Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
углового коэффициента звеньев ломаной, аппроксимирующей интегральную
),(yx
f
h
),(yx
f
h
2
15
кривую. Данный алгоритм (6.12) учитывает поворот касательной к
интегральной кривой на отрезке
Доказывается, что если
xx .
1,kk
непрерывна и ограничена вместе со
своими производными второго порядка, то формула (6.12) имеет второй
порядок точности, т.е. суммарная погрешность на отрезке
порядок малости
2
.
ba, имеет
Формула (6.12) называется двучленной формулой Рунге-Кутта. Она
имеет неплохую точность и нередко используется в численных расчетах.
Двучленных схем метода Рунге-Кутта существует бесконечно много.
Метод Рунге-Кутта допускает построение схем различного порядка
точности. Например, метод Эйлера можно рассматривать как схему РунгеКутта первого порядка точности. Наиболее употребительны схемы
четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем.
Их также бесконечно много. Приведем без доказательства ту из них, которая
записана в большинстве стандартных программ для ПЭВМ:
h
),22(
yy
nn
6
kkkkf
43211
),,(
h
,
xfk
y
2
nn
h
nn
k
2
hkyhxfk
34
h
xfkyxfk
,
2
,
23
).,(
Погрешность этого метода на полном отрезке составляет
h
y
nnnn
,
k
121
2
(6.13)
4
h
, т.е.
4
.
~ hR
Замечание 1. Метод Рунге-Кутта (6.13) имеет высокую точность
только для достаточно гладких функций
. Действительно, оценка
погрешности предполагает, что правая часть уравнения имеет непрерывные
производные до четвертого порядка включительно (следует из формулы
Тейлора).
Замечание 2. Все схемы Рунге-Кутта допускают расчет с переменным
шагом.
Замечание 3. Для оценки погрешности вычислений и для контроля за
выбором величины шага обычно применяют двойной пересчет. Пусть mчетное и ),(
вычисленных соответственно с шагами h и
xy )(
mh
2 mh
xy - значения приближенных решений,
. Как и для формулы
Симпсона можно доказать, что
1
)()(
2 mhmhmhm
)()(
xyxyxyxy , (6.14)
где )(
xy - точное решение в точке mx .
m
Отсюда вытекает следующий алгоритм регулирования шага: если
правая часть (6.14) не превосходит заданной погрешности, то шаг выбран
81
правильно. Если при этом правая часть в (6.14) существенно меньше
),(yx
f
0)1
(y
2.0h
x
2
x
6
6
заданной погрешности, то шаг можно удвоить. Если же правая часть в (6.14)
больше заданной погрешности, то шаг следует уменьшить вдвое.
Недостатком метода Рунге-Кутта четвертого порядка (6.13) является
необходимость на каждом шаге вычислять четыре раза значения
, что
вызывает неудобства при сложном виде этой функции.
Пример. Методом Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение
12xyyx при начальном условии
. [Точное решение
Решение. Здесь
1
h
xfhk
2
xfhk
3
,
2
h
,
2
Следовательно,
1
в промежутке
x
y
].
),(
yxf
0
2.0),(
y
y
yxfhk
1
k
1
2
k
2
2
34
12
1
y
x
1
2
1
2.0,
43210
. Найдем числа:
2
;2.0
1
2.0
2.0
kkkky , т.е. 18.018.00
1.1
09.0
1.1
18.0
kyhxfhk
2.1
18.0)22(
1.0
2
1.1
1
2
1.1
1
2
2.1
;18.0
.17.0
;18.0
001
2;1 ; шаг
yyy .
Аналогичным образом находим
18.0
2.0),(
1
h
xfhk
2
3
2
h
,
xfhk
2
2.1
k
,
y
1
y
2
k
2
2
34
1
yxfhk
2.0
2.0
2.0,
2
2.1
26.0
3.1
25.0
3.1
33.0
1
2
3.1
1
kyhxfhk
4.1
4.1
1
3.1
2
;17.0
2
;15.0
;15.0
.14.0
Следовательно,
1
15.0)22(
kkkky , т.е. 33.015.018.0
43211
yyy и т.д.
