Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Пример 14. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что
2
212
)(APp
0 1
)(x
)(x
2.0p
вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из шести (ничьи
во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, следовательно,
1
вероятность выигрыша для каждого из них одна и та же, и равна
p ,
вероятность проигрыша (вероятность противоположного события) для
1
каждого шахматиста равна
11 pq .
Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и не имеет
значения, в какой последовательности будут выиграны партии, кроме того,
количество партий невелико, то можно применить формулу Бернулли.
Найдем вероятность того, что будут выиграны две партии из четырех:
2
22
1
2422
44
qpCP .
!4
!24!2
43
2
2
1
2
6
16
3
8
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
3
33
1
3633
66
qpCP
!6
!36!3
654
6
2
1
2
20
64
5
1
.
16
7. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа. Если
число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся
затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для
вероятности Рn(т) появления события А точно m раз, если п достаточно
большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида
вероятность события А, причем
mP )( .
n
lkm
Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть
p
. Тогда вероятность того, что в
условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т
раз, выражается приближенной формулой Лапласа
)(
mP
n
2
x
где .
)(,1
2
1
2
expq
1
npq
npm
npq
,
(9.11)
Для функции
имеется таблица (прил. 1) ее значений для
положительных значений х (функция
Пример 15. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном
выстреле равна
. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах
цель будет поражена ровно 20 раз?
четная).
111
Решение. Здесь
2.0p
8.0q
100
n
20m
4
pAP)
(
,
2
0)0
(Ф
,
48.02.0100 npq и, следовательно,
,
и
. Отсюда
npm
t .
npq
4
2.010020
0
1
Учитывая, что
)0(
2
, из формулы (9.11) получаем
40.0
1
100
40.0)20(
10.0
P (для получения приближенного равенства
1
можно использовать калькулятор).
40.0
2
Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим
следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы
Бернулли событие А, имеющее вероятность
(0 < р < 1), при п
испытаниях (как и прежде, число испытаний велико) появится не менее k раз
и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через ),( lkP
n
.
Справедлива следующая приближенная формула
x
l
)(),(
n
x
k
x
l
1
2
2
x
2/
dxedxxlkP ,
(9.12)
x
k
где
npk
x
(9.13)
x
lk
npq
npl
.,
npq
Это составляет содержание интегральной предельной теоремы
Лапласа.
Введем функцию
x
)(
1
2
2
2/
t
0
,
dtexФ
(9.14)
называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Очевидно,
Ф(х) есть первообразная для функции (х). Так как (х) > 0 в (
), то
Ф(х) возрастающая функция в этом интервале. На основании формулы
Ньютона-Лейбница из формулы (9.12) получаем
).()(),(
xФxФlkP
(9.15)
kln
Это интегральная формула Лапласа.
Как известно, интеграл
1
2
x 2/
не берется в элементарных
dxe
функциях. Поэтому для функции (9.14) составлена таблица (см. приложение
2) ее значений для положительных значений х, так как
Ф(х) нечетная,
112
и функция
х
400
n, 70k, 100
l
2.0p, 8.0q
1
)(
2
0
2/
t
x
1
2
22
2/
z
0
).,( )(
dzdtztхФdzedtехФ
Пример 16. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК,
равна 0.2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных
изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.
Решение. Здесь
силу равенств (2.14) 25.1
P
(70, 100) = Ф(2.5) Ф(1.25) = Ф(2.5) + Ф(1.25) =
400
x , 5.2
1
x и согласно формуле (9.15),
2
,
. Поэтому, в
= 0.4938 + 0.3944 = 0.8882.
9.3. Приложения в биологии
1. Законы Менделя. Известно, что в простейших случаях передача
некоторого признака по наследству зависит от определенного гена. В
половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся
парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов, отвечающих за цвет
цветков потомства красный или белый. Эти гены могут находиться в двух
состояниях доминантном (оно обозначается буквой А) и рецессивном (оно
обозначается буквой а). Поэтому пары генов могут быть такими:
АА, Аа (или аА), аа.
Выписанные возможности определяют генотипы данной особи:
первый доминантный, второй смешанный, третий рецессивный.
Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи.
Например, для гороха красный цвет цветков доминантный признак, а
белый рецессивный.
Из опытов известен I закон Менделя: особи доминантного и
смешанного генотипов в фенотипе3 обладают доминантным признаком, и
только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным
признаком.
Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного
генотипов имеют красный цвет цветков и только особи с рецессивным
генотипом имеют цвет цветков белый.
Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа
поколение F
(родительские формы).
0
После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа
поколения F
в генетике принято обозначать F1. В поколении F
образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение
0
других генотипов, кроме
1
генотипа Аа, нет.
3
Фенотип – внешнее проявление признака.
