Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач с примерами решений по теме «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии стержневых систем». Учебно-методическо
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Р.А. Каюмов, И.З. Мухамедова
СБОРНИК ЗАДАЧ
С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЙ
ПО ТЕМЕ
«РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ»
Учебно-методическое пособие
Казань
2019
2
УДК 539.3
ББК 22.251
К12
Каюмов Р.А., Мухамедова И.З.
К12 Сборник задач с примерами решений по теме «Расчеты на прочность и
жесткость при центральном растяжении и сжатии стержневых систем»:
Учебно-методическое пособие / Р.А. Каюмов, И.З. Мухамедова. – Казань:
Изд-во Казанск. гос. архитект.-строит. ун-та, 2019. – 112 с.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
В учебно-методическое пособие включены статически определимые
и статически неопределимые задачи по теме «Центральное растяжение и
сжатие». Предложены задачи для выполнения студентами контрольных и
самостоятельных работ. В пособии приведены примеры решения типовых
задач расчета прочности и жесткости стержня постоянного и переменного
сечения, а также стержневых конструкций. Разобраны основные понятия и
формулы по данной теме. Материал сопровождается необходимыми
табличными данными и схемами.
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор кафедры «Металлические
конструкции и испытание сооружений»
И.Л. Кузнецов
Академик АН РТ, доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Прочность конструкций» КНИТУ-КАИ
В.Н. Паймушин
УДК 539.3
ББК 22.251
© Казанский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2019
© Каюмов Р.А., Мухамедова И.З.,
2019
3
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ………………………………………………………………………
3
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ…………………………………………
4 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ…………………………………….
10
Задача № 1. Расчет на прочность стержня постоянного сечения……………….
10
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
10
Задание для самостоятельной работы (задача № 1) ……………………………..
13
Задача № 2. Расчет ступенчатой колонны на прочность и жесткость…………
18
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
18
Задание для самостоятельной работы (задача № 2) ………………….…………
22
Задача № 3. Расчет стержня на прочность
с учетом собственного веса ………………………………………………….………
29
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
29
Задание для самостоятельной работы (задача № 3) ………………….…………
33
Задача № 4. Статически определимая стержневая система………… …………
38
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
38
Задание для самостоятельной работы (задача № 4) ………………….…………
41
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ………………….…..……………………………
49
Задача № 5. Задача для случая воздействия
только внешней силовой нагрузки…..………………………………………….…
49
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
49
Задание для самостоятельной работы (задача № 5) ………………….…………
53
Задача № 6. Учет температурных перепадов в стержневой системе….…….…
58
Пример решения задачи ………………………………………….…………………
58
Задание для самостоятельной работы (задача № 6) ………………….………
61
Задача № 7. Учет неточности изготовления стержневой системы…….…….…
66
Пример решения задачи ………………………………………….………….……
66
Задание для самостоятельной работы (задача № 7) ………….……….…………
70
Задача № 8. Статически неопределимая стержневая система, содержащая
абсолютно жесткий элемент………………………………………… …….…….
75
Пример решения задачи ………………………………………….………….……
75
Задание для самостоятельной работы (задача № 8) ………….……….…………
83
Задача № 9. Статически неопределимая стержневая система
с наклонным стержнем, содержащая абсолютно жесткий элемент.….…….
90
Пример решения задачи ………………………………………….………….……
90
Задание для самостоятельной работы (задача № 9) ………….……….…………
99
ПРИЛОЖЕНИЕ 1…………………………………………………………………….
106
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………….
111
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ……………………………………….....
111
4
поодну
iz
сторону
сечения
NP
P P
n
n
P
N>0
z
Растяжение
N
n
n
P
P
P
N z N<0
Сжатие
Рис. 1
Продольные силы в сечении – сжимающая (отрицательная) продольная сила;
растягивающая (положительная) продольная сила
Основные понятия и формулы
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при
котором в его поперечном сечении возникает только внутренняя
продольная сила Ν, действующая вдоль оси бруса z.
Продольная сила (нормальная сила) N в сечении бруса – это
суммарная сила, с которой левая часть воздействует на правую часть (или
наоборот).