112
Рассмотренные методы Эйлера и Рунге-Кутта являются одношаговыми
методами, поскольку для вычисления
y используется лишь значение
1n
82
решения в предыдущей точке, а именно
0n
1)0
(y
1.0h
0)0
(y
1.0h
1)0
(y
1)0
(y
1.0h
1)0
(y
1.0h
],[ba
x
)(xyy
)(xyy
по известным начальным значениям.
Задачи для самостоятельного решения
1. Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой
уравнением
2. Методом Эйлера найти четыре значения функции y, определяемой
уравнением
3. Методом Эйлера найти численное решение уравнения
y
2.0
h .
4. Методом Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение
вести с тремя верными знаками.
5. Методом Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение y
1 yxy
xyyx
)1)((
на отрезке
yx
2
22
44 xyy
,
2
, при начальном условии
32
yxy
, при начальном условии
1;0 при начальном условии
в промежутке
y . Это позволяет начать расчет при
n
1;0 с шагом
, полагая
, полагая
с шагом
. Вычисления
.
.
x
y 5.0
,
y
в промежутке
верными знаками.
7. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим двухточечные краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Общий вид таких задач
1
где
употребительны и лучше всего изучены линейные краевые задачи, т.е.
задачи вида (7.1), в которых
которого искомая функция
,,
F - заданные функции определенной гладкости. Наиболее
Пусть требуется найти решение этого уравнения
21
1;0 с шагом
7.1. Постановка задачи
0),,,(
0))(),((
, 0))(),((
2
линейные функции.
2
и ее производная )(xy
ayay
,F и
1
yyyxF ,
. Вычисления вести с тремя
, (7.1)
byby
,
, для
на концах
отрезка
условиям, в общем случае нелинейным
Такого типа задачи часто встречаются в приложениях - теории
колебаний, динамике твердого тела и т.п.
83
ba, удовлетворяет двум независимым между собой краевым
1
2
bybyayayW
0)(),();(),(
(7.2)
bybyayayW
.0)(),();(),(
Рассмотрим некоторые примеры постановки задач.
)(xyy
a
x
b
x
b
a
Aay)
(
Bby)
(
)(xyy
1
1
a
x
b
x
Aay)
(
0)0
(y
1)1
(y
0
12k
1sh2
1
shsh1sh2
Пример. Простейшая двухточечная краевая задача.
Найти функцию
, удовлетворяющую уравнению (7.1) и
принимающую при
и
(
) заданные значения:
.
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную
кривую уравнения (7.1), проходящую через данные точки ),(
1
AaM и
),(2BbM .
Пример. Найти решения уравнения (7.1)
)( Aay
и
)( Bby
. Геометрически это означает, что требуется найти
интегральную кривую уравнения (7.1), пересекающую прямые
под заданными углами и такими, что
такое, чтобы
Atg
,
1
Btg
и
.
1
Замечание 1. Возможна также смешанная краевая задача, когда на
одном конце отрезка задается значение функции, на другом - производной:
и
)( Bby
.
1
Замечание 2. Общая краевая задача (7.1), (7.2) может:
а) не иметь решений;
б) иметь единственное решение;
в) иметь несколько и даже бесконечно много решений.
В дальнейшем будем предполагать, что решение краевой задачи
существует и оно единственно.
Методы решения краевых задач делятся на аналитические, численные
и приближенные. Аналитические методы изучаются в курсе
математического анализа и применимы для узкого класса дифференциальных
уравнений. В случае, когда можно найти общее решение дифференциального
уравнения, двухточечная задача не более сложна, чем задача с начальными
условиями.
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
0
yy , удовлетворяющее краевым условиям:
Решение.
1. 0
x , 110
1
2. 1
x , eCeC
2
1 .
