Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
n
n
n
f
F
3=n
−
−
. (3.143)
∂
l
1l2
3
t
s
=
lП
F
=f , (3.142)
l
П=
— поверхность теплопередачи в 1-ой ячейке;
— суммарная поверхность всего теплообменника.
В общем случае поверхность теплопередачи для ячеек может отличаться.
Составим математическую модель для случая
t
:
tt
w
l
=
Scρ
)t(tKП
s
212
,
lKП
=)tw(t
nScρ
−−
)t(t
s
212
l
l
Уравнение теплового баланса для 1-ой ячейки:
lKП
Scρ
⋅
3
)(
1
2
=)tw(t
− .
)(
1
−
s
)t(t
21
Уравнение теплового баланса для 2-ой ячейки:
Sc
lKÏ
3
⋅ρ
)1(
)2(
2
)(
ttw
=−
2
)2(
)(
tt
−
s
2
.
Уравнение теплового баланса для 3-ей ячейки:
Scρ
lKП
−
)t(t
s
3
⋅
2
)(
2
− .
=)tw(t
22
Диффузионная модель
Основой для составления математической модели является модель идеального вытеснения, осложненная продольным перемешиванием и наличием распределенных источников теплоты. Мощность источников определяется количеством теплоты, подводимой к единице объема в единицу времени.
Из уравнения (3.19) можно получить уравнение переноса теплоты в движущемся потоке:
r
t
∂
τ
div
∇∇
I
V
, (3.144)
+T)(a=Tv+
ρc
где T — температура;
а — коэффициент температуропроводности.
Преобразуем это уравнение для одномерного случая:
t
∂
τ∂
t
∂
w
+
x
∂
=
71
D
2
I
t
∂
L
x
∂
V
+
2
. (3.145)
c
ρ
x
x
τ
∂
∂
ddx
ddx
−
12211
++=
1
2
0=x
1
=
Lx=
d
x
112
2
−
112
2
−
В движущемся потоке переносом теплоты вдоль оси
пренебрегаем и считаем, что перенос вдоль
шивания жидкости.
t
Для стационарного процесса
0=
dt
w
dx
−
D
−
D
L
2
dx
td
2
dt
w
− . (3.147)
dx
D
L
Последнее уравнение — неоднородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решением уравнения является
где
за счет теплопроводности
осуществляется за счет продольного переме-
, тогда
2
I
td
V
D=
L
+
L
2
dx
2
t
+
2
, (3.146)
ρc
I
t
d
w
d
V
=
,
c
x
ρ
2
t
dt
+
w
2
+
=
dx
Sρρc
t)(tKП
−
s
L
Sρρ
=
)exp()exp( txScxSct
t)(tKП
s
,
0
, (3.148)
и равны
Константы
2
n
2D
+D)(D
L
−−−
L
=S
i
c
c
и
оцениваются из следующих условий:
при
при
−−=
ttc
11
s
KП
4D1
LL
Sc
, i = 1,2.
tt
,
d
t
0
=
,
))(exp(
ttlSS
111
s
−
;
)exp()exp(
lSSlSS
))(exp(
ttlSS
111
=
c
2
s
−
.
)exp()exp(
lSSlSS
72
ϕ
х
∂
∂
z
∂
rrr
r
r
r
∂∂∂
zТ∂
∂
q
м
V
S
4. ПРОЦЕССЫ МАССОЭНЕРГОПЕРЕНОСА
4.1. Базовые соотношения
Предположим, что в рассматриваемой области существует неоднородное физическое
поле скалярной величины
(x, y, z)(потенциала переноса), являющейся в общем случае
функцией координат и времени.
Например, концентрация вещества и температура — это скалярные функции коорди-
нат и времени. В любой точке пространства в данный момент времени концентрация C полностью описывается выражением C
τ)z,у,(хх
, а температура — выражением T(
τz,у,х,
).
Так как поле φ неоднородное, то изменение T вдоль координатных осей можно запи-
сать в виде:
Если величины (4.1) умножить на орты
Т
Т
;
;
∂
∂
k,j,i
соответствующих направлений (x, y,
у
Т
;
(4.1)
∂
z), то они будут представлять компоненты вектора градиента температуры:
T
i=
T qrad
x
T
j+
k+
у
∂
. (4.2)
Следовательно, существует скалярное поле температуры T и векторное поле qrad T.
Аналогичные рассуждения можно провести и для концентрации C. Рассмотрим твер-
дое тело, к которому подводится теплота.
