Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
Г. В. Алексеев
ПРИМЕНЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
В ПИЩЕВОЙ ИНЖЕНЕРИИ
Учебное пособие
2-е издание
Вузовское образование
Саратов • 2019
УДК 681
ББК 36.81
Алексеев, Г. В.
Применение математических методов в пищевой инженерии
[Электронный ресурс] : учебное пособие / Г. В. Алексеев. — 2-е изд. —
Электрон. дан. и прогр. (6 Мб). — Саратов: Вузовское образование,
2019. — 125 с.
ISBN 978-5-4487-0421-5
Данное учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальностям «Пищевая инженерия», «Машины и агрегаты пищевой промышленности».
Оно соответствует учебным программам подготовки бакалавров и магистров.
В учебном пособии изложены основные теоретические сведения важнейших разделов
курса и приведены методические рекомендации по выполнению практических занятий и
лабораторных работ.
Предназначено для бакалавров, магистров, аспирантов и преподавателей других
пищевых направлений, а также специалистов, занимающихся разработкой аналогичных
машин и оборудования.
Для создания электронного издания использовано:
Приложение pdf2swf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,
разработанное на основе Adobe Air
© Алексеев Г. В., 2013
© ООО «Вузовское образование», 2019
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
Геометрическое подобие
Временное подобие
Подобие физических величин
Подобие граничных условий
Подобие начальных условий
Первая теорема подобия
Вторая теорема подобия
Третья теорема подобия
Метод анализа размерностей
Некоторые особенности применения теорем подобия к анализу процессов
2. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПИЩЕВОЙ ИНЖЕНЕРИИ
2.1. Модели и объекты моделирования в пищевой инженерии
2.2. Объекты моделирования
Структурный подход
Эмпирический подход
2.3. Точность моделей в математическом моделировании
Пример компенсации ошибок параметров
Лимитирующие стадии процесса
Модели с распределенными и сосредоточенными параметрами
Прямые и обратные задачи
Анализ процесса теплопередачи
Анализ коэффициента теплопередачи K с точки зрения лимитирующей стадии процес-
са
Влияние перемешивания
2.4. Эмпирические модели и их математическое описание
Первый — проверка воспроизводимости опытов
Второй — вычисление погрешности экспериментальных данных
Полный факторный эксперимент
Матрица планирования эксперимента
Анализ полученного уравнения регрессии
Проверка адекватности полученного уравнения регрессии
3. МАССООБМЕННЫЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Основные теоретические положения
3
Фазовые равновесия
Материальный баланс процессов массопередачи
Основное уравнение массопередачи
Законы массопередачи
Закон массоотдачи (Уравнение Щукарева)
Связь коэффициентов массопередачи и массоотдачи
Дифференциальное уравнение конвективной диффузии
Физический смысл критериев массообменного подобия
3.2. Моделирование процесса переноса массы
Порядок подобного преобразования дифференциального уравнения
Массопередача в системе с твердой фазой
Оценка времени извлечения распределяемого вещества из твердой частицы
Метод послойной отработки
Модель массопереноса для диффузионной области
3.3. Гидродинамические модели структуры потоков в аппаратах непрерывного действия
Экспериментальные методы исследования структуры потоков в аппаратах
3.3.1. Модели структуры потоков
Модель идеального вытеснения
Модель идеального перемешивания
Модели аппаратов промежуточного типа
Аппараты промежуточного типа
Диффузионная однопараметрическая модель
Ячеистые модели
Оценка влияния структуры потока материала на работу теплообменных аппаратов
Модель идеального вытеснения
Модель идеального перемешивания
Ячеистая модель
Диффузионная модель
4
. ПРОЦЕССЫ МАССОЭНЕРГОПЕРЕНОСА
4.1. Базовые соотношения
Начальные и граничные условия к уравнениям переноса
4.2. Уравнение конвективного переноса массы
4.3. Уравнение переноса теплоты
5. ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ
5.1. Математическое программирование и задачи оптимизации
5.2. Понятия классической теории оптимизации
Метод множителей Лагранжа
Ограничения в виде неравенств. Условия Куна-Таккера
4
Квадратичное программирование
Дробно-линейное программирование. Математическая модель задачи
5.3. Некоторые вопросы оптимизации теплообменных аппаратов
5.3.1. Оптимизация на основе аналитических моделей
Теплообменник с идеальным перемешиванием
Математическая модель теплообменника
Теплообменник типа смешение–вытеснение
5.3.2. Оптимизация на основе эмпирических моделей
Метод Бокса — Уилсона
Симплексный метод оптимизации для эмпирических моделей
Симплекс-метод с искусственным базисом
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
5
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математические методы в пищевой инженерии» принадлежит к базовой
части блока профессиональных дисциплин. Она является завершающей в цикле, предваряющем специальную подготовку кадров высшей квалификации для пищевой промышленности.
