Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Спецглавы математики. Численные методы с приложениями к задачам газогидродинамики. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Учебное п
.pdf
1
n
n
n
( ).
х С x C
10
72.00 0.04 71.96.
г
x
)(
DXD
n
21
)(
XXX
n
1
)](
XD
n
1
2
n
XnD
)]()()([
XDXDXD
22
)()([
XDXD
21
)()(
XD
,
n
т.е.
)(
XD
)(
XD (11.5)
.
Наконец, отметим, что если варианты хi большие числа, то для
облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий прием.
Пусть С константа. Так как
n
i
1 1
n
nCCxx
ii
i
,)(
то формула (11.3) преобразуется к виду
n
в
1
n
i
1
i
(11.6)
Константу С (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, вопервых, разности хi С были небольшими и, во-вторых, число С было по
возможности «круглым».
Пример 2. Имеется выборка:
xxxx
xxxx
xx
109
.96.71;71.72
Берем С = 72.00 и вычисляем разности :Cx
Их сумма ;38.0
109
их среднее арифметическое
.04.0;11.0
1021
4321
8765
ii
4321
8765
;07.72;05.72;93.71;88.71
;77.71;93.71;02.72;90.71
;07.0;05.0;07.0;12.0
;23.0;07.0;02.0;10.0
1
Выборочная средняя
x
в
1021
.04.0038.0)(
3. Генеральная и выборочная дисперсии. Для того чтобы
охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X
генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят
следующую характеристику генеральную дисперсию.
Определение 1. Генеральной дисперсией Dг называют среднее
арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной
совокупности от генеральной средней
.
151
Если все значения
2
( ) .
( ) .
i i
D x x N
1.8.
30
г г
D
г
x
N
г,
D X x x x x x x D
N N N
г
( ) .
D X D
г
.
D
( ).
D D X
г
( ) ,
D
n
г
D
n
г
n
объема N различны, то
Если же значения признака
частоты
NNN ,...,,
, причем N1+N2 + ... + Nk = N, то
21
k
Пример 3. Генеральная совокупность задана таблицей распределения
xxx ,,,
признака генеральной совокупности
21
D x x
г
г
N
N
1
N
k
1
i
1
i
имеют соответственно
21
N
1
i
г
xxx ,,,
k
2
г
(11.7)
N
x
i
i
2 4 5 6
8 9 10 3
Найти генеральную дисперсию.
Решение. Согласно формулам (11.1) и (11.7)
2 8 4 9 5 10 6 3 120
4,
(2 4) 8 (4 4) 9 (5 4) 10 (6 4) 3
D
г
х
г
2 2 2 2
8 9 10 3 30
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом)
называется
Пусть все значения х1, х2, ..., X
.
различны. Найдем дисперсию признака
N
X, рассматриваемого как случайную величину: ].))([()(
Так как М(Х) =
и Р{ X = хi} =
1
, то
2
XMXMXD
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
т.е.
1 2
2 2 2
г г г
Таким образом, дисперсия D(X) равна
Такой же итог следует, если значения
соответственно частоты N1, N2, ... , Nk.
В случае непрерывного распределения признака X по определению
полагают
(11.8)
г
С учетом формулы (11.8) формула (11.5) (п. 2) перепишется в виде
D X
откуда
( )
D X
или
( )X
Величину )(X называют средней квадратической ошибкой.
152
N
.
xxx ,,,
имеют
21
k
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений
в
x
в
x
2
( ) .
( ) .
i i
D x x n
1.
50 50
в в
.
D
1 1.
~
S
г
1nDn
г
1
M S D
n
количественного признака выборки вокруг своего среднего значения
вводят нижеследующую характеристику.
Определение 2. Выборочной дисперсией Dв называется среднее
арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака Х
от выборочной средней
Если все значения
.
xxx ,,,
признака выборки объема п различны,
21
n
то
n
1
в
n
1
i
+ п2 + ... + nk = п, то
1
k
1
в
n
1
i
в
i
21
в
(11.9)
xxx ,,,
имеют соответственно
k
2
(11.10)
Если же значения признака
частоты
D x x
nnn ,,,
, причем п
21
k
Пример 4. Выборочная совокупность задана таблицей распределения
х
N
i
i
1 2 3 4
20 15 10 5
,
Найти выборочную дисперсию.