В любой момент времени можно рассмотреть множество точек, для которых температура равна, и которые образуют изотермические поверхности. Число таких поверхностей
бесконечно велико.
Если в неподвижную жидкость поместить кристалл растворимого красителя, то молекулы красителя будут диффундировать во всех направлениях и аналогично, как и для температурного поля, можно выделить в жидкости поверхности с одинаковой концентрацией
красителя.
Наличие неоднородности распределения величины φ (потенциала переноса), приводит к отклонению от состояния термодинамического равновесия и является причиной воз-
никновения потоков переноса
единицы измерения которых q для молекулярной диффузии
Вт
сти
.
2
(например, молекулярная диффузия, теплопроводность),
кг
, а для теплопроводно-
2
с)(м
В общем случае на эти потоки накладывается перемещение макроскопического движения среды, которое характеризуется полем скоростей
τ)z,у,(ххv
(конвективный перенос).
В рассматриваемой области могут существовать источники и стоки, характеризующиеся объемной плотностью τ)z,у,(x,I
V
. Например, предположим, что в области имеются еще
кристаллы красителя — это будут источники потенциала переноса, а если будут частицы абсорбента, поглощающие краситель, то это будут стоки потенциала переноса.
Основной идеей всех подходов при выводе общего уравнения массоэнергопереноса
является рассмотрение балансовых соотношений для ограниченных пространственных областей.
Рассмотрим некоторый конечный объем
, ограниченный замкнутой поверхностью
(поверхность должна быть кусочно-гладкой).
73
S
d
n
r
),,,(
τ
ϕ
zyx
k
),,,(
τ
zyx
v
q
k
+ϕ⋅=+
=
v
q
⋅
⋅
V
M
0<M
V
V
V
)
(
r
r
ρ=ρ
r
r
V
V
0
Рассмотрим ее элемент
тельный орт нормали
.
Перенос потенциала
дывается из потока конвективного переноса
среды, характеризующегося
и определим в некоторой точке этого элемента положи-
через поверхность рассматриваемого объема скла-
q
потенциала (макроскопического движения
) и потока переноса, связанного с отклонением си-
стемы от состояния термодинамического равновесия
Таким образом, суммарный поток переноса
где
— вектор скорости движения среды;
— поток величины ϕ.
Поток вектора
Q
через замкнутую поверхность S можно определить как
где
nQ
— скалярное произведение.
Интеграл в (4.4) можно переписать:
(s)
(s)
Величина dSnQ ⋅⋅ положительна, если
n
Q
тельна, если эти два вектора образуют тупой угол.
.
Q
складывается из этих двух потоков:
,Q
qvqq
(4.3)
(4.4)
dS,nQ=M
∫
(S)
cos
x
{
∫∫∫
(s)
⋅⋅
n{ ,x(Q
(4.5)
coscos
⋅⋅⋅⋅⋅
у
z
)dSn{ ,z(Q+)n,y(Q+)=dSQ=dSnQ
и n образуют острый угол, и отрица-
Если величина 0>М , то говорят, что в
имеется источник векторных линий, а
называется обильностью этого источника.
Если
, то говорят, что в V имеется сток или, что то же, источник отрицатель-
ной обильности.
Если 0=М , то либо в
пенсируются; впрочем, и при 0≠М в
нет ни источников, ни стоков, либо же они взаимно ком-
могут быть как источники, так и стоки, которые,
однако, в этом случае компенсируются не полностью.
Рассмотрим движение жидкости через объем
плотность
, где
– радиус-вектор точки(частицы) жидкости, и роль источников для
. Если жидкость сжимаема, то есть
потока скорости могут выполнять места разряжения (уменьшение плотности), а роль стоков
— места уплотнения (увеличение плотности). Действительно, поскольку масса жидкости
остается неизменной и уменьшение плотности означает увеличение объема, занимаемого
жидкостью, то из мест разряжения появится дополнительный поток жидкости, увеличивающий ее скорость.
Для характеристики распределения источников и стоков в данном физическом поле
вводят локальную характеристику их распределения — дивергенцию. Дивергенция вектор-
ного поля
Q
является скалярной функцией точки и образует скалярное поле, построенное по
данному векторному полю.
r
d
SnQ
⋅⋅=
. Например, при гидродинамиче-
Разделим (4.3) на величину
M
:
V
∫
VV
)(
S
r
1
ской интерпретации потока Qэта величина может быть названа средней мощностью истоков
и стоков в объеме
предел этого отношения, когда объем
, приходящейся на единицу объема. Может оказаться, что существует
стягивается по произвольному закону к точке
M
74
S
0
ì
0
0
∂
∇
)
(
r
v
M
M
V
∆
V′∆
′
так, что
точке
и V стремятся к нулю. Тогда этот предел называется дивергенцией поля Q в
M
и обозначается
)div( Q
.