1
, 1
k ; 1
1
CC
21
1
2
k ;
2
,
xx
eCeCy
.
21
.
;
Отсюда следует
1
CC
12
1-
eCeC
2
1
1=+
1
C .
1 x
xx
eey
.
Однако если общее решение уравнения не может быть найдено
регулярным путем, то решение краевой задачи приводит к новым
трудностям, т.к. в отличие от задачи Коши, нет начальной точки, исходя из
которой можно было бы построить решение одним из рассмотренных ранее
методов.
84
Приближенные методы дают решение краевой задачи в виде формулы.
BbyAa
y
)(,)(
1
b
x
Aay)
(
B
,...)3,2,1(k
0
n
k
Ниже будет рассмотрен метод коллокаций.
Численные методы дают решение краевой задачи в виде таблично
заданной функции. Рассмотрим некоторые такие численные методы решения
краевых задач.
7.2. Метод пристрелки
Так как известно много способов приближенного решения задачи
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, то можно считать
краевую задачу решенной, если ее удастся преобразовать к эквивалентной
начальной задаче. Известно несколько методов, с помощью которых это
можно сделать: метод пристрелки, метод редукции, метод
дифференциальной прогонки и т. д. Эти методы приводят к необходимости
решать не одну, а несколько задач Коши различной сложности при
различных ограничениях на параметры исходной задачи. Рассмотрим один из
таких методов, метод пристрелки.
Пусть требуется найти приближенное решение уравнения (в общем
случае нелинейного)
),,( yyxfy
,
bax ,
(7.3)
с краевыми условиями первого рода
. (7.4)
Зададимся некоторым числом
C и будем рассматривать задачу Коши
для уравнения (7.3) с начальными условиями
Предположим, что на отрезке
),(11Cxyy
этой начальной задачи. Сравнение значения ),(
полученного решения в точке
)(,)( CayAay
ba, построено приближенное решение
с заданным, согласно (7.4), значением B
.
1
Cby
11
дает информацию для корректирования угла наклона касательной к
решению ),(
так, чтобы уменьшить разницу ),(
значения ,...,,)(
сходимость к числу
. Если при заданном
Cxyy
новой начальной задачи с условиями
22
,
CCCay
так, чтобы обеспечить наиболее быструю
321
)( Cay
CbyB
22
.
2
. Таким образом будем задавать
последовательности приближений ),(
и некотором
Cxy
kk
будет выполнено
неравенство
задачи (7.3)-(7.4) принимается функция ),(
),(nnCbyB , то за искомое приближенное решение краевой
Cxyy
.Описанный способ
nn
получения приближенного решения краевой задачи путем последовательного
решения нескольких задач Коши для того же уравнения называют методом
85
пристрелки (или стрельбы). Это название следует из геометрической
)(),(xqx
p
)(x
f
n
ni,...,1,
0
h
h
2
1
,...,2,
1
n
i
h
h
h
h
2
1
,...,2,
1
n
i
интерпретации этого метода.
7.3. Метод конечных разностей
Идея метода конечных разностей решения краевых задач весьма проста
и видна уже из самого названия: вместо производных в дифференциальном
уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.
Пусть дана линейная краевая задача
)()()( xfyxqyxpy
(7.5)
с заданными краевыми (граничными) условиями:
2
2
; 0
0
2
0
1
2
0
1
; (7.6)
. (7.7)
Здесь
и
Aayay
)()(
10
Bbyby
)()(
10
;
заданные функции, непрерывные на отрезке
ba, ,
,,,
- числа.
1010
Данную краевую задачу можно приближенно свести к решению
системы алгебраических уравнений путем замены производных конечными
разностями. Так как дифференциальное уравнение - линейное и линейны
граничные условия, то алгебраическая система будет линейной.