Вычисление продольной силы
Для вычисления Ν применяется метод сечений. Продольная сила Ν
численно равна алгебраической сумме проекций всех сил на продольную
ось бруса, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
(1)
Правило знаков для N (рис. 1):
При растяжении продольная сила положительна (если внешняя нагрузка
направлена от сечения), при сжатии – отрицательна (если внешняя
нагрузка направлена к сечению).
5
12
N P P
34
N P P
12
( P P )/ A
N
A
0
0
n
R
n
n
P1 P2 P
3
P
4
Рис. 2. Пример центрального растяжения (сжатия) стержня
z
Например, согласно рис. 2, внешние силы, действующие по правую
сторону от сечения стержня n-n, есть результат воздействия правой части
стержня на левую (или наоборот). Так, с силой
левая часть
бруса в сечении воздействует на правую. Правая же часть бруса в сечении
воздействует на левую с силой
.
Напряжения. Расчеты на прочность
Напряжение – это давление, с которым одна часть бруса воздейст-
вует на другую его часть относительно рассматриваемого сечения.
Например, согласно рис. 2, левая часть стержня относительно сечения n-n
создает на правую часть давление, равное величине
.
Другая интерпретация понятия напряжения:
Напряжение – это сила растяжения (сжатия) одного волокна единичного
поперечного сечения.
Нормальные напряжения при центральном растяжении (сжатии)
вычисляются по формуле:
, (2)
здесь A – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для нормальных напряжений :
Если N>0, то
Если N<0, то
– при растяжении стержня.
– при сжатии стержня.
Введем понятие нормативного сопротивления
, представляющего
собой основной параметр сопротивления материалов внешним
воздействиям, которое указывается в ГОСТ, и контролируется на
6
производстве. Нормативное сопротивление
n
R
/
nm
RR
m
m
раст сж
вв
max
max
max
max
,
.
раст раст
сж сж
N
R
A
N
R
A
,
раст сж
RR
max
max
,
,
раст bt
сж b
R
R
b
R
bt
R
раст сж
тт
max
max
N
R
A
– это установленное
нормами предельное значение напряжений в материале.
Введем понятие расчетного сопротивления R, которое
определяется по формуле:
,
где
– коэффициент надежности по материалу, который учитывает
возможное отклонение сопротивления материала в неблагоприятную
сторону от нормативного значения, (
>1).
Для разнопрочных материалов, в частности, хрупких (бетон, кирпич,
камень), для которых предельные напряжения при растяжении и сжатии
отличаются (
), условие прочности имеет вид:
(3)
Здесь
– расчетное сопротивление на растяжение и сжатие,
соответственно.
В теории расчета бетонных конструкций условие прочности имеет
вид:
где
называется расчетным сопротивлением на сжатие,
расчетным сопротивлением бетона на растяжение.
Для Стали 3 (представитель пластичных материалов), у которой
предельные напряжения при растяжении и сжатии примерно одинаковые
(
Под действием продольных внешних сил стержень удлиняется или
укорачивается.
), условие прочности имеет вид:
Деформации. Расчеты на жесткость
называется
. (4)
7
Абсолютным удлинением, или абсолютной продольной
k
l
k
l l l
l
l
l
100
0l
0l
Nl
l
EA
EA
[]ll
[]l
деформацией l, называется величина, которая численно равна разности
длины деформированного бруса
и его длины до деформации l:
. (5)
Линейной деформацией называется относительная продольная
деформация, т.е. отношение абсолютной продольной деформации бруса
к его первоначальной длине l:
. (6)
Если умножить на 100% , то
показывает, на сколько процентов
изменилась длина стержня.
Правило знаков для линейной деформации:
При удлинении продольная деформация положительна:
укорочении – отрицательна
.
, а при
Закон Гука при растяжении (сжатии) имеет вид:
, (7)
где l – начальная длина стержня, Е – модуль упругости материала
(характеризует жесткость материала). Величина
жесткостью стержня.
Формулой (7) можно пользоваться для вычисления абсолютного
удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого
участка значение продольной силы постоянно, и жесткость стержня не
меняется.
В ряде случаев для обеспечения надежной работы стержня
необходимо выполнение условия жесткости. Стержень называется
жестким, если его деформация (удлинение или укорочение) находится в
пределах нормы.
называется
, (8)
где
– допустимая деформация.