Таким образом, по определению:
lim
V
0
→
MV
→
0
=)Q(
Дивергенция векторного поля
Q
существует в каждой точке, если
{ div
м
0
прерывны вместе с частными производными по координатам
Из теоремы Остроградского-Гаусса следует
1
Если в пределе
V
стягивается к точке
V
S
:
1
d)(
M
SnQ
=⋅
,
∂
Q
x
∂
x
∫∫∫∫
V
V
)()(
тогда интеграл справа имеет предел
∂
Q
y
+
∂
y
1
QV
∫
(S)
.
∂
∂
v
∂
+
v
x
x
∂
y
+
∂
y
Q
z
z
∂
M
. (4.6)
dSn
⋅
QQQ
,,
∂
v
z
V
+
d
∂
z
. (4.7)
zyx
:
.
(4.8)
0
не-
Следовательно, должен существовать и предел левой части, который по определению равен
дивергенции поля
Таким образом
Q
в
,
M
точке
.
Qdiv
в декартовых координатах вычисляется по формуле
div
:
Q
∂
Q
=
x
∂
Q
x
+
y
∂
Q
∂
y
z
+
. (4.9)
z
∂
дения
Дивергенцию можно записать через оператор
Q
на
(см(3.20)):
Пример
.
Дивергенция поля скорости жидкости
Рассмотрим стационарное поле скорости
∇ (
набла) в виде скалярного произве
=⋅∇=
iQQ ⋅
rr
∂
+
j
∂
x
r
∂
∂
y
∂
+
k
z
∂
.div Q
(4.10)
.
жидкости
)( rQ
.
Если поток скорости через эту поверхность положителен и, следовательно
1
V
( )
∫
)(
S
⋅
больше, чем вышло
Если в области
в области происходит расширение жидкости, то есть уменьшение ее плотности
Величина
сти в области
>
SnQ
V в
0d
то это значит, что из области
V
через
S
вытекло жидкости по объему
.
V
нет ни источников, ни стоков, то тогда мы должны заключить, что
.
1
( )
∫
V
S
)(
SnQ
d
⋅
характеризует в среднем это объемное расширение жидко
единицу времени, то есть она представляет собой среднюю скорость объ
емного расширения (или сжатия, если она отрицательна) жидкости в объеме. Следовательно
Qdiv
характеризует скорость изменения объема жидкости в точке
если частица жидкости в точке
имела объем
, то
через единицу времени ее объем бу
.
Это означает, что
-
,
-
,
-
дет
,
причем
:
∆
)div1( QVV +⋅∆=
. (4.11)
75
с
с
∂
V
ϕ
∂
∂
ϕ
∂
(
)
⋅
(
)
=
⋅
∂
τ
∂
ϕ
∂
τ
∂
ϕ
∂
()()(
)
+⋅ϕ=+⋅ϕ
τ
∂
ϕ
∂
τ
∂
ϕ
∂
Анализ размерности:
[ ]
=Q
Интегральная форма условия сохранения для рассматриваемого объема
вид
:
В уравнении
(4.12)
слева записано изменение величины
которое связано с наличием потока
внутри объема. Знак
( )
⋅+
∫
)(dS
(
когда поток втекает, то левая часть должна увеличиваться
SnQ
“–“
перед первым слагаемым правой части поставлен в связи с тем, что
определяет поток, вытекающий из
некоторый фиксированный объем, то
С учетом
(4.13)
уравнение
(4.12)
запишется так
τ∂
V S
Q
через поверхность
:
∫∫∫ ∫∫∫
τ∂
V V
:
V,
так как
=ϕ
)( )(
( )
∫
Интеграл по поверхности
на основе теоремы Остроградского-Гаусса
Соотношение
(4.14) с
учетом
(4.15)
Sd)(
может быть записано в эквивалентной форме
τ∂
SnQ
SV
может быть преобразован в интеграл по объему
:
∫∫∫∫
VS
м
,
[ ]
( )
=dSQ3⋅
+⋅−=⋅ϕ
∫∫∫∫∫∫ ∫
ϕ в
(S) и
).