Разобъем отрезок
,,...,,
110
yxy)( ;
ii
(
).
bxxxxa
с шагом h: hxx
nn
)( ;
Рассмотрим задачу (7.5) - (7.7) в узле
ba, на
yxy
ii
ii
1
)( ;
равных частей точками
. Обозначим:
yxy
ii
xx
, заменив производные
i
pxp)( ;
ii
)( ;
fxf
ii
кусочно-разностными уравнениями.
Во внутренних точках отрезка
y
i
На концах отрезка:
2
yyy
11
iii
2
y
0
;
yy
01
ba, :
y
i
и
yy
ii
11
(
yy
nn
y
n
1
.
).
Тогда во внутренних точках отрезка, дифференциальное уравнение
(7.5) заменяется системой линейных алгебраических уравнений (7.8), а
граничные условия - уравнениями (7.9):
2
yyy
11
iii
+
p
2
i
yy
ii
11
fyq
(
iii
), (7.8)
y
100
86
y
10
n
yy
01
A
h
yy
.1
nn
(7.9)
B
h
Таким образом, получена линейная система (
1n
1n
)(x
y
x
25.0h
9)2(,2)1(
y
y
4n
16
2
3,2,1i
неизвестными
в точках
yyy ,...,,
. Эти неизвестные - значения искомой функции
10
10
n
xxx ,...,,
. Решив эту систему, если это возможно, значение
n
) уравнений с
искомой функции получим в виде таблицы. В этом заключается метод
конечных разностей для линейной краевой задачи.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения xy
на отрезке
Решение. В нашем случае:
x ; 00.2
75.1
3
Составим систему (7.8), полагая поочередно
2;1 с шагом
x ;
4
1
2
h ;
2
2
h
2
2
h
2
2
h
при условиях:
; 00.1
1
2 h
yyy
012
yyy
123
yyy
234
1
x
1
1
x
2
1
x
3
; 2
x ; 25.1
0
y ; 9
0
yy
02
3
x
2
h
yy
13
3
x
2
h
yy
24
3
2
h
yyyyy
02012
x ; 50.1
y .
4
1
2
x
3
75.3)(6.1)2(16
1
:
y 31
.
x ;
2
yyyyy
13123
yyyyy
24234
50.4)(333.1)2(16
25.5)(143.1)2(16
Добавляя граничные условия (система 7.9) получим систему пяти
уравнений с пятью неизвестными:
y
0
2
yyy
210
9
y
4
yy
21
yy
32
yy
21
yy
32
75.314.1432
yyy
321
463.12832143.17
983.045.0
yy
32
494.7867.1
50.4667.143233.17
723.0846.0396.1
yyy
321
75.34.14326.17
50.4667.143233.17
. Отсюда следует
yyy
432
25.5857.1432143.17
yy
21
yy
32
yy
21
yy
983.045.0
260.0846.0846.1
yyy
321
494.7867.1
983.045.0
yy
32
32
518.0606.0
494.7867.1
87
h
2
2
yy
21
yy
y
3
983.045.0
32
.
518.0606.0
012.8261.1
Далее, последовательно находим 354.6
y , 368.4
3
y , 949.2
2
y .
1
Решение получено в виде табл. 20:
Таблица 20
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
2.00 2.949 4.368 6.354 9.00
При большом n непосредственное решение системы (7.8), (7.9)
становится затруднительным.
7.4. Решение линейной краевой задачи методом прогонки
При решении линейной краевой задачи (7.5) - (7.7) для
дифференциального уравнения второго порядка методом конечных
разностей получается трехчленная система алгебраических уравнений,
каждое из которых связывает не более трех неизвестных.
A
B
yy
11
ii
2
h
iii
)1,...,2,1(,
nifyq
.
2
h
y
y
n
yyy
11
iii
+
p
2
100
h
10
h
i
yy
01
yy
1
nn
Проведем в данной системе группировку неизвестных:
p
1
2
h
0
0
i
y
2
h
1
y
h
y
h
1
h
1
0
1
h
11
1
nn
h
yq
Ay
.
