Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
)()(
mi,...,1,
0
mi,...,1,
0
0
)(x
f
)(x
)(x
mi,...,1,
0
)(x
mi,...,1,
0
)(x
f
1mn
)(x
f
xxf
(
ii
).
Если требуется малая величина отклонения одной функции от другой
во всех точках отрезка, то за меру близости принимают их максимальное
отклонение
)()(max
xxf
,iibax
(
),
требуя, чтобы оно было меньше заданного
между функциями
и
называется равномерной.
. В этом случае близость
Часто вместо равномерной близости рассматривают их близость “в
среднем”. В качестве меры близости берут среднее квадратическое
отклонение
m
i
0
)(
2
yx
.
ii
Требование прохождение графика аппроксимирующей функции
через все заданные точки ),(
yxM не всегда разумно по крайне мере по
iii
двум причинам:
1. Если узлов интерполяции много (n велико), то с аппроксимацией
трудно обращаться как при ручном счете, так и при машинном.
2. Часто табличные значения )(
xfy
(
ii
) находят из опыта
и содержат ошибки измерений. Построение интерполирующего многочлена в
этом случае означало бы сознательное повторение допущенных при
измерениях ошибок. В этом случае достаточно потребовать, чтобы график
функции
отклонялся от точек
M (
i
) по ординате на
величину, не превышающую погрешность измерений.
В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной
функции
степень
многочленом )(xP
, который имеет не слишком высокую
n
и дает в некотором смысле разумную точность
аппроксимации.
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших
квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена
)(xP
от функции
n
принимается их среднее квадратичное отклонение
m
i
0
)(
2
yxP
.
iin
Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене
n
xAxAAxP ...)(
10
nn
чтобы минимизировать
Так как коэффициенты
подобрать коэффициенты
m
i
10 n
0
AAA ,...,,
выступают в роли независимых
10
n
n
ini
2
i
AAA ,...,,
так,
10
n
).,...,,(...
AAAyxAxAA
10
переменных функции , то условием минимума является равенство нулю
21
всех частных производных
5n
3,2,1n
5n
)(xfy
,
A
0
A
, …,
1
. Приравнивая к нулю эти
A
n
частные производные получим систему уравнений
m
0
i
m
0
i
m
0
i
10
i
10
i
10
i
m
0
i
10
i
2
2
2
2
2
n
ini
n
ini
n
ini
yxAxAxAA
0)...(2
i
0)...(2
xyxAxAxAA
ii
22
xyxAxAxAA
ii
0)...(2
...........................................................................
2
2
n
ini
n
xyxAxAxAA
ii
.0)...(2
После преобразования система принимает вид
m
0
i
m
0
i
m
i
10
i
0
m
i
1
i
0
2
i
0
0
m
1
i
m
2
...
i
2
i
m
2
i
3
i
0
3
i
2
i
0
m
4
i
2
i
0
m
i
...
i
...
m
n
i
0
i
0
m
n
1
i
1
i
0
m
n
2
...
i
2
i
0
m
n
yxAxAxAmA
in
m
m
i
0
i
i
000
m
n
1
in
n
2
in
yxxAxAxAxA
i
ii
00
m
2
i
0
yxxAxAxAxA
ii
(1.27)
.........................................................................................
m
in
i
0
m
n
2
i
yxxAxAxAxA
ini
.
0
Определитель системы (1.27) отличен от нуля, поэтому эта система
имеет единственное решение
AAA ,...,,
.
10
n
Метод наименьших квадратов состоит из двух частей: составление
системы (1.27) и решение полученной системы.
Метод наименьших квадратов удобен с вычислительной точки зрения
для не слишком высокой степени многочлена n, а именно
. На
практике стараются подобрать многочлен как можно меньшей степени
(
). Если же
, то система (1.27) может иметь определитель, хотя
и отличный от нуля, но малый. Тогда система становится плохо
обусловленной, то есть решение связано с большей потери точности.
Пример. Пусть на основании эксперимента получены значения
функции
, которые записаны в табл. 6.
22
Таблица 6
x
y
)(xfy
28.009.
1
x
y
x
y
21
31
43
1.3x
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.31 0.82 1.29 1.85 2.51 3.02
С помощью метода наименьших квадратов функцию
аппроксимировать линейной функцией xAAy
.