Поскольку область
)()(
источников и стоков
n-
орт внешней к
VV
dd
τ∂
. (4.13)
+⋅−=
∫∫∫∫∫∫∫
)()()(
V
ddivd
VQSnQ
. (4.15)
м
.
VISnQV
ddd
V
V
)()( )(
объеме
. (4.12)
V во
S
V
ddd
VISnQV
v
. (4.14)
:
V
времени
нормали
занимает
имеет
I
,
{ div
Q+
0
=dVI
V
0div
=−+
IQ
V
. (4.17)
уравнением Умова
IQ +−=
V
, (4.18)
Равенство
(4.16)
будет справедливо для произвольного объема
ное выражение тождественно равно нулю
Уравнение переноса
записывается в форме
(4.17),
которое иногда называют
или, с учетом соотношения
(4.3) и
свойства дивергенции
τ
∂
[ ]
−
∫∫∫
(V)
:
div
Для того чтобы получить из
(4.20)
( )
уравнение, описывающее тот или иной частный
divdiv
процесс переноса, необходимо конкретизировать потенциал переноса
или иной закон, связывающий величину потока переноса
переноса. С использованием оператора
∇
запишем уравнение
q с
(4.20) в
распределением потенциала
. (4.16)
V,
если подынтеграль
,
обычно
qvqv divdivdiv
, (4.19)
Iqv +−=⋅ϕ+
v
. (4.20)
ϕ и
использовать тот
следующем виде
:
-
( )
Iqv +⋅−∇=⋅ϕ⋅∇+
V
. (4.21)
76
max
0
τ<τ≤τ
+∞<τ≤τ
0
0
τ
()(
)
(
)
(
)
0
0
==τ
(
)
∈
()(
)
τ=τ
ϕ
()(
)
τ=τ
1
S
ϕ
∂
S
Sr∈
∂
S
(
)
S
ϕ
∂
Начальные и граничные условия к уравнениям переноса
При решении конкретных задач с использованием общего уравнения массоэнергопе
реноса чаще всего рассматривается замкнутая (иногда полуограниченная) область, окружен
ная некоторой поверхностью
промежутка времени
S.
Решение нестационарных уравнений переноса ищется для
либо для
.
Для того, чтобы сделать рассматрива
емую задачу полностью определенной, необходимо к замкнутой системе уравнений переноса
добавить начальные и граничные условия
.
В качестве начальных условий обычно используется задание потенциалов переноса
во всей рассматриваемой области
V в
начальный момент времени
:
ϕ=τϕ
τ=τ
0
0
zyxzyx ,,,,,
. (4.22)
Чаще всего встречаются задания начальных условий в предположении об однородно
сти распределения потенциала переноса по рассматриваемой области в начальный момент
времени
постоянная
:
Например
:
const.,,,
zyx
:
Температура твердого тела по всему объему в начальный момент времени
τ=τ
0
TzyxT
=ϕ=τϕ
0
(4.23)
.const,,,
(4.24)
Граничные условия отображают условия взаимодействия между окружающей средой
и рассматриваемой областью по поверхности границы, их разделяющей; при этом все рас
Szyx
сматриваемые точки принадлежат этой поверхности
,,,
.
Граничные условия первого рода задают распределение потенциала переноса по по
-
-
-
-
-
-
верхности
S,
как функции координат и времени
:
,,,,,,
1
S
zyxfzyx
. (4.25)
Например, при интенсивном теплообмене между средой и твердым телом, плохо про
водящим теплоту, можно принять, что температура поверхности близка к температуре среды
в которой оно находится, то есть известен закон, по которому изменяется эта температура
,,,,,,
zyxfzyxT
. (4.26)
:
Граничное условие второго рода является заданием величины плотности потока пе
реноса через граничную поверхность как функции координат и времени
( )
где радиус вектор
⋅−=
aq
.
S
ϕϕ
∂
n
:
τ=
,,,2zyxf
, (4.27)
При рассмотрении переноса теплоты граничное условие записывается в виде уравне
ния теплопроводности
где
λ —
коэффициент
:
q
.