By
12
iii
22
h
Два последних равенства умножим на h, а остальные - на
переобозначим коэффициенты уравнения:
hb ;
1
1
c ; Ah
100
hpc
;
ii
10
hf
ii
0
2
;
a ;
;
1
n
Тогда система запишется в виде:
p
i
1
2
h
ii
)1,...,2,1(,
nify
2
и
1
1
n
hpa
; 2
ii
hb
; Bh
10
2
hqb
ii
n
;
.
88
1
,...,2,
1
n
i
4n
0
0)1
(y, 2)(
eey
0)0
(y
3
x
1)1
(y, 5.0)2
(y
2.0h
1.0h
ycyb
01000
Матрица этой системы (и сама система) является трехдиагональной.
Такие системы выгодно решать методом прогонки. Поэтому и весь метод
решения краевой задачи (8.5)-(7.7), сведенной к системе (7.10), называется
методом прогонки.
Если решить систему (7.10) предыдущего примера методом прогонки,
то получим табл. 21:
Таблица 21
т.е., полученное решение отличается от предыдущего в третьих знаках после
запятой, что связано со спецификой округления при различных способах
решения алгебраической системы.
Так как исходный отрезок
1
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
2.00 2.948 4.367 6.351 8.00
ycybya
ybya
11
nnnnn
, (
iiiiiii
) . (7.10)
2;1 был разбит на малое число частей
(
после запятой) от точного решения.
получить решение с большей степенью точности. Для повышения точности
приходится применять более громоздкие приемы или вводить
соответствующие поправки. Один из путей - использование более точных
формул для производных, в первую очередь, для односторонних
производных в граничных условиях.
алгебраическую систему уравнений относительно значений решения краевой
задачи
), то оба решения значительно отличаются (уже вторыми знаками
Замечание. Вообще с помощью конечно-разностных методов трудно
Задачи для самостоятельного решения
1. Составьте алгоритм решения методом пристрелки (с точностью
удовлетворения правому краевому условию) краевой задачи:
2
а) 0)ln(
б) yy
2. Методом конечных разностей второго порядка составьте
32
xyyy
,
x ,
82
x
,
3
x ,
yyxxyx ,
2,0
2,1
,
ex ,1
,
;
2
)2( y .
на сетке с шагом
.
3. Используя метод конечных разностей, составить решение краевой
задачи для обыкновенного дифференциального уравнения точностью
3
89
;10
шаг
:
x
y
05.0h
x
XOY
),(yx
u
),(yx
f
ih
x
kh
y
h
x
h
h
y
,2 xy
5.0)7.0(yyy
.2.1)1(3)1(2
4. Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения точностью ;10
3
шаг
:
yxy
y
,15.0
y
yy
1)2(2)2(
.15.2)3.2(
8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
8.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
Пусть в плоскости
Требуется найти непрерывную функцию
дана область D, ограниченная контуром C.
, удовлетворяющую внутри
области D уравнению Лапласа
2
yxu
2
x
2
),(),(
yxu
0
2
y
(8.1)
и граничному условию
),(),( yxfyxu
где
, (8.2)
C
- непрерывная функция, заданная в точках контура C.
Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем.
Выбрав шаг h, проводятся прямые
,
, параллельные осям
координат. Точки пересечения этих прямых будем называть узлами сетки. Из
отрезков этих прямых строится контур
контуру C. В результате получим область
(рис.18). Приближенные значения искомой функции в точках (
обозначим через
, т.е.
kiu,
uyxu
),(
Аппроксимируем частные производные
C максимально приближенный к
h
D , состоящую из узловых точек
h
.
kiki
,
2
),(xyxu
и
2
2
2
yx , )
ki
),(yyxu
в
каждом внутреннем узле сетки центральными разностями второго порядка
2
2
y
),(
yxu
ki
2
2
),(
yxu
ki
2
2
h
uuu
,1,,1
kikiki
2
2
,
uuu
1,,1,
kikiki
и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением
uuu
,1,,1
2
90
22
uuu
1,,1,
kikikikikiki
2
0
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]