Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач с примерами решений по теме «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии стержневых систем». Учебно-методическо
.pdf
71
Схемы стержней (задача № 7)
1 2 3
4 5
6
7 8 9
I A
II 2A
II 2A
I 5A
II 3A
I 2A
II 4A
I 2A
I A
II 2A
I 2A
I 2A
II 5A
II 4A
I 3A
I 4A
II 3A
II 3A
А. Двухступенчатый стержень
Таблица 16
72
10 11 12
13
14 15
16 17 18
I A
II 2A
I 4A
II 2A
I 3A
II 2A
I A
II 2A
I 4A
II 3А
3a
I 2A
II 4A
II A
I 3A
I 2A
II 5A
I A
II 3A
73
Б. Трехступенчатый стержень
1 2 3
4
5
6
7
8 9
I A
III 5A
II 4A
I 4A
III 2A
II A
I 3A
III 2A
II A
I 3A
III 5A
II A
I 4A
III A
II 4A
I A
III A
II 4A
I 2A
III 6A
II 4A
I 2A
III 2A
II 3A
I 4A
III A
II A
74
10
11 12
13
14 15
16
17
18
I 2A
III 2A
II A
I 2A
III 2A
II A
I A
III 3A
II A
I 2A
III 4A
II 3A
I 4A
III A
II 3A
I 4A
III A
II A
I 3A
III 5A
II A
I 4A
III A
II 4A
I A
III A
II 4A
75
Задача № 8
1
A
2
A
1
N
2
N
1
2
1
2
0
0
t
1
t
2
1
t
2
t
32
12
Е Е Е 2 10 т / см
2
R 2.3 т/ см
7
125 10 1/град
P7т; q2т /м
22
12
A 12см ; А 24см
а 1м
12
0.4мм; 0.6мм;
12
t 30 град; t 25град
P
3a
3a
a
3a
4a
1
2
Статически неопределимая стержневая система, содержащая
абсолютно жесткий элемент
Пример решения задачи
Задана стальная шарнирностержневая система, состоящая
из абсолютно жесткого бруса и
упругих стержней с заданными
площадями поперечного
сечения
и
. Материал
стержней Сталь 3.
Требуется:
1. Установить степень
статической неопределимости.
2. Найти продольные усилия в стержнях
и
и нормальные
напряжения
3. Найти монтажные напряжения в стержнях
изготовления
и
от приложенной внешней силовой нагрузки.
и
. Если неточность
, значит, стержень сделан длиннее, если
–
короче.
4. Найти температурные напряжения
температуры в стержнях на
и
, соответственно.
и
при изменении
5. Проверить прочность конструкции.
Исходные данные:
;
;
;
;
;
;
.
Решение
Данная задача решается на основе принципа независимости действия
сил, т.е. мы будем рассматривать три отдельные задачи:
а) задача, где учитывается воздействие на систему только внешней
силовой нагрузки;
б) задача, где учитывается только неточность изготовления стержней
конструкции;
76
в) задача, где учитывается только температурный перепад в стержнях
1
N
2
N
1
N
2
N
1
N
2
N
iх
iy
Ai
P0
P0
mom P 0
A
1 A 2
12
H0
N R N P q 3a 0
N 4a N a P 7a q 3a 5.5a 0
m 4 3 1
1
N
2
N
3a
3a
a
1
2
N2 N1 RA H
A
Рис. 14
конструкции.
1. Брус освобождаем от связей, заменим
их реакциями, как показано на рис. 14.
Методом сечений введем в рассмотрение
внутренние продольные усилия в стержнях
и
. Условно будем считать, что
стержни растянуты, тогда
и
направим
от сечения (или, по-другому, направим их от
бруса), как показано на рис. 14.
Неизвестных 4: RA, RB,
,
.
Для плоской задачи можно составить
следующие три независимых уравнения
равновесия:
. (24)
Таким образом, степень статической неопределимости:
Стержневая система один раз статически неопределима.
2. Для определения всех неизвестных RA, RB,
независимых уравнения, а в нашем случае их только три. Дополнительное
уравнение, уравнение совместности деформаций, получим из
кинематической схемы деформирования конструкции (рис. 15), используя
предположение о малости деформаций. При расчете на прочность опорные
реакции не используются, поэтому определим только продольные усилия
N
, N
в стержнях.
1
2
.