113
При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется
4
4
ааАаАА
,2NwNvN
uN
),(222vuNvN
uN
vup
2
N
vwq
поколение F2, в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа:
АА, Аа, аА, аа.
Из опытов известен II закон Менделя: в поколении F
происходит
2
расщепление фенотипов в отношении 3:1 (3 части составляют особи с
доминантным признаком в фенотипе, 1 часть приходится на особи с
рецессивным признаком в фенотипе).
Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность того, что в
3
фенотипе особи проявится доминантный признак, равна
, а вероятность
1
того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна
.
2. Закон Харди. Пусть в популяции встречаются три генотипа: АА, Аа,
аа. Доля особей генотипа АА равна и, доля особей генотипа Аа равна 2v и
доля особей генотипа аа равна w. Коротко будем говорить о структуре
популяции и записывать ее так:
(9.16)
wvu
2
Под этим мы понимаем следующее: если популяция содержит N
особей, то особей генотипа АА в ней uN, особей смешанного генотипа Аа в
ней 2vN и особей рецессивного генотипа аа в ней wN. При этом, так как
то
и + 2v + w = 1. (9.17)
Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного
генотипа имеют 2uN генов А (у каждой особи два гена А, и всех особей uN),
особи смешанного генотипа имеют 2vN генов А (у каждой особи один ген
А, и всех особей 2vN), у особей рецессивного генотипа генов А нет.
Следовательно, в популяции (9.16) число доминантных генов А равно
или, короче, 2Np, где
. (9.18)
Число р имеет простой вероятностный смысл это есть Р(А), т.е.
вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно,
доминантных генов 2Np, и всех генов 2N (у каждой особи популяции два
гена). Следовательно,
2
.
АР (9.19)
Np
)( p
Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в
популяции (9.16) равно 2Nq, где
. (9.20)
114
При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:
2
N
1
q
p
N
N
N
ааАаАА
2
Nq
)( q
аР (9.21)
.
Из вероятностного смысла чисел р и q, а также из формул (9.18),
(9.20) и (9.17) следует, что
. (9.22)
Заметим, что числа и, 2v и w в (9.16) тоже имеют простой
вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету
для доминантных генов):
uN
ААР (9.23)
2
vN
)( v
АаР (9.24)
,)( u
,2
wN
aaР (9.25)
,)( w
(Р(АА) вероятность того, что выбранная наудачу особь имеет генотип АА,
аналогично Р(Аа) и Р(аа).)
Теперь посмотрим, какова будет структура потомства. Пусть
потомство имеет структуру
(9.26)
2 wvu
111
(это понимается так же, как и (9.16)). Подсчитаем u1, 2v1 и w1. Числа u1, 2v1 и
w1 есть вероятности того, что взятый наудачу потомок имеет соответственно
генотип АА, Аа и аа (см. соответственно формулы (9.23), (9.24), (9.25)). Так
как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность u1 может
рассматриваться как вероятность следующего события: выбрали наудачу и
независимым образом из всего запаса два гена А. Так как выбрать каждый
ген А можно с вероятностью р (формула (9.19)), то в силу теоремы
умножения вероятностей независимых событий (см. 9.2, п. 2) интересующая
нас вероятность равна р2, т.е.
.
1
2
pu (9.27)
Аналогично с использованием формулы (9.21) получаем
2
.
qw (9.28)
1
Вероятность генотипа Аа в популяции потомков складывается из двух
возможностей либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А
получен от матери, а ген а от отца соответствующие вероятности есть pq и
115
qp. Следовательно, вероятность генотипа Аа в популяции потомков равна
1
1
1
1
1 1
( ) ,
( ) .
u v p pq p p q p
w v q pq q q p q
2
2pq, т.е. 2v1 = 2pq. Отсюда
.1pqv
(9.29)
Следовательно, потомство (9.20) имеет следующую структуру:
ааАаАА
(9.30)
2 qpqp
22
Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять
vu и
vw , как это делалось для родителей в формулах (9.18) и (9.20), то
получим те же самые числа р и q. Действительно, согласно формулам (9.27),
(9.29), (9.28) и (9.22) имеем
2
1 1
2
Так как структура (9.30) потомства вычислена только с
использованием этих сумм, то потомки популяции со структурой (9.30)
будут иметь ту же структуру. При этом говорят, что структура (9.30)
стационарна, т.е. от поколения к поколению не меняется.
Этот замечательный факт, что со второго поколения устанавливается
стационарная структура популяции, является непосредственным
обобщением второго закона Менделя и называется законом Харди.
На практике возможно отклонение, однако для больших популяций
закон Харди остается в силе.