Курс является теоретической основой современного пищевого машиностроения. Особенностью курса является рассмотрение теоретических основ использованных физических процессов вне зависимости от конкретного производства, хотя определенный акцент делается.
Преимуществом курса является то, что будущий специалист получает широкую общетехническую подготовку, знание общих закономерностей протекания физических процессов,
основанное на использовании знаний, полученных ранее при изучении физики, математики,
физической химии, теплотехники, электротехники и других фундаментальных дисциплин.
Это обеспечивает формирование теоретической основы для изучения специальных дисциплин по расчету и конструированию машин и аппаратов пищевых производств.
6
1. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
Технологические процессы — это сочетание различных физических, физико-
химических и химических явлений, которые можно описать дифференциальными уравнениями, очень часто неразрешимыми аналитически. Из-за этого возникает необходимость экспериментального изучения процессов на опытных установках.
Плодотворное изучение процессов опытным путем возможно только при наличии
теории, которая обеспечивает правильную постановку экспериментов и обработку их результатов. Такой теорией является теория подобия, основывающаяся на представлении о подобии
процессов.
Она отвечает на следующие вопросы:
• как нужно организовать эксперимент, чтобы число требующихся опытов было
минимальным;
• как обработать полученные данные, если количество этих данных минимально;
• как результаты экспериментов перенести на процессы, протекающие в услови-
ях, отличных от условий опыта?
Данная теория строится на основе особого анализа дифференциальных уравнений,
описывающих течение исследуемого процесса, при котором не требуется их интегрирование.
Процесс, при составлении дифференциальных уравнений, рассматривается в произвольно выбранном элементе объема dV в течение произвольного времени dτ, т.е. выводится
математическая модель исследуемого процесса, описывающая его в любом элементарном
объеме за элементарный промежуток времени. При этом отвлекаются от частных особенностей процесса, вследствие чего интегрирование этих уравнений дает бесчисленное множество
решений, которые описывают множество однородных процессов, то есть класс явлений, признаком которого является единство механизма протекания процесса.
Чтобы из этого класса выделить единичный процесс, необходимо иметь дополнительные данные, характеризующие этот процесс. Эти дополнительные данные называются
условиями однозначности и к ним относятся:
1) геометрические условия, характеризующие размеры и форму объема, в котором
протекают процессы;
2) физические свойства среды, существенные для рассматриваемого процесса;
3) граничные условия, характеризующие взаимодействие среды с телами, ограничи-
вающими объем, в котором протекает процесс;
4) начальное состояние системы, то есть ее состояние в момент, когда начинается
изучение процесса.
Условие однозначности, заданное в виде конкретных численных значений, в соединении с дифференциальными уравнениями выделяет из всего класса один конкретный процесс.
Как перевести результаты на группу процессов? Теория подобия позволяет распространить данные единичного опыта на определенную группу подобных процессов в пределах
рассматриваемого класса путем особого способа задания условий однозначности: в виде ряда
подобных значений параметров, которые записываются в форме произведения соответствующих параметров на постоянные числовые множители.
Подобие условий однозначности включает:
1) геометрическое подобие;
2) временное подобие;
3) подобие физических величин, характеризующих процесс;
4) подобие граничных условий и начальных условий.
