Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач с примерами решений по теме «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии стержневых систем». Учебно-методическо
.pdf
91
1. Брус освобождаем от связей, заменим их реакциями, как показано на
1
N
2
N
1
N
2
N
iх
iy
Ai
P0
P0
mom P 0
A2
1 A 2
12
H N Cos 0
N R N Sin P q 2a 0
N 3a N 3a Sin P 2a q 2a a 0
m 4 3 1
P
3a
2a
a
Рис. 19
q
N2 N
1
RA H
A
А
В
С
С1 B
1
1
l
B
2
В
B
1
B
2
2
l
Рис. 20. Кинематическая схема деформирования
2
l
рис. 19. Методом сечений введем в рассмотрение внутренние продольные
силы в стержнях
и
. Будем считать, что стержни растянуты (усилия
направим от бруса).
Неизвестных 4: RA, RB,
,
.
Можно составить следующие три независимых уравнения равновесия:
. (27)
Таким образом, степень статической
неопределимости:
.
Стержневая система один раз
статически неопределима.
2. Дополнительное уравнение,
уравнение совместности деформаций,
получим из кинематической схемы
деформирования конструкции (рис. 20),
используя предположение о малости
деформаций.
Предположим, что жесткий брус будет поворачиваться относительно
шарнира А против часовой стрелки.
92
Ввиду малости деформаций будем считать, что
1
BB AB
1
CC AC
11
CC l
1 2 2
B B l
12
B B 0
1
ACC
1
1
1
AC CC
ABB
AB BB
12
BB B
2
1
l
sin
BB
1
2
3a l sin
3a l
21
l l sin
2 2 1 1
2 2 1 1
N l N l
0.71
E A E A
21
22
N 424см 0.71 N 300см
10см 5 см
21
N 1.005 N
, здесь поставлен знак «–» т.к. стержень укорачивается.
и
.
. Второй стержень удлиняется, следовательно
.
При составлении уравнения совместности рассмотрим геометрию
деформирования конструкции.
~
;
Из
:
;
.
Таким образом, уравнение совместности деформаций примет вид:
. (28)
На основе закона Гука можно записать:
.
Так как Е1= Е2=Е, то это выражение можно преобразовать:
;
. (29)
При расчете на прочность опорные реакции не используются,
поэтому определим только продольные усилия N
, N
в стержнях. Таким
1
2
образом, решим систему, состоящую из последнего уравнения системы
(27) и соотношения (29):
93
12
21
N 3a N 3a Sin P 2a q 2a a 0
N 1.005 N
12
N 6.22т; N 6.25т.
P2
1
1
2
1
P2
2
2
2
2
N 6.22т
1.24 т / см ;
A
5см
N 6.25т
0.63т / см .
A
10см
1
2
12
,
1
0.7мм
2
0.4мм
1
N
2
N
1
N
2
N
2
1
Рис. 21
1
2
Искомые неизвестные продольные силы в стержнях:
Далее определим напряжения в стержнях от внешней силовой нагрузки:
(30)
Вывод: от данной внешней силовой нагрузки в первом стержне возникают
сжимающие напряжения, а во втором – растягивающие напряжения.
3. Определим монтажные напряжения в стержнях
нахождения монтажных напряжений
, которые возникают от
и
. Для
неточности изготовления стержней (рис. 21), необходимо решить
статически неопределимую задачу аналогично пункту 2.
– первый стержень
сделан длиннее проектной длины
(рис. 21);
– второй стержень
сделан длиннее проектной длины
(рис. 21);
Как было сказано выше, при расчете на прочность опорные реакции
не используются, поэтому запишем уравнение моментов относительно
точки А. В стержнях возникают продольные монтажные усилия
,
.
Хотя в этой задаче для монтажа требуется сжать стержни, будем
изображать
,
растягивающими (рис. 22).
94
A 1 2
mom : N 3a N 3a Sin 0
.
21
l l sin
11
11
11
Nl
l
EA
22
22
22
Nl
l
EA
12
2 2 1 1
21
2 2 1 1
N 3a N 3a Sin 0
N l N l
( ) Sin
E A E A
12
21
2 2 2 2
N3м N 3м 0.71 0
N 424см N 300см
0.04см ( 0.07см) 0.71
2000т /см 10см 2000т /см 5см
1
2
N 1.75т;
N 2.47т;
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
N 1.75т
0.35 т/ см ;
A
5см
N 2.47т
0.25т /см .
A
10см
3a
2a
a
Рис. 22
1
N
A
H
2
N
A
R
Уравнение совместности деформации
будет таким же как (28):
.
Учитывая неточность изготовления
стержней, можно записать:
;
.
Тогда неизвестные монтажные усилия можно определить из системы:
.
Подставим исходные данные, и решим следующую систему:
.
Получим монтажные усилия:
Далее вычислим монтажные напряжения:
95
Вывод: от данной неточности изготовления в обоих стержнях возникают
2
R 2.3т /см
tt
12
,
tt
A 1 2
mom : N 3a N 3a Sin 0.
21
l l sin
t
11
1 1 1
11
Nl
l l t
EA
t
22
2 2 2
22
Nl
l l t
EA
tt
12
tt
2 2 1 1
2 2 1 1
2 2 1 1
N 3a N 3a Sin 0
N l N l
l t ( l t ) sin
E A E A
tt
12
7
2
22
7
1
22
N3м N 3м 0.71 0
N 424см 1
125 10 424см ( 15град)
град
2000т / см 10см
N 300см 1
[ 125 10 300см ( 20град)] 0.71
град
2000т / см 5см
2
1
Рис. 23
22
lt
11
lt
сжимающие монтажные напряжения, причем они в пределах допустимого
значения:
.