Решение. Согласно формулам (11.4) и (11.10)
1 20 2 15 3 10 4 5 100
х
D
в
в
20 15 10 5 50
(1 2) 20 (2 2) 15 (3 2) 10 (4 2) 5 50
2 2 2 2
2,
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)
называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
В условиях примера 2 получаем, что
в в
D
уменьшая общности рассуждений, будем считать значения
признака различными.
Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайную
величину, будем обозначать
2
:
n
~
S
1
n
i
i
1
22
XX
.)(
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно
Ниже, не
xxx ,,,
21
n
n
2
( )
, т.е.
.
153
В заключение настоящего пункта отметим, что если варианты хi
в
D
2 2
( ) ( ) ,
~
S
~
~
~
~
~
~
S
г г
( ) .
M S D D
n
~
S
1Sn
S
г г
( ) ( ) .
M S M S M S D D
S
S
~
S
большие числа, то для облегчения вычисления выборочной дисперсии
формулу (11.9) преобразуют к следующему виду:
n
D x C x C
1
в
n
i
1
i
в
где С ложный нуль.
4. Оценки параметров распределения. Уже говорилось (см. п. 1) о
том, что одной из задач статистики является оценка параметров
распределения случайной величины X по данным выборки. При этом в
теоретических рассуждениях считают, что генеральная совокупность
бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было переходить к пределу
при п , где п объем выборки. Для оценки параметров распределения
X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить
оценками неизвестных параметров. Например, X (см. п. 2) является оценкой
генеральной средней, a
Обозначим через оцениваемый параметр, через
параметра (
является выражением, составленным из Х1, Х2, ..., Хn (см. п.
n
2
(см. п. 3) оценкой генеральной дисперсии Dг.
- оценку этого
n
1)). Для того чтобы оценка
давала хорошее приближение, она должна
n
удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования.
Несмещенной называют оценку
которой равно оцениваемому параметру , т.е. М(
, математическое ожидание
n
) = , в противном
n
случае оценка называется смещенной.
Пример 5. Оценка X является несмещенной оценкой генеральной
средней а, так как М(X) = а (см. п. 2).
Пример 6. Оценка
2
является смещенной оценкой генеральной
дисперсии Dг, так как согласно установленной выше теореме (см. п. 3)
Пример 7. Наряду с выборочной дисперсией
так называемую, исправленную дисперсию
2
рассматривают еще,
n
~
S
, которая является
22
1
n
2
также оценкой генеральной дисперсии. Для
2
с учетом установленной
выше теоремы (см. п. 3) имеем
n n n n
2 2 2
Таким образом, оценка
1 1 1
n n n n
2
в отличие от оценки
несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Явное выражение для
имеет вид
154
1
2
является
2
n
~
~
n
~
~
n
~
n
X
S
~
S
1n
n
S
~
S
в
x
s
S
~
S
n
1
n
S
n
1
nn
1
i
1 1
1
n
1
n
i
XX
)(
i
1
n
XX
n
1
1
i
22
.)(
(11.11)
ii
2222
XX
,)(
т. е.
Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать
несмещенные оценки, для того чтобы не делать систематической ошибки в
сторону завышения или занижения.
Состоятельной называют такую оценку
любого наперед заданного числа > 0 вероятность
параметра , что для
n
P
{
n
при
}
стремится к 14. Это означает, что при достаточно больших п можно с
вероятностью, близкой к 1, т.е. почти наверное, утверждать, что оценка
n
отличается от оцениваемого параметра меньше чем на .
Очевидно, такому требованию должна удовлетворять всякая оценка,
пригодная для практического использования.
Заметим, что несмещенная оценка
ее дисперсия стремится к нулю: 0)
Пример 8. Как установлено выше (см. п. 3),
следует, что несмещенная оценка
D
г
XD
D
n
г
1
limlim)(lim
nnn
.0
n
будет состоятельной, если при
n
(
D .
n
D
XD
г
)( . Отсюда
является и состоятельной, так как
Можно показать, что несмещенная оценка S2 является также
состоятельной. Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии
принимают исправленную дисперсию. Заметим, что оценки
2
и
2
отличаются множителем
практике
2
и
2
не различают при п > 30.
, который стремится к 1 при
. На
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения
используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое
равно квадратному корню из исправленной дисперсии:
n
n
S (11.12)
1
n
i
i
1
1
2
.)(
XX
Левые части формул (11.11), (11.12), в которых случайные величины
X1, Х2, …, X
средней
4
В таком случае говорят, что n сходится к по вероятности.
заменены их реализацией x1, x2, …, хп и X выборочной
n
, будем обозначать соответственно через
155
2
и s.