7
i
1
2
3
4
4
=
τ
1
1
Геометрическое подобие
В этом случае отношение всех сходственных размеров, например, двух сравниваемых
аппаратов, является величиной постоянной, то есть
l
l
В этом случае l
и
i
l
1
=
l
1
'
l
— геометрические размеры, характеризующие соответственно
3
2
=
l
2
C=
. (1.1)
l
'''
l
3
первый и второй аппарат, а Cl — константа подобия (коэффициент подобного преобразо-
вания). При переходе к третьему аппарату, подобному первому, константа подобия Cl полу-
чает другое значение.
Временное подобие
Подобие соблюдается, если отношение между соответственными интервалами времени процесса сохраняет постоянное значение:
τ
τ
где
τ и
С
— константа временного преобразования.
τ
э
τ — соответственно интервалы времени в первом и втором процессах;
i
i
τ
1
=
τ
τ
1
3
2
=
эээ
τ
3
2
...
C==
, (1.2)
τ
Рассмотрим временное подобие на примере. В первом аппарате загрузка материала
происходит за интервал времени τ1, нагрев при перемешивании — τ2, охлаждение — τ3, вы-
'
грузка — τ
'
τ
τ
,
, а общее время процесса τ = 2 ч. Соответственно во втором аппарате имеем:
4
'
'
'
τ
,
,
ч. Тогда
τ
2
=C
τ
'
τ
0,5
;
==
отсюда следует, что соотношение между ин
4
тервалами в двух сходственных стадиях сохраняется постоянным
τ
τ
3
=
τ
3
,
причем частным случаем является
τ
4
=
τ
4
0,5
=
'''''
τ
.
Временное подобие называют
ность
(Cτ = 1).
τ
τ
=C
τ
τ
гомохронностью
2
1
1
=
=
τ
2
:
τ
синхрон
Подобие физических величин
Подобие
сов в сходтственные моменты времени является величиной постоянной, то есть
и
'
ρ
ρ
где
Cρ —
константа подобия
выполняется, если отношение значений этих величин для подобных процес
—
соответственно значения физических величин в первом и втором процессах
ρ
=
ρ
ρ
3
=
'''
ρ
3
21
...
C==
, (1.3)
ρ
ρ
ρ
.
;
Если физическая величина изменяется по объему, то для подобных процессов должно
соблюдаться подобие полей физических величин. В этом случае
где
wi и w
аппаратов
'
—
например, скорости жидкости в сходственных точках геометрически подобных
i
.
=C
w
w
i
, (1.4)
'
w
i
,
-
-
-
8
d
τ
dw
m
⋅
Подобие граничных условий
Все
значения величин, характеризующих эти условия, для сходственных точек в
сходственные моменты времени находятся в постоянных соотношениях
.
Подобие начальных условий
Это
означает, что в момент времени, когда начинается изучение процесса (начальный
момент
),
соблюдается подобие всех физических величин, характеризующих процесс. Таким
образом, в двух подобных процессах изменение переменных, обуславливающих процесс, про
текает подобно, то есть изменясь, они отличаются только постоянным множителем преобра
зования
.
Пусть для первого процесса функциональная зависимость в общем виде записывается
0,... =)ρ,τ,F(l,
(1.5)
тогда для второго процесса, подобному первому
или
,
'''
F
l
τ
C
,
,
C
0,... =),ρ,τ,F(l
(1.6)
ρ
(1.7)
0.... =,
C
ρlτ
Следовательно, для соблюдения подобия нужно найти и выдержать условия, при ко
1
торых умножение переменных в уравнениях на постоянные множители
уравнение. Для нахождения указанных условий проанализируем второй закон Ньютона
dw
m=ma=F
, (1.8)
не меняло бы
C
:
-
-
-
где
F —
m
—
масса, кг
w
—
скорость, м/с
τ
—
время, с
сила, Н
;
;
;
.