10
Решение. Составим систему (1.27) для определения
10
1
6
1
k k
10
6
1
k
6
k k k
Предварительно вычисляем
6
2
x ,
k
1
k
6
y ,
k
1
k
6
yx
k
kk
1
6
yxAmA
kk
1
6
1
x ,
k
6
2
1
.
yxxAxA
kkkk
75.22925.6425.2125.0
8.902.351.285.129.182.031.0
, AA
.94.2102.3351.25.285.1229.15.182.0131.05.0
10
5.1035.225.115.0
Следовательно,
Решая эту систему, находим
Искомый многочлен
1. Дана табл. 7 значений функции:
Таблица 7
Найти приближенное значение функции при
а) с помощью линейной интерполяции;
б) с помощью квадратичной интерполяции;
в) с помощью формулы Лагранжа;
г) с помощью формулы Ньютона.
AA
10
8.95.106
AA
10
A и 1A : 28.0
0
.94.2175.225.10
A ,
0
.
Задачи для самостоятельного решения
1
3 7 13
2 3 4 5 6 7
A
1
7
:
09.1
.
23
2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа четвертой
4
3
3
)14.1(
f
)(x
f
x
1.04
1.12
1.16
1.20
y
)28.1sh(y
)
sh(
x
x
x
y
4.9
11.1
14.1
17
x
:
x
84.0
y
292
283
235
197
181
bxA
степени, совпадающий с функцией
cos2
y
x
в точках 2
x ;
0
4
x ; 0
1
x ;
2
4
x ; 2
3
x .
4
3. С помощью интерполяционной формулы Ньютона вычислить
, если
задана табл. 8:
Таблица 8
1.00
1.543
1.591
1.08
1.642 1.696
4. Вычислить функцию
пользуясь таблицей значений функции
а) линейную интерполяцию;
б) квадратичную интерполяцию.
5. Способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений
и y (табл. 9) линейную функцию xaay
Таблица 9
1
2
2 3 4
7.9
6. Способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений
и y (табл. 10) квадратичную функцию
Таблица 10
87.5
77.8 63.7
270
1.752
1.811
с помощью формулы Ньютона,
. Используя:
:
10
5
46.7
6
36.9
2
xaxaay
210
2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Выделяют четыре основных задачи линейной алгебры:
1. Решение систем линейных уравнений;
2. Вычисление определителя;
3. Нахождение обратной матрицы;
4. Определение собственных значений и собственных векторов
матрицы.
2.1. Линейные системы уравнений
Решение систем линейных уравнений одна из наиболее часто
встречающихся задач в научных исследованиях. При этом число уравнений
обычно равно числу неизвестных. Такую систему коротко можно записать в
матричной форме:
, (2.1)
24
где A - заданная квадратная матрица порядка n, b - заданный вектор-
0
detA
0
detA
)
200
(n
1010n
столбец с n компонентами, x - неизвестный вектор столбец с n
компонентами.
Известно, что если
, то система имеет единственное решение
(невырожденная система). Его можно найти по правилу Крамера.
Если
, то система имеет бесчисленное множество решений
или не имеет решения. Мы будем рассматривать только первый случай.
2.2. Метод исключения Гаусса
Методы решения линейных систем делятся на прямые и
итерационные. Прямые методы дают решение за конечное число шагов,
просты и наиболее универсальны. Для систем небольшого порядка
применяются практически только прямые методы.
Итерационные методы выгодны для систем специального вида, со
слабозаполненной матрицей очень большого порядка
53
.
Метод Гаусса прямой метод. Он основан на приведении матрицы
системы к треугольному виду. Это достигается с помощью
последовательного исключения переменных из уравнений системы. Сначала
с помощью первого уравнения исключается
уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается
x , из всех последующих
1
x из
2
третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называется прямым
ходом метода Гаусса. Он продолжается до тех пор, пока в левой части
последнего (n - го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным
x . При этом матрица системы будет приведена к треугольному виду.
n
Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении
искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное
значение
Последним найдем
x , используя его, из предыдущего уравнения вычисляем
n
x из первого уравнения.
1
x и т.д.
1n
Рассмотрим применение метода Гаусса для системы трех уравнений:
bxaxaxa
1313212111
bxaxaxa
2323222121
bxaxaxa
3333232131
a
a
21
11
a
31
a
.
11
bxaxaxa
1313212111
bxaxa
2323222
bxaxa
3333232
a
32
. (2.2)
a
22
a
и прибавим
a
Для исключения
умноженное на
x из второго уравнения прибавим к нему первое,
1
a
21
. Затем умножим первое уравнение
a
11
результат к третьему уравнению, также исключим из него
равносильную систему уравнений вида (2.2).