Растяжение и сжатие стержня с учетом собственного веса
Собственным весом при растяжении и сжатии стержней можно
пренебрегать, если мы не имеем дело с длинными стержнями или со
стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой
прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных
канатов подъемников, цепей, различного рода длинных штанг и высоких
8
каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится
N P A z P
z
A A A
E A const
P l l
l
E A E
2
2
...
полн n
l l l l l
1 2 3
. . .степень статич неопред число неизвестных число ур статики
P
l
A
z
Рис. 3
вводить в расчет и собственный вес конструкции.
Напряжения в сечении при растяжении (сжатии) с учетом
собственного веса (рис. 3) оказываются неодинаковыми во всех сечениях,
и их можно вычислить по формуле:
, (9)
где – удельный вес материала, A – площадь
поперечного сечения стержня,
Если стержень постоянного поперечного
сечения (А=const), и жесткость материала не
меняется (
), то полное удлинение
(укорочение) стержня на участке длиной l имеет
вид:
. (10)
В общем случае полное удлинение стержня
получится путем суммирования удлинений всех
его участков согласно выражению:
. (11)
Статически неопределимые задачи
Статически неопределимыми называются такие стержни и
стержневые системы, расчет которых не может быть произведен только с
помощью уравнений статики. Этих уравнений недостаточно для
определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Степень
статической неопределимости определяется по следующей формуле:
Для решения таких задач необходимо составить дополнительные
уравнения, которые называются уравнениями совместности
деформаций, рассмотрев деформированное состояние стержня или
стержневой системы. Уравнения совместности деформаций составляются с
учетом малости деформаций стержней и стержневых систем.
9
При изготовлении элементов конструкции их размеры невозможно
l l t
t
конеч нач
t t t
max
R
max
P [P]
изготовить точно по проекту. В результате, при сборке приходится
некоторые элементы предварительно нагружать. Монтажные
напряжения – это напряжения, возникающие от неточности изготовления
стержней, и только в статически неопределимых системах при сборке.
Температурные напряжения – это напряжения, возникающие от
перепада температур в стержнях, и только в статически неопределимых
системах.
Температурная деформация записывается на основе закона
Дюамеля-Неймана:
, (12)
где
температуры, т.е.
– это разница между конечным и начальным значениями
;
– коэффициент линейного
температурного расширения; l– начальная длина стержня.
Основные методы оценки прочности конструкции
1. Метод допускаемых напряжений. При расчете по допускаемым
напряжениям в качестве предельного принимается состояние, при
котором хотя бы в одной точке элемента конструкции расчетное
напряжение становится равным предельному значению (тогда
конструкция считается вышедшей из строя). По этому методу расчет
ведется по рабочему состоянию, когда все элементы работают в упругой
области с использованием условия прочности:
. (13)
2. Метод допустимых нагрузок (расчет на прочность по теории
предельного равновесия). При достижении в одном из стержней
предельного значения напряжений (предел текучести для Ст. 3) несущая
способность стержневой системы не исчерпывается, т.к. другие элементы
могут взять на себя нагрузку или ее часть, которую должен был нести
разрушенный элемент. Тогда за предельное (опасное) состояние следует
принять такое, при котором конструкция превращается в механизм (т.е.
небольшие добавочные напряжения приводят к большим перемещениям,
или, по-другому, дополнительная нагрузка приводит к неограниченной
деформации конструкции). Согласно этому методу, условие прочности
может быть записано в виде:
. (14)
10
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ
2
32
P 60т; а 1.3м; R 2.3т /см ;
E 2 10 т /см .
sa0
1
N 3P 3 60 180т
1
1
двут двут
N 180т 60т
A
3 АА
3P
P
2a
a
3a
9P
Сечение колонны
3P
s
Задача № 1
Расчет на прочность стержня постоянного сечения
Пример решения задачи
Для заданной расчетной схемы
стальной колонны постоянного поперечного
сечения требуется:
1. Подобрать номер профиля в сечении
из условия прочности.
2. Определить продольную деформацию
(укорочение или удлинение) колонны.
Исходные данные:
Решение
1. Согласно методу сечений, рассмотрим участки колонны. Отсчет
участков ведем от свободного конца стержня.
I участок
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]