Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
Х 3 5
( ) 1 2,
0 2,
( ) 1 2 4,
1 4.
( ) (4 ) 0 4,
( ) cos ,
2 2
р 0.2 0.8
Найдите начальные моменты первого и второго порядков.
22. Дискретная случайная величина X задана законом распределения,
приведенным в предыдущем примере. Найдите центральный момент второго
порядка.
23. Случайная величина X задана функцией распределения
0 1,
x
F x при x
3 3
1 2.
при x
1
при x
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет
значение, заключенное в интервале (0; 1).
24. Случайная величина X задана функцией распределения
x
F x при x
2
при x
при x
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет
значение, заключенное в интервале (2; 3).
25. Случайная величина X задана плотностью вероятности
0 0,
3
f x x x при x
32
0 4.
2
при x
при x
Найдите вероятность попадания случайной величины X на отрезок
[2; 3].
26. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой
1
)(
x
xf
2
)1(
x
попадет на интервал (1; 1).
27. Случайная величина задана плотностью вероятности
f x a x при x
).(
Найдите вероятность того, что величина X
0 ,
при x
2
0 .
при x
141
2
Найдите коэффициент а.
( ) cos 0 ,
2
0 .
( ) sin 0 ,
2
0 .
e
e
( ) 0 4,
0 4.
0 0,
( ) 1 0 1,
0 1.
28. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
0 0,
f x x при x
при x
при x
2
Найдите интегральную функцию распределения F(x).
29. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
0 0,
f x x при x
при x
при x
2
Найдите интегральную функцию распределения F(x).
24
30. Функция
)(
xf
xx
x
является плотностью
)(
вероятности случайной величины X. Найдите коэффициент А и функцию
распределения F(x).
31. Найдите математическое ожидание случайной величины X,
заданной плотностью вероятности
0 0,
1
f x при x
4
при x
при x
32. Случайная величина X задана плотностью вероятности
f x при x
при x
при x
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X.
33. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что
среди взятых наудачу трех волокон окажутся два длинных волокна?
142
34. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель
3
равна
1
. Производится 6 выстрелов. Какова вероятность ровно двух
попаданий?
35. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что два
раза появится число очков, кратное трем.
36. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб
появится не менее двух раз?
37. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найдите
вероятность того, что из 3 посеянных семян взойдут а) два; б) не менее двух.
38. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей
два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0.51.
39. По мишени производится 3 выстрела, причем вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0.8. Рассматривается случайная
величина X число попаданий в мишень. Найдите закон ее распределения.
40. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки
одинаковыми, найдите вероятность того, что среди четырех новорожденных
два мальчика.
41. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0.6.
Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если будет
произведено 10 выстрелов.
42. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на
которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем
вероятность выигрыша по одному билету равна 0.3.
43. Найдите дисперсию случайной величины X числа появлений
события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность наступления события А равна 0.7.
44. Найдите а) математическое ожидание и б) дисперсию числа
бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может
оказаться бракованным с вероятностью 0.02.
45. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А равна 0.6. Найдите дисперсию случайной
величины X числа появлений события А в этих испытаниях.
46. Найдите дисперсию случайной величины X числа появлений
события А в двух независимых испытаниях, если М(Х) = 0.8.
47. Рост взрослой женщины является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 164 см, = 5.5
см. Найдите плотность вероятности.
48. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой
143
величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X
6
6
6
6
6
6
примет значение, принадлежащее интервалу (2; 3).
49. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой
величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).
50. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с
параметрами а = 375 г, = 25 г. Найдите вероятность того, что вес
пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
51. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной
величиной, распределенной по нормальному
закону. Дисперсия ее равна 0.0001, а математическое ожидание 2.5
см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0.9973 заключен диаметр
наудачу взятой детали.
52. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0.4. Найдите
вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее
математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0.3.
53. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найдите
вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее
математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0.1.
54. Случайная величина X подчиняется нормальному закону
распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найдите
вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале
(10; 50).
Ответы к главе 2
1.
Х 1 2 3 4 5 6
р
1
1
1
1
1
1
2.
Х 0 100 5000
р 0.89 0.1 0.01
3. 2.2. 4. 60 р. 5. 3.9. 6. 0.7 попаданий. 7. 7. 8. 12.25. 9. 32.56. 10. 2.01. 11.
7. 12. а) 5; б) 20; в) 45. 13. М(Х) = 0.1 и D(X) = 1.29. 14. М(Х) = 4.7 и D(X) =
3.01. 15. М(Х) = 8 и D(X) = 8. 16. а) Прибавится а; б) не изменится. 17. а)
умножится на а; б) умножится на а2. 18. D (X) = 1, (Х) = 1. 19. 2.5.