25
31
11
x . Получим
1
Здесь
3,2
,j
i
3,2i
100
n
a
i
aa
ijij
1
a
,
j
1
a
11
Теперь из третьего уравнения нужно исключить
умножим второе уравнение на
уравнению. Получим
a
1
;
a
32
и прибавим результат к третьему
a
22
3333
bxa
bb
bxaxa
2323222
i
ii
b
,
1
a
11
bxaxaxa
1313212111
.
x . Для этого
2
(2.3)
a
32
22
a
23
;
aa
3333
a
a
32
22
b
.
2
bb
33
a
Матрица системы (2.3) имеет треугольный вид. На этом заканчивается
прямой ход метода Гаусса.
Замечание. В процессе исключения неизвестных приходится
выполнять операции деления на коэффициенты
a . Поэтому они должны
kk
быть отличны от нуля. В противном случае нужно соответственным образом
переставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть
предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на ЭВМ.
Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (2.3)
b
33
.
3
a
33
x из второго уравнения, а
2
1
)(
x .
1
a
11
xaxab
3132121
затем
x
Используя это значение, можно найти
x из первого:
1
1
22
x
, )(
2
a
xab
3232
Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором
главного элемента. Здесь требование 0
a заменяется более жестким: из
kk
всех оставшихся в k-м столбце элементов нужно выбрать наибольший по
модулю элемент и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался
на месте элемента
a .
kk
Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента
уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений. Это
способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с
выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения
для сравнительно небольшого (
) числа уравнений.
Только для плохо обусловленных систем решения, полученные по
этому методу ненадежны.
26
Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с
n
3
155
1.0
10
)1;1;0(
плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части
системы уравнений находятся в оперативной памяти машины.
Объем вычислений определяется порядком системы
арифметических операций примерно равно
2
3
n .
: число
Пример. Рассмотрим алгоритм решения линейной системы методом
Гаусса и некоторые особенности этого метода на числовом примере.
xx
21
Прежде чем исключать
коэффициент при
5.03.0
7710
4623
xxx
321
655
xxx
321
x из третьего уравнения, заметим, что
x (ведущий элемент) мал. Поэтому было бы лучше
2
2
xx
21
7710
xx
32
xx
32
.25
1.661.0
5.255.2
переставить второе и третье уравнения. Однако сейчас проводятся
вычисления в рамках точной арифметики и погрешности округлений не
опасны. Поэтому умножим второе уравнение на 25 и сложим с третьим:
xx
21
7710
xx
x
1.661.0
32
3
.155155
На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход
состоит в последовательном вычислении
155
1
3
x ; 1
x ; 0
x
3
2
x , 2x , 3x снизу вверх:
1
1.66
x .
x
2
1
77
Проверкой легко убедиться, что
и есть точное решение
системы.
Изменим теперь слегка коэффициенты системы таким образом,
чтобы сохранить решение прежним и вместе с тем при вычислениях
использовать округления. Такой будет система:
xx
21
7710
xxx
321
xxx
321
901.36099.23
.655
Исключение проведем в рамках арифметики с плавающей точкой,
сохраняя пять разрядов числа. После первого шага получим:
xx
21
7710
27
xx
32
xx
001.66001.0
32
.5.255.2
Следующий шаг округления приводим при малом ведущем элементе
)
001
.0(
2500
5.15002
15005
001
.
0
001
.
0
10
)
099993
.0;5.1;35.0(
)1;1;0(
5.2
10
BxA
BAx
0
0
0
. Чтобы исключить
умножить на
. При умножении получим число
x из третьего уравнения, второе уравнение надо
3
, которое нужно
округлить до 5 разрядов. В результате третье уравнение получаем в виде:
15004
1500415005
x . Откуда 99993.0
3
3
x . Из второго и первого
уравнений найдем:
x ; 35.0
001.699993.06
2
0015.0
5.1
x .
1
7)5.1(7
Вычисления проводились с усечением до 5 разрядов по аналогии с
процессом вычислений на ЭВМ:
вместо
.
Такая большая неточность результатов объясняется малой величиной
ведущего элемента. Чтобы в этом убедиться, переставим уравнения системы:
xx
21
Теперь получим третье уравнение в виде: 002.6002.6
7710
xx
32
xx
32
001.66001.0
.004.05.255.2
x , т.е. 1
3
x .
3
155.2
Из второго и третьего уравнений находим: 1
x и
2
)1(77
0
x . Т.е., в результате перестановки уравнений (выборе
1
наибольшего по модулю из оставшихся в данном столбце элементов)
погрешность решения в рамках данной точности исчезла.
Погрешность решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
Запишем систему в матричном виде:
.
Ее решение имеет вид:
решение
x отличается от данного из-за погрешностей округления.