Так как размерности правой и левой частей уравнения равны, то, если разделить ле
вую часть уравнения на правую, получим в левой части безразмерную величину
dτF
1.=
(1.9)
:
⋅
Применим последнее уравнение для двух подобных процессов. Для первого процесса
''
d
τ
F
а для второго процесса, подобного первому
Поскольку процессы подобны, то переменные последнего уравнения
⋅
⋅
,
F
1,=
(1.10)
''
dwm
''''
τ
⋅
d
1.
=
(1.11)
''''
⋅
dwm
можно выра
зить через переменные предыдущего уравнения путем умножения на соответствующие кон
станты подобия
откуда
Из записанных уравнений
:
''
''
'
,FC=F
⋅
F
τ
F
m
видно, что полученный комплекс из констант подобия
'
''
,
τ
C=
⋅
τ
'
'
'
)
τ
d(CFC
τ
w
1,
=
'
1
)wd(CmC
'
''
,mC=m
⋅
m
'
'
CC
F
d
m
τ
'
'
dw
τ
F
CC
wm
'
,wC=w
⋅
(1.12)
w
=
. (1.13)
должен быть равен единице, так как только при этом условии умножение переменных в урав
-
-
-
-
9
w
m
w
m
⋅⋅⋅
mw
d
τ
dw
m
⋅
w
m
⋅
нении на постоянные множители не меняет этого уравнения. Безразмерное отношение кон
стант подобия называется индикатором подобия:
CC
τ
F
1=
CC
. (1.14)
wm
Из полученного соотношения видно, что мы можем произвольно выбрать три неза
висимые константы подобия, а значения четвертой следует определять из этого соотношения
Если в соотношении
получим другую форму уравнения, выражающего подобие процессов
или
Обозначение
idem
(1.14)
константы подобия заменить отношением переменных, то
F
F
m
m
''
τ
F
⋅
=
''''
τ
⋅
''
τ
''''
w
⋅
''
w
τ
F
''
следует понимать как «одно и то же
:
1,
=
(1.15)
''''
idem....
==
'''
».
Это понятие не равносильно
(1.16)
понятию постоянства полученного безразмерного комплекса для подобных процессов. В каж
дом из подобных процессов комплексы изменяются в пространстве и во времени. Но измене
ния эти происходят так, что для любых сходственных точек объема в сходственные моменты
времени комплексы во всех подобных процессах принимают одно и то же значение
.
Безразмерные комплексы, составленные по типу полученных комплексов, играют
большую роль в теории подобия и получили название чисел (критериев подобия). Так
например, полученный критерий называется числом (критерием) Ньютона, он определяет ме
ханическое подобие
:
F
τ
.
=Ne
(1.17)
-
-
.
-
-
,
-
Анализ основного дифференциального уравнения показывает, что критерий
быть получен из этого уравнения в результате следующих операций
dw
;
m=F
часть
запись дифференциального уравнения
1)
2)
получение безразмерного комплекса делением обеих частей уравнения на правую
d
τ
F
: 1
=
;
:
:
Ne
может
⋅
τ
F
вычеркивание символов дифференцирования
3)
=Ne
:
.
⋅
В теории подобия показано, что аналогичным путем критерии подобия получаются из
дифференциальных уравнений любой степени по следующей схеме
1)
запись дифференциального уравнения, описывающего исследуемый процесс
2)
получение из дифференциального уравнения безразмерного комплекса величин
:
;
делением обеих частей уравнения на правую или левую часть (при наличии в уравнении сла
гаемых производится деление всех слагаемых на одно из них
3)
вычеркивание символов дифференцирования, включая символы порядка производ
);
ных. Символы, показывающие степени переменных, по которым производится дифференци
рование, сохраняются. Символы суммирования аналогичных членов дифференциального
уравнения и индексов вычеркиваются. Если в выражение критерия входит линейный размер
то выбирается тот размер, который наиболее полно характеризует систему
метр трубы
, —
при изучении процесса движения в ней жидкости
).
(
например, диа
Кроме критериев, полученных из подобного преобразования дифференциального
уравнения, применяют критерий, характеризующий условия задачи исследования. Например
-
-
-
,
-
,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]