Для гороха вероятность получения белой особи равна q2 (рецессивный
признак), вероятность получения красной особи равна 1 q2 (как для
противоположного события) и отношение числа красных и белых особей
равно (1 q
2
) : q2.
1
Для описанного в пункте 1 случая
q , и мы опять получаем 3:1 (см.
II закон Менделя).
9.4. Задачи для самостоятельного решения к главе 9
1. Два стрелка произвели одновременно по одному выстрелу в общую
мишень. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью
вероятностью
p (
2
p =0.6;
1
p =0.5). Найти вероятность того, что:
2
p , второй с
1
а) все стрелки попадут;
б) все стрелки промахнутся;
в) только один попадет;
г) хотя бы один попадет.
2. Для повышения надёжности прибора он дублируется другим точно
таким же прибором. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого
116
прибора равна 0.8. При выходе из строя прибора происходит мгновенное
1
переключение на второй прибор. Определить надёжность системы двух
дублирующих друг друга приборов.
3. Курсант разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках.
Вероятности того, что формула имеется в первом, втором и третьем
справочниках, соответственно равны: 0.6; 0.7 и 0.8. Найти вероятность того,
что курсант найдёт формулу только в одном справочнике.
4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.7, для второго
0.8, для третьего - 0.9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадут все
стрелки; б) в цель попадет хотя бы один стрелок.
5. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0.6, для второго- 0.8, для третьего – 0.9.
Найти вероятность того, что произойдёт не менее двух попаданий.
6. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания
из первого орудия равна 0.85, а из второго – 0.91. Найти вероятность
поражения цели.
7. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в
течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается
неисправным с вероятностью
вероятностью
p . Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы
3
p , второй с вероятностью 2p , третий – с
остались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал
неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (
p =0.3).
3
p =0.7; 2p =0.5;
1
8. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для
присвоения номеров участников соревнования. Два брата входят в состав
различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать в
соревнованиях под одним и тем же номером 18.
9. Из четырех орудий произвели залп по мишени. Вероятность
попадания в цель при одном выстреле из первого орудия рана 0.8; для
остальных орудий – соответственно 0.85; 0.7; 0.6. Найти вероятность того,
что: а) ни один снаряд не попадет в цель; б) только два снаряда попадут в
цель; в) только один снаряд попадет в цель.
10. Три баскетболиста должны произвести по одному броску.
Вероятность попадания в корзину для 1-го, 2-го и 3-го, соответственно,
равны: 0.9; 0.8; 0.7. Найти вероятность того, что удачно произведет бросок
только один баскетболист.
11. В рейс выделено 4 автобуса. Вероятности того, что во время рейса
автобус будет работать без ремонта, соответственно равны: 0.7; 0.5; 0.6 и
0.4. Какова вероятность, что за время рейса ремонта потребуют не больше
двух автобусов?
12. У рыбака имеются три места ловли, которые он посещает с равной
вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0.6; на втором –
0.7; на третьем – 0.5. Известно, что рыбак три раза закидывал удочку, и рыба
117
клюнула один раз. Найти вероятность того, что он ловил на первом месте.
13. На двух станках производятся одинаковые детали, которые
поступают на общий конвейер. Производительность первого станка в три
раза больше производительности второго. Первый станок дает в среднем
80% деталей отличного качества, а второй – 90%. Наудачу взятая с
конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что
она изготовлена на втором станке.
14. В сборочный цех поступают детали с трёх автоматов. Первый
автомат в среднем дает 3% брака, второй – 1% и третий – 2%. Определить
вероятность попадания на сборку не бракованной детали, если с каждого
автомата поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.
15. 30% автомашин собирается из деталей высокого качества, а
остальные – из деталей обычного качества. Если автомашина собирается из
деталей высокого качества, то вероятность безотказной работы в течение
трех лет равна 0.9, а если из деталей обычного качества, то эта вероятность
равна 0.8. Купленная автомашина безотказно работала в течение трех лет.
Найти вероятность того, что купленная автомашина собрана из
высококачественных деталей.
16. Три автомата изготавливают одинаковые детали. Известно, что
первый автомат производит 30 % всей продукции, второй – 25 % и третий –
45 %. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, на
первом станке равна 0.99, на втором – 0.988, и на третьем – 0.988. Все
изготовленные за смену детали складываются вместе. Определить
вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.
17. На сборку поступило 1000 изделий с первого автомата, 2000 со
второго и 2500 с третьего. Первый автомат дает 0.3% брака, второй – 0.4%,
третий – 0.2%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.
18. Имеются две урны: в первой – 3 белых и 2 черных шара; во второй
– 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя,
два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность
того, что этот шар будет белым.
19. Первый станок производит 45% всех болтов, а второй – 55%. В
продукции первого станка брак составляет 2%, а в продукции второго – 3%.