Отметим, что если варианты x
s
s
2 2 2
( ) ( ) ,
250
C
2
г);
вычисления
2
формулу для
2
, аналогично формуле (11.9), преобразуют к
большие числа, то для облегчения
i
виду
s x C x C
n
n n
1
i
1
i
в
(11.13)
n
1
где С ложный нуль.
Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности,
при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями.
Ясно, что чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность
грубой ошибки при определении приближенного значения параметра.
Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценку,
обладающую таким свойством, называют эффективной.
Из отмеченных требований, предъявляемых к оценке, наиболее
важными являются требования несмещенности и состоятельности.
Пример 9. С плодового дерева случайным образом отобрано 10
плодов. Их массы x1, x2, …, х10 (в граммах) записаны в первой колонке
приведенной ниже таблицы. Обработаем статистические данные выборки.
Для вычисления
x и s по формулам (3.6) и (3.13) введем ложный нуль
В
и все необходимые при этом вычисления сведем в табл. 33.
Таблица 33
i x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
i
225
274
305
253
220
245
211
234
230
231
x
C (x
i
25
24
55
3
30
5
39
16
20
19
72
C)
i
625
576
3025
9
900
25
1521
256
400
261
7598
Следовательно,
10
250 ( 250) 250 ( 72) 250 7.2 243 (
x x
в
1 1
10 10
i
10 1
( 250) (250 7.2 250)
s x
9 10
759.8 ( 7.2) 28 (г).
i
1
10
i
1
i
10
9
2 2
2
156
г).
s
~
~
~
~
~
~
~
~,~
~
~
~
n
~,~
~{}~
~
~
~
9 (
Отсюда
Итак, оценка генеральной средней массы плода
10
равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г. Оценка генерального
среднего квадратического откло-нения массы плода равна 28 г.
11.3. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения
1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть оцениваемый
параметр,
то по данным выборки вычисляют значение
его оценка, составленная из Х
n
Если известно, что оценка
, X2,…,Xn.
1
является несмещенной и состоятельной,
n
и считают его
n
приближением истинного значения . При этом среднее квадратическое
отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок ошибки. Такие
оценки называют точечными. Например, в предыдущем пункте речь шла о
точечных оценках генеральной средней и генеральной дисперсии. В общем
случае, когда о распределении признака X ничего не известно, это уже
немало.
Если же о распределении имеется какая-либо информация, то можно
сделать больше.
В данном пункте речь будет идти об оценке параметров а и
случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это очень
важный случай. Например (см. 3.5, п. 6), результат измерения имеет
нормальное распределение. В этом случае становится возможным
применять, так называемое, интервальное оценивание, к изложению
которого мы и переходим.
Пусть > 0 некоторое число. Если выполняется неравенство
, т.е.
n
, то говорят, что интервал (
nn
параметр . Однако невозможно указать оценку
{
n
} было достоверным, поэтому мы будем говорить о вероятности
этого события. Число называют точностью оценки
n
, что можно записать в виде
) покрывает
nn
, чтобы событие
n
.
n
Определение. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки
параметра для заданного > 0 называют вероятность того, что
интервал (
nn
) покроет параметр , т.е.
{
}.
PP
nnn
Заметим, что после того как по данным выборки вычислена оценка
событие {
} становится или достоверным, или невозможным, так
n
,
n
157
как интервал (
~,~
~
~,~
~,~
~
~,~
n
n
Ф t
) или покрывает , или нет. Но дело в том, что
nn
параметр нам неизвестен. Поэтому мы называем надежностью уже
вычисленной оценки
вероятность того, что интервал (
n
nn
),
найденный для произвольной выборки, покроет . Если мы сделаем много
выборок объема п и для каждой из них построим интервал (
nn
),
то доля тех выборок, чьи интервалы покроют , равна .
Иными словами, есть мера нашего доверия вычисленной оценке
.
n
Ясно, что чем меньше число , тем меньше надежность .
Определение. Доверительным интервалом называют найденный по
данным выборки интервал (
nn
), который покрывает параметр
с заданной надежностью .
Надежность обычно принимают равной 0.95, или 0.99, или 0.999.
Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный
доверительный интервал покрывает параметр . Но в этом можно быть
уверенным на 95% при = 0.95, на 99% при = 0.99 и т.д. Это означает, что
если сделать много выборок, для 95% из них (если, например, = 0.95)
вычисленные доверительные интервалы действительно покроют .
2. Доверительный интервал для математического ожидания при
известном . В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение
ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно.