20. М(Х) = 11; D(X) = 33; (X) = 5.75. 21.
= 4.6;
1
= 21.8. 22.
2
= 0.64.
2
23. 1/3. 24. 0.5. 25. 27/32. 26. 0.5. 27. а = 0.5.
144
0 0,
( ) sin 0 ,
2
1 .
2
0 0,
( ) 1 cos 0 ,
2
1 .
2
12
2
F x x при x
28.
при x
при x
при x
29.
F x x при x
при x
30. .arctg
1
2
)(,
31. М(Х) = 2. 32. .
x
exFA
1
)( XDXM
)(,
1
33. 27/64. 34. 80/243. 35. 80/243. 36. 13/16. 37. а) 0.384; б) 0.896. 38. 0.31.
39.
Х 0 1 2 3
р 0.008 0.096 0.384 0.512
40. 0.375. 41. 6 попаданий. 42. 6 билетов. 43. 21. 44. а) 100 изделий, б) 98.
45. 2.4. 46. 0.48. 47. .
)(
1
exf
2 5.5
5.60
48. 0.77453. 49. 0.6826.
)164(2
x
50. 0.9759. 51. 2.47; 2.53. 52. 0.5468. 53. 0.03988. 54. 0.954.
11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
11.1. Генеральная совокупность и выборка
Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в
которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора
статистических данных и их обработки.
1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть требуется изучить
множество однородных объектов (это множество называется
статистической совокупностью) относительно некоторого качественного
или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например,
если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить
стандартность детали, а количественным контролируемый размер детали.
Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый
объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать
невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может большое
число объектов, недоступность их. Если, например, нужно знать среднюю
глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя
сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.
Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности
выбирают для изучения часть объектов. Статистическая совокупность, из
которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью.
Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности,
145
называют выборкой. Число объектов генеральной совокупности и выборки
n
n
n
называют соответственно объемом генеральной совокупности и объемом
выборки.
Пример 1. Плоды одного дерева (200 штук) обследуют на наличие
специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 шт. Здесь
200 объем генеральной совокупности, а 10 объем выборки.
Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и
снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется
повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную
совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще
используется бесповторная выборка. Если объем выборки составляет
небольшую долю объема генеральной совокупности, то разница между
повторной и бесповторной выборками незначительна.
Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства
объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть
репрезентативной (представительной). Считается, что выборка
репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют
одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. выбор производится
случайно. Например, для того чтобы оценить будущий урожай, можно
сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и
исследовать их характеристики (массу, качество и пр.). Если вся выборка
будет сделана с одного дерева, то она не будет репрезентативной.
Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов
со случайно выбранных деревьев.
2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1
наблюдалось п1 раз, х2 п2 раз,..., xk nk раз и п1 + п2 + ... + nk = п объем
выборки. Наблюдаемые значения х1, х2,..., xk называют вариантами, а
последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке,
вариационным рядом. Числа наблюдений
n
а их отношения к объему выборки
nnn ,,,
называют частотами,
21
1
k
n
*
2
p
1
p
2
n
k
,,,
**
p
k
относительными частотами. Отметим, что сумма относительных частот
равна единице: .1
*
2
1
**
ppp
k
Статистическим распределением выборки называют перечень
вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Статистическое распределение можно задать также в виде
последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное
распределение). В качестве частоты, соответствующей интервалу,
принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Для
графического изображения статистического распределения используют
полигоны и гистограммы.
146
Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант хi,
h
nh
*
( )
i i
или p
h nh n
x 5 10 15 25 20 30 35 40 1 2 3 5 4
0,3
0,2
0,1
0 0,4
Рис.
23
y
x
на оси Оу значения частот ni (относительных частот р
Пример 2. На рис. 23 изображен полигон следующего распределения
(табл. 31):
Таблица 31
*
).
i
Варианта х
i
Относительная частота p
i
1 2 3 5
0.4 0.2 0.3 0.1
Полигоном обычно пользуются в случае небольшого числа вариант. В
случае большого числа вариант и в случае непрерывного распределения
признака чаще строят гистограммы. Для этого интервал, в котором
заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько
частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного
интервала
интервалах, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами
n
i
, где п объем выборки). Площадь i частичного прямоугольника равна
hn hn n
i i i
n
n
сумму частот вариант, попавших в i-интервал. Затем на этих
i
. Следовательно, площадь гистограммы равна
n
i
(или
сумме всех частот (или относительных частот), т.е. объему выборки (или
единице).