*
1
. Однако полученное по методу Гаусса
Имеются две общепринятые меры, характеризующие степень
отклонения, полученного решения от точного, погрешность и невязка
:
xx
*
и
AxB
- разность между левой и правой частями
*
уравнений, после подстановки в них решения.
Можно показать, что если одна из этих величин равна 0, то и другая
должна равняться нулю. Однако из малости одной не следует малость
другой. При
обычно
, но обратное утверждение справедливо не
всегда.
В частности, для плохо обусловленных систем при
погрешность
решения м.б. большой. Однако если система не является плохо
28
обусловленной, контроль точности решения осуществляется с помощью
n
,...,2,
1
!
n
n
!)1(n
n
1!
n
!1!nnnnN
n
3
20 N 17
106.3
105
100000
10n
20n
104.1
105
10
100
A
A
E
AA
nji
,...,2,1,
невязки.
2.3. Определитель и обратная матрица
Непосредственное нахождение определителя высокого порядка требует
очень большого объема вычислений. Так, определитель n-го порядка
обычно вводится как сумма элементов вида:
,...,,
aaa
, где
..2.1
n
пропущенные индексы нужно заполнить произвольной перестановкой чисел
. Т.о., определитель равен сумме
слагаемых, каждое из которых
является произведением
элементов. Поэтому при вычислении
определителя порядка n (без специальных правил) требуется
умножений и (
равно
) сложений, т.е. общее число арифметических операций
.
Оценим N (табл. 11):
Таблица 11
свыше
Если принять быстродействие в
потребуется около 6 мин., а при
9
суток или примерно
10
7
лет.
7
19
операций в секунду, то для
- около
4
часов, т.е.
Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной матрицы:
он равен произведению ее диагональных элементов.
Для приведения матрицы к треугольному виду м.б. применен метод
исключения, т.е. прямой ход метода Гаусса. В процессе исключения
элементов величина определителя не меняется. Знак определителя меняется
на противоположный при перестановке его столбцов или строк. Поэтому
n
det .
Здесь диагональные элементы
aA
kk
k
1
a берутся из преобразованной (а не
kk
исходной) матрицы. Знак зависит от того, четной или нечетной была
суммарная перестановка строк (или столбцов) матрицы при ее приведении к
треугольному виду.
Этим методом можно вычислять определители
-го и более
высоких порядков.
Вычисление обратной матрицы
матрицы
1
через ijz . Тогда соотношение
1
. Обозначим элементы обратной
1
можно записать в
виде:
n
za
,
k
1
29
ijkjik
ij
,,1
ji
,,0
ji
. (2.4)
Отсюда следует, что для нахождения одного столбца обратной
j
nj,...,2,
1
матрицы надо решить линейную систему с матрицей A. Так, для элементов
- го столбца jz1, jz2,...,njz надо решить систему
1212111
zazaza
0...
njnjj
2211
zazaza
2211
zazaza
....................................................
(2.5)
1...
njjnjjjj
....................................................
njnnjnjn
.0...
Следовательно, для обращения матрицы нужно n раз решить систему
уравнений данного вида при
. Так как матрица системы не
меняется, то исключение неизвестных при использовании метода Гаусса
(прямой ход) проводится только один раз. Для каждой системы делается
только один раз обратный ход после некоторых преобразований с
использованием правых частей систем вида (2.5).
Оценки показывают, что это весьма экономичный способ обращения
матрицы. Он требует примерно лишь в три раза больше действий, чем при
решении одной системы уравнений.
Метод прогонки. Он является модификацией метода Гаусса для
частного случая разреженных систем - системы с трехдиагональной
матрицей. Такие системы встречаются часто при решении некоторых
инженерных задач, при интерполировании, при решении краевых задач для
дифференциальных уравнений второго порядка.
Такие системы записывают в каноническом виде:
dxcxb
12111
dxcxbxa
2322212
dxcxbxa
3433323
(2.6)
......................................................
dxcxbxa
111121
nnnnnnn
.
dxbxa
nnnnn
c , под ней -
1n
b .
i
При этом 0
элементы
элементы
ca . На главной диагонали матрицы этой системы
1
n
b , 2b ,...,nb , над ней - элементы 1c , 2c ,...,
1
a ,...,na . При этом обычно все коэффициенты 0
2
1
Метод прогонки состоит из двух этапов - прямой прогонки (аналога
прямого хода в методе Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода
метода Гаусса).
через
Прямая прогонка состоит в том, что каждое неизвестное
x с помощью прогоночных коэффициентов iA и iB :
1i
x выражается
i
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]