Например, если измерения производятся одним и тем же прибором при
одних и тех же условиях, то для всех измерений одно и то же и обычно
бывает известно.
Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с
параметрами а и , причем известно. Построим доверительный интервал,
покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью . Данные
выборки есть реализации случайных величин Х1, Х2 ,..., Хn, имеющих
нормальное распределение с параметрами а и (см. 11.2, п. 1). Оказывается,
что и выборочная средняя случайная величина )(
1
X тоже
21 n
XXX
имеет нормальное распределение. При этом (см. 11.2, п.п. 2, 3)
XaXM
.)(;)(
n
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
, где
)( aXP
заданная надежность. Пользуясь формулой (11.7) (см. 11.5, п.5), получаем
( ) 2
P X a Ф
( ) 2P X a
или
, где
158
n
t . (11.14)
Найдя из равенства (11.14)
n
в
x
2 ( ) .
t t
n n
2
в
x
2
2
aXP
, можем написать
t
n
).(2 tФ
Так как Р задана и равна , то окончательно имеем (для получения
t
рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на
P x a x Ф t
t t
в в
n n
Смысл полученного соотношения
):
таков: с надежностью можнo утверждать, что доверительный интервал
x x
в в
,
покрывает неизвестный параметр а; точность оценки
./ nt Здесь число t определяется из равенства
( )
Ф t
(оно следует
из 2Ф(t) = ) по таблице прил. 2.
Как уже упоминалось, надежность обычно принимают равной или
0.95, или 0.99, или 0.999.
Пример 1. Признак X распределен в генеральной совокупности
нормально с известным = 0.40. Найти по данным выборки доверительный
интервал для а с надежностью = 0.99, если п =20,
= 6.34.
99.0
Решение. Для 495.0
)(
tФ находим по таблице приложения
2 t = 2.58. Следовательно,
58.2
.
23.0
20
Концы доверительного интервала 6.34 0.23 = 6.11 и 6.34 + 0.23 =
6.57. Итак, доверительный интервал (6.11; 6.57) покрывает а с надежностью
0.99.
3. Доверительный интервал для математического ожидания при
неизвестном . Пусть случайная величина X имеет нормальное
распределение с неизвестными нам параметрами а и . Оказывается, что
случайная величина (ее возможные значения будем обозначать через t)
40.0
aX
T
S
n
(п объем выборки, X выборочная средняя, S исправленное среднее
квадратическое отклонение) имеет распределение, не зависящее от а и .
Оно называется распределением Стьюдента5. Плотность вероятности
распределения Стьюдента дается формулой
5
Стьюдент - псевдоним английского статистика Госсета.
159
2/2n
t s t s
n n
X
г
x
в
x
1),(
BntS
n
t
,
1
n
где коэффициент Вn зависит от объема выборки. Потребуем, чтобы
выполнялось соотношение ,)(
tTP где
заданная надежность.
Так как S(t, п) четная функция от t, то, пользуясь формулой (11.9)
(см. 11.4), получаем
t
naX
S
P
Отсюда .
XP Следовательно, приходим к
St
Xa
n
0
St
n
dtntSt
.),(2
утверждению: с надежностью можно утверждать, что доверительный
интервал
оценки
x x
в в
st
. Здесь случайные величины
;
покрывает неизвестный параметр а, точность
и S заменены неслучайными
n
величинами
В прил. 3 приведена таблица значений ),( ntt
x и s, найденными по выборке.
в
для различных
значений n и обычно задаваемых значений надежности.
Заметим, что при n 30 распределение Стьюдента практически не
отличается от нормированного нормального распределения (см. 11.5, п. 5).
Это связано с тем, что
2/
n
2
1lim
n
t
1
n
2
t
2
.
e
Пример 2. Признак X распределен в генеральной совокупности
нормально. Найти доверительный интервал для
если п =20,
= 6.34, s = 0.40.
с надежностью = 0.99,
Решение. Для надежности = 0.99 и n = 20 находим по таблице
40.0
приложения 3
t =2.861. Следовательно,
Концы
861.2
.26.0
20
доверительного интервала 6.34 0.26 = 6.08 и 6.34 + 0.26 = 6.60. Итак,
доверительный интервал (6.08; 6.60) покрывает
x с надежностью 0.99.
г
4. Доверительный интервал для среднего квадратического
отклонения. Для нахождения доверительного интервала для среднего
квадратического отклонения
предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим (см. п.п. 2 и 3).
будем использовать следующее
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]