4. Определим температурные напряжения
, которые возникают от
перепада температур в стержнях. Задача статически неопределимая, и
решается аналогично задаче о монтажных напряжениях.
Записываем уравнение моментов:
Уравнение совместности деформации будет таким же как (28):
.
Учитывая перепад температур в
стержнях (рис. 23), на основе
закона Дюамеля-Неймана
можно записать деформации в
стержнях:
;
Далее решаем систему:
Подставим исходные данные в систему:
;
.
.
96
Температурные усилия в стержнях примут вид:
t
1
t
2
N 2.59т;
N 3.65т.
t
t2
1
1
2
1
t
2
2
2
2
2
N 2.59т
0.52 т / см ;
A
5см
N 3.65т
0.37т /см .
A
10см
2
R 2.3т /см
Pt
1 1 1 1
Pt
2 2 2 2
R
R
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2
1.24т /см 0.35т /см 0.52 т / см 2.3т /см
0.63т / см 0.25т / см 0.37 т / см 2.3т /см
22
1
22
2
1.07 т / см 2.3т/ см
0.75 т /см 2.3т /см
Далее вычислим температурные напряжения:
Вывод: от данных перепадов температур в обоих стержнях возникают
растягивающие температурные напряжения, причем они в пределах
допустимого значения:
.
5. Проверим прочность стержневой конструкции. С учетом знаков для
напряжений можно записать:
,
.
Условие прочности стержневой системы выполняется.
Вывод: Конструкция прочная, так как данные в задаче одновременно
внешние силовые нагрузки, неточности изготовления и температурные
97
перепады в стержнях вызывают напряжения в пределах допустимого
Q q 2a
пр
пр
P
P
2.5
QQ
т
пр
P
пр
Q
2
11тт
2
22тт
2.4т /см ;
2.4т /см ;
22
1т 1т 1
N А 2.4т / см 5см 12т
22
2т 2т 2
N А 2.4т/ см 10см 24т
1т 2т пр пр
N 3a N 3a Sin P 2a Q a 0
пр пр
12т 3м 24т 3м 0.71 2.5 Q 2м Q 1м 0
значения.
6. Расчет предельной нагрузки по теории предельного равновесия и
определение истинного коэффициента запаса прочности.
В постановке задачи предполагается, что внешние приложенные
нагрузки P и
увеличиваются пропорционально:
.
В предельном состоянии, когда конструкция превратится в
механизм, во всех стержнях напряжения будут равны пределу
текучести
. При этом не имеет значения, какими были в начале процесса
монтажные и температурные напряжения. Достигнутые значения сил в
предельном состоянии обозначим величинами
и
.
Как видно из (30), первый стержень сжат, а второй растянут, поэтому в
предельном состоянии:
Тогда можно определить предельные усилия в стержнях:
;
.
Запишем уравнение равновесия в виде равенства нулю момента всех сил
относительно шарнира А (последнее уравнение из системы (27)) в
начальный момент предельного состояния:
. (31)
Подставим числовые значения в соотношение (31):
.
98
пр
Q 21.78т
пр
P 54.45т
k 1.5
пр
P
54.45т
[P] 36.3т
k 1.5
пр
Q
21.48т
[Q] 14.32т
k 1.5
пр
ист
Р
54т
k 2.72
Р 20т
ист
k 2.72
Решение будет иметь вид:
;
.
Можно найти допустимые нагрузки, на основе коэффициента запаса
:
;
.
Истинный коэффициент запаса прочности определится по формуле:
.
Вывод: Истинный коэффициент запаса прочности будет равен
.
99
Задание для самостоятельной работы (задача № 9)
1
N
2
N
1
2
1
2
t
1
t
2
32
Е 2 10 т /см
2
R 2.3т /см
А
Б
В Г Б
А
№
q,
т/м
P, т А1,
см
2
А2,
см2
а,
м
1
,
мм
2
,
мм
1
t
,
град
2
t
,
град
1
3
12
12 8 1.1
-0.5
-0.7
-20
-40
2
2 8 10
12
1.2
-0.4
0.3
10
-10
3
4 9 15 5 1.0
0.3
-0.6
-35
25
4
2
11 6 8
0.9
-0.4
0.5
20
-10
5
6
15
11
22
0.8
0.7
-0.4
-25
20
6
4
10
12
14
0.9
-0.6
-0.3
35
-15
7
5 6 9
18
1.3
0.7
-0.5
30
-20
8
4
20
16 9 1.0
-0.3
0.6
15
-15
9
2
15 5 10
1.1
0.5
-0.5
20
20
0
2 7 12
20
1.3
-0.2
0.6
-30
-10
Задана стальная шарнирно-стержневая система, состоящая из
абсолютно жесткого бруса и упругих стержней с заданными
соотношениями площадей поперечного сечения. Материал стержней Ст 3.
Требуется:
1. Установить степень статической неопределимости.
2. Найти продольные усилия в стержнях
и
и нормальные
напряжения
3. Найти монтажные напряжения в стержнях
4. Найти температурные напряжения в стержнях
и
от приложенной внешней силовой нагрузки.
и
и
.
.
5. Проверить прочность конструкции.
6. Найти предельную нагрузку по теории предельного равновесия и
истинный коэффициент запаса прочности.
Для Стали 3:
;
.
Исходные данные задачи и схему взять согласно шифру из табл. 19 и 20.
Таблица 19
Исходные данные (задача № 9)
100
1
2
3
4
5
6
3a
a
3a
a
2a
1
2
2a
2a
2a
a
2a
2
3a
3a
a
2a
1
2
3a
2a
3a
a
2a
1
2
2a
2a
a
2a
2a
2
2a
2a
a
2a
3a
1 2 1
1
Схемы нагружения (задача № 9)
Схема А
Таблица 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]