Какова вероятность того, что случайно взятый болт окажется годным.
20. Прибор может работать в двух режимах. Нормальный режим
наблюдается в 80% всех случаев, ненормальный – в 20%. Вероятность
выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0.1, а в
ненормальном – 0.7. Найти полную вероятность выхода из строя прибора за
время t.
21. Первый станок производит 45% всех болтов, а второй – 55%. В
продукции первого станка брак составляет 2%, а в продукции второго – 3%.
Какова вероятность того, что случайно взятый болт окажется годным.
22. В батарее из 10 орудий имеется одно не пристрелянное.
Вероятность попадания из него равна 0.25. Остальные орудия –
118
пристрелянные с одинаковой вероятностью попадания 0.6. Произведен один
4n, 2k
5.0p
выстрел, в результате чего была поражена цель. Какова вероятность того,
что выстрел сделан из не пристрелянного орудия?
23. Имеются 5 одинаковых на вид урн. В двух урнах – по 2 белых и
одному черному шару; в одной – 10 черных; в двух остальных – по 3
белых и одному черному шару. Найти вероятность того, что вынутый из
наудачу выбранной урны шар окажется белым.
24. В партии 600 лампочек, из них 200 изготовлены на 1-м заводе; 250
– на 2-м; 150 – на 3-м. Вероятность того, что лампочка окажется
стандартной, для 1-го завода равна 0.97; для второго – 0.91; для третьего
– 0.93. Наудачу взятая из партии лампочка оказалась стандартной. Какова
вероятность того, что она изготовлена первым заводом?
25. Имеется 10 урн, в 9 из которых находятся по 2 белых и по 2 черных
шара, а в одной – 5 белых шаров и один черный. Из наудачу выбранной
урны взят шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны,
содержащей 5 белых и один черный шар?
26. Противником применяются самолеты двух типов. Известно, что на
данном участке фронта сосредоточено примерно равное число самолетов
каждого типа. Вероятности сбить самолет при проходе над оборонительной
зоной соответственно равны 0.6 и 0.8. Самолет противника, прорвавшийся
через оборонительную зону, сбит. Какова вероятность, что это самолет 1-го
типа?
27. Стрельба производится с трех различных дальностей: 700 м, 400 м
и 200 м. Вероятность стрельбы с первого расстояния равна 0.2, при этом
вероятность поражения цели с этого расстояния равна 0.1. Вероятность
стрельбы со второго расстояния равна 0.3, а вероятность поражения цели –
0,2. Вероятность стрельбы с третьего расстояния равна 0.5, вероятность
поражения цели с этого расстояния – 0.4. Произведен один выстрел, в
результате которого цель была поражена. Найти вероятность того, что
стреляли с третьего расстояния.
28. Вероятность попадания в цель равна 0.3. Производится шесть
одиночных выстрелов. Найти вероятность ровно четырех попаданий.
29. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
30. При включении зажигания двигатель начинает работать с
вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что для ввода двигателя в работу
придется включать зажигание не более двух раз.
31. Курсант стреляет в мишень три раза с вероятностью попадания при
каждом выстреле 0.7. Какова вероятность того, что курсант лишь один раз
попадет в мишень.
32. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие
появится: а) ровно k раз, б) не менее k раз, в) не более k раз, г)
хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого
события равна p (
,
).
119
33. Найти приближенно вероятность того, что при 100 независимых
испытаниях событие наступит ровно 12 раз, если вероятность его появления
в каждом испытании равна 0.2.
34. Проводятся независимые испытания, в каждом из которых
вероятность появления события A равна
. Найти вероятность того, что в
8.0
100 испытаниях событие A появится более 70 раз. Вероятность поражения
мишени стрелком при одном выстреле равна
. Найти вероятность того,
8.0
что при 100 выстрелах стрелок поразить мишень ровно 75 раз.
35. Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24
партии из 40?
36. Вероятность брака при производстве деталей равна 0.02. Найти
вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными от 7
до 10 деталей.
37. Вероятность попадания в цель равна 0.5. Какова вероятность того,
что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 115 и 150.
10. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
10.1. Случайные величины
1. Понятие «случайные величины»
Определение 1. Случайной величиной называют переменную
величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает
одно значение из множества возможных значений.
Примеры.
1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной
кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3,
4, 5, 6;
2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная
величина, которая может принять значение из некоторого числового
промежутка;
3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть
случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а
их возможные значения соответствующими строчными буквами х, у, z.
Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то
они будут обозначены так: .,,
xxx
321
Определение 2. Случайная величина, принимающая различные
значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной
последовательности, называют дискретной случайной величиной.
Ниже рассматриваются дискретные случайные величины, множество
допустимых значений которых конечно.
Случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]