу (6.7).
Из формулы (6.9) видно, что на каждом шаге погрешность имеет
порядок )(
2
ho . При оценке погрешности на отрезке
ba, надо суммировать
погрешности на элементарных отрезках:
hno
ab
,
22
)()()(
hoho
т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности: R~h.
Главный недостаток метода Эйлера - большая погрешность на каждом
шаге. Это заставляет использовать очень мелкий шаг, что приводит к
большому количеству вычислений. При этом происходит систематическое
78
накопление ошибок из-за неточных входных данных на последующих
1)0
(y
1.0h
254
315
x
y
!
2
n
2n
2
отрезках, что приводит к ухудшению результата.
Несмотря на существенные недостатки, метод Эйлера до сих пор
сохраняет известное практическое значение. Во-первых, метод Эйлера лежит
в основе других, более точных методов. Во-вторых, более сложные методы
имеют большую точность только для уравнений с достаточно гладкой
правой частью.
Пример. Используя метод Эйлера, найти значения функции y,
определяемой дифференциальным уравнением
условии
; шаг
. Ограничиться отысканием первых четырех
значений y.
Решение. Находим последовательные значения аргумента: 0
x , 2.0
1
1.0
x , 3.0
2
x . Вычислим соответствующие значения искомой
3
функции:
1.1)01()01(1.01),(
831.1)1.01.1()1.01.1(1.01.1),(
yxfhyy ;
0001
yxfhyy ;
1112
yxfhyy
2223
yxfhyy .
3334
Таким образом, получаем табл. 19:
Таблица 19
0 0.1 0.2 0.3
y
, при начальном
xy
.1)2.0183.1()2.0183.1(1.0183.1),(
;
x ,
0
.1)3.0254.1()3.0254.1(1.0254.1),(
xy
1 1.1 1.18 1.31
6.4. Исправленный метод Эйлера
Пусть найдено приближенное значение )(
(7.1) - (7.2) и требуется вычислить )(
xyy , где hxx
11
ii
разложение решения по формуле Тейлора, принимая за базовую точку
(т.е. по степеням
1
xx
) и положим в этом разложении
i
2
h
)()()(
xyhxyxy
xy
iiii
1
...)(
xyy
решения задачи
ii
. Запишем
1
nn
ii
xx . Имеем
1i
i
n
hOxyh
1)(
).()(
x
i
Если ограничиваться двумя слагаемыми в правой части этого
разложения, то получим обычный метод Эйлера (6.7). Будем учитывать
третье слагаемое. Тогда при
1
следует равенство
2
h
)()()(
xyhxyxy
iiii
3
).()(
hOxy
(6.10)
79
Значение первой производной в точке
:
,...,1,0n
i
0i
известно ),())(,()(
yxfxyxfxy
. Дифференцируя (6.1), по формуле
iiiii
x , в силу (6.1), приближенно
i
полной производной получим
yyxfyxfxy
yx
),(),()(
находим приближенное значение второй производной
).,(),(),(
yxfyxfyxf
iiiiyiix
))(,())(,())(,()(
xyxfxyxfxyxfxy
iiiiyiixi
Подставляя приближенные выражения )(
xy , )(ixy
i
и )(
xy
в
i
равенство (6.10), получаем следующую формулу для вычисления
)(
xyy при
11
ii
1 iiiiyiixiiii
h
),(
yxfhyy
2
. (6.11)
),(),(),(
yxfyxfyxf
Определяемый ее метод называется исправленным методом Эйлера.
Так как при
формула (6.10) точна, а )(
xyy
, согласно
00
начальному условию (6.2), то на первом шаге вычислений по формуле (6.11)
будет совершаться ошибка, связанная только с усечением ряда Тейлора.
Следовательно, шаговая погрешность метода (6.11) составляет величину
)(3hO , а это означает, что исправленный метод Эйлера относится к методам
второго порядка.
6.5. Методы Рунге-Кутта
Эти методы позволяют строить схемы различного порядка точности.
Методы Рунге-Кутта очень удобны как для расчетов на ЭВМ, так и для
“ручных” расчетов. Сейчас они являются наиболее употребительными в
практических вычислениях. В их основе лежит модификация метода Эйлера.
Рассмотрим сначала один из возможных способов уточнения метода
Эйлера. Пусть на k шаге (при
следующее значение
и проведем отрезок
),(
yxfm
;
kkk
y по методу Эйлера. Для этого вычислим ),(
1k
MM : ),(
mtg
. В середине наклон интегральной кривой:
11
xx
) получено значение
k
1kk
1 kkkk
y . Найдем
k
yxhfyy
. Обозначим
yxf
kk
h
;
xN
y
2
hm
1
2
,,
222
h
,
xfmtgm
y
kkkkk
2
hm
1
2
По этому наклону определяем приращение функции на целом шаге
21
);,(;
h
,
xfmyxfmhmyy
y
kkkkkkkk
2
Геометрически это значит, что с угловым коэффициентом
проводим отрезок
80
MM . Этим производится пересчет (уточнение)
1kk
. (6.12)
hm
1
.
2
mtg
22
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]