,
нужно четыре
77
Предположим, что жесткий брус будет поворачиваться относительно
1
BB AB
1
CC AC
1
ACC
1
1
1
AC CC
ABB
AB BB
12
CC l
11
BB l
2
1
1мl
4мl
12
l 4 l
1 1 2 2
1 1 2 2
N l N l
4
E A E A
1
l
2
l
А С С
1
B
1
B
Положение оси бруса после
приложения нагрузки
Рис. 15. Кинематическая схема деформирования
стержневой системы
D
шарнира А против часовой стрелки, как видно из рис. 15.
На основе малости деформаций будем считать, что
и
. При составлении уравнения совместности рассмотрим
геометрию системы.
~
,
, здесь поставлен знак «–», т.к. второй стержень укорачивается;
, первый стержень удлиняется;
Уравнение совместности деформаций примет вид:
Преобразуем это выражение. На основе закона Гука можно записать:
.
. (25)
,
78
т.к. Е1= Е2=Е то
12
22
N 300см N 400см
4
E 12см E 24см
12
N 2.67 N
12
12
N 4a N a P 7a q 3a 5.5a 0
N 2.67 N
12
N 3.66т; N 1.37т
P2
1
1
2
1
P2
2
2
2
2
N 3.66т
0.31 т/ см ;
A
12см
N 1.37т
0.06т /см ;
A
24см
12
,
1
0.4мм
2
0.6мм
3a
4a
1
2
1
2
Рис. 16
,
. (26)
Таким образом, получим искомые усилия в стержнях от
приложенной внешней силовой нагрузки решив следующую систему,
состоящую из последнего уравнения равновесия в системе (24) и
уравнения совместности деформаций (26):
.
Искомые неизвестные:
.
Далее определим напряжения в стержнях от внешней силовой нагрузки:
.
Вывод: от данной внешней силовой нагрузки в первом стержне возникают
растягивающие напряжения, а во втором – сжимающие напряжения.
3. Для нахождения монтажных
напряжений
, которые
возникают от неточности
изготовления стержней (рис. 16),
необходимо решить статически
неопределимую задачу
аналогично пункту 2.
– стержень сделан
короче проектной длины
(рис. 16);
– стержень сделан длиннее проектной длины (рис. 16).
79
1
N
2
N
A 1 2
mom : N 4a N a 0
12
l 4 l
11
11
11
Nl
l
EA
22
22
22
Nl
l
EA
12
1 1 2 2
12
1 1 2 2
N 4a N a 0
N l N l
4 ( )
E A E A
12
12
2 2 2 2
N4м N 1м 0
N 300см N 400см
0.04см 4 ( 0.06см)
2000т / см 12см 2000т/ см 24 см
1
2
N 1.37т;
N 5.49т;
Можно избежать определения опорных реакции в шарнире А. Для этого
запишем только одно уравнение моментов относительно точки А. Так же
как и на рис. 14 предполагаем, что в стержнях возникают усилия
растяжения
,
.
.
Уравнение совместности деформации будет таким же как (25):
.
Учитывая неточность изготовления стержней, можно записать:
;
.
Тогда неизвестные монтажные усилия можно определить из системы:
.
Подставим исходные данные, и решим следующую систему:
Получим монтажные усилия:
.
Далее вычислим монтажные напряжения:
.
80
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
N 1.37т
0.11 т/ см ;
A
12см
N 5.49т
0.23т /см .
A
24см
tt
12
,
tt
A 1 2
mom : N 4a N a 0
12
l 4 l
t
11
1 1 1
11
Nl
l l t
EA
t
22
2 2 2
22
Nl
l l t
EA
tt
12
tt
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
N 4a N a 0
N l N l
l t 4 ( l t )
E A E A
3a
4a
1
2
11
lt
Рис. 17
22
lt
Вывод: от данной неточности изготовления в обоих стержнях возникают
сжимающие монтажные напряжения.
4. Определим температурные напряжения
, которые возникают от
перепада температур в стержнях (рис. 17). Задача статически
неопределимая, и решается аналогично задаче о монтажных напряжениях
(пункт 3).
Также записываем уравнение моментов:
.
Уравнение совместности деформации будет таким же как (25):
.
Учитывая перепад температур в
стержнях, на основе закона
Дюамеля-Неймана можно записать
деформации в стержнях:
Далее решаем систему:
;
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]