Пример 3. На рис. 24 изображена гистограмма непрерывного
распределения объема n = 100, приведенного в следующей табл. 32:
147
Таблица 32
h
4
0.8
Частичный
интервал h
вариант частичного
Сумма частот
n
i
интервала ni
510
1015
1520
2025
2530
3035
3540
6
16
36
24
10
4
1.2
3.2
7.2
4.8
2.0
0.8
11.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин. Пусть имеется некоторая
генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным
признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной
совокупности становится известным значение х признака X этого объекта.
Таким образом, мы можем рассматривать извлечение объекта из
генеральной совокупности как испытание, Х как случайную величину, а х
как одно из возможных значений X.
Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, к
какому типу распределений относится признак X. Естественно, возникает
1
задача оценки (приближенного нахождения) параметров, которыми
определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый
признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо
оценить, т.е. приближенно найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью
определяют нормальное распределение.
Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные
выборки генеральной совокупности, например значения количественного
признака
xxx ,,,
, полученные в результате п наблюдений (здесь и далее
21
n
наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают
оцениваемый параметр.
Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения
разных случайных величин Х1, Х2,..., Хn с тем же распределением, что и X, и,
следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X.
Значит, М(Хi) = М(Х) и D(Xi) = D(X). Величины Х1, Х2,..., Хn можно считать
независимыми в силу независимости наблюдений. Значения
21
xxx ,,,
в
n
этом случае называют реализациями случайных величин Х1, Х2, ..., Хn.
Отсюда и из предыдущего следует, что найти оценку неизвестного
параметра значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин Х1,
Х2, ..., Хn, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.
148
2. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета. Пусть
г
x
( ).
N
x x x x
N
( )
k k
x x N x N x N
N
.
i i
x x N
N
г
( ) ,
M X x x x x
N N N
г
( ) .
M X x
г
x
в
x
( ).
n
x x x x
n
( )
k k
x x n x n x n
n
изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно
количественного признака X.
Определение 1. Генеральной средней
(или а) называется среднее
арифметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения
21
xxx ,,,
признака генеральной совокупности
N
объема N различны, то
1
Если же значения признака
частоты
г
NNN ,...,,
21
1 2
xxx ,,,
имеют соответственно
21
причем N1+N2+...+Nk=N, то
k
k
1
г
1 1 2 2
или
k
1
г
N
i
(11.1)
1
Как уже отмечалось (см. п. 1), извлечение объекта из генеральной
совокупности есть наблюдение случайной величины X. Пусть все значения
xxx ,,,
различны. Так как каждый объект может быть извлечен с
21
одной и той же вероятностью
N
1
, то
1 1 1
1 2
N
т.е.
(11.2)
Такой же итог следует, если значения х1, х2, …, xk имеют
соответственно частоты
NNN ,...,,
.
21
k
В случае непрерывного распределения признака X по определению
полагают
= М(Х).
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно
количественного признака X произведена выборка объема п.
Определение 2. Выборочной средней
называется среднее
арифметическое значений признака выборочной совокупности.
Если все значения
21
xxx ,,,
признака выборки объема п различны,
n
то
1
1 2
(11.3)
в
Если же значения признака х1, х2, ..., xk имеют соответственно частоты
1
nnn ,,,
, причем nnnn
21
k
21
k
, то
в
1 1 2 2
или
149
.
k
i i
x x n
в
x
30 5 25 2 32 2 33 29 28 2
в
x
n
X
n
n
1
в
n
1
i
(11.4)
Пример 1. Выборочным путем были получены следующие данные о
массе 20 морских свинок при рождении (г) 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29,
28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найти выборочную среднюю
.
Решение. Согласно формуле (11.4)
х
в
20
27 36 2 31 2 34 23
30.
20
Итак,
= 30 г.
Для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То же
следует иметь в виду и в ряде других примеров.
Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения
xxx ,,,
признака различными.
21
n
Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же
объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще
говоря, различной. И это не удивительно ведь извлечение i-го по счету
объекта есть наблюдение случайной величины
X , а их среднее
i
арифметическое
1
)(
Х
21 n
XXX
есть тоже случайная величина.
Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные
средние есть возможные значения случайной величины
называется выборочной средней случайной величиной.
Найдем М(X), пользуясь тем, что М(Хi) = М(Х). С учетом свойств
математического ожидания получаем
1
)(
MXM
n
)()([
XXX
n
1
)]( ana
XM
n
1
)(
n
1
)]()()([
XMXMXM
Итак, М(X) (математическое ожидание выборочной средней)
совпадает с а (генеральной средней).
Теперь найдем D(X). Так как D(Хi) = D(X) и
ХХХ ,,
21
то согласно свойствам дисперсии получаем
, которая
XMXM
2121
.
независимы,
n
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]