T
λ−= ,,, zyxf
n
∂
( )
τ=
, (4.28)
Граничное условие третьего рода состоит в задании линейной комбинации потенциа
ла переноса и его производной по нормали на границе рассматриваемой области
a ϕ−ϕ=
−
ϕ
∂
b
n
lS
. (4.29)
:
Так, например, граничное условие третьего рода, отражающее конвективный тепло
обмен на границе рассматриваемой области, формулируется в виде равенства потоков тепло
ты от среды к границе рассматриваемой области и потоков теплоты, отводимых от границы
вглубь области (или наоборот
):
,
-
-
-
-
-
77
(
)
S
∂
S
l
α
()(
)
τϕ=τϕ
2
1
S
S
ϕ
∂
ϕ
∂
(
)
ϕ∇=
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
r
r
r
−
r
∇
(
)
=
ϕ
∇⋅−
,
T
q
∇⋅λ−=
r
T
где
–
температура среды
T
–
температура поверхности границы области
—
коэффициент теплоотдачи
,
.
T
λ−
∂
n
,
−α=
TT
lS
, (4.30)
Граничные условия четвертого рода возникают при рассмотрении процессов перено
са в соприкасающихся областях, для которых свойства и скорости переноса различны
,,,,,,
zyxzyx
2
a
2
n
∂
1
a
1
=
∂
n
Таким образом, эти условия представляют условия гладкого
пределений потенциалов переноса для границы соприкосновения областей
, (4.31)
. (4.32)
«
сшивания» двух рас
.
:
Для условий переноса теплоты при соприкосновении двух твердых тел с различными
теплопроводностями имеем
:
TT21=
SS
,
T
∂
1
λ−
1
n
∂
T
∂
2
λ−=
2
,
n
∂
SS
то есть на границе имеет место равенство температур двух тел и равенство тепловых потоков
При описании многих макроскопических процессов переносов для определения пото
-
-
.
-
ка
q(
например, тепла или диффузионного переноса масс) используются градиентные законы
переноса (ГЗП
Общая форма ГЗП имеет вид:
где
переноса
ϕ.
Однако на практике чаще всего используют
са
:
Знак
“–“
Функция
a(ϕ)
).
fq
i
=ϕ=ϕ∇
qrad
j
+
x
∂
k
+
y
∂
, то
z
∂
есть поток является функцией градиента потенциала
ϕ
линейные градиентные
, (4.33)
),a(=q
0
>)a(
. (4.34)
}
q
показывает, что направления векторов потока
ϕ
и
называется коэффициентом переноса. В простейшем случае
,a=q
0const
>=a
. (4.35)
}
законы перено
ϕ
–
противоположны
a
const
;
тогда
-
.
:
Подавляющее большинство законов переноса, используемых в математическом мо
делировании, являются частными случаями соотношения
Например
Закон Фурье
:
где
λ —
коэффициент
;
78
(4.35).
-
(4.36)
).
(
t
λ
m
∇⋅−
=
r
k
),(
τρ=
ϕ
r
=
V
τ
∂
ρ
∂
τ
∂
ρ
∂
τ
∂
ρ
∂
0
=ρ∇
0
≠
ρ
,0
div=v
Т∇
—
градиент температуры
.
В общем случае
где
где
р
—
С∇
—
р∇
Закон Фика
D —
коэффициент молекулярной диффузии
—
градиент концентрации
Закон Дарси
W
–
вектор скорости жидкости
ф
коэффициент фильтрации
давление
—
градиент давления
,
.
;
,
.
Замечание к ГПЗ
,
CDq
(4.37)
,
p,k=W
∇−
ф
(4.38)
Использование линейных ГПЗ при описании процессов переноса тепла и массы при
водит к парадоксу о бесконечной скорости распространения возмущений концентрационных
и температурных полей
.
4.2. Уравнение конвективного переноса массы
Простейший случай конвективного переноса массы предполагает единственный ме
ханизм переноса
Потенциалом переноса в этом случае является плотность среды, то есть
—
перенос потоком движущегося вещества
.
-
-
Предполагается:
1.
Источники и стоки отсутствуют
Нет необратимого переноса
2.
.
При этих предположениях уравнение переноса
В гидродинамике уравнение
пишем его в эквивалентной форме
:
(4.40)
носит название
Продифференцируем в уравнении
лученные слагаемые
:
ρ∂
+
τ∂
(4.41)
ρ∂
v
v
+
x
∂
Уравнение в компактной форме можно записать так
. (4.39)
I
(4.17)
∂
∂
)0(
принимает вид
v
уравнения неразрывности
∂
ρ
+
τ
)(ρρ
∂
х
+
х
∂
у
∂
:
0)(div
=ρ+
. (4.40)
)(ρρ
у
+
)(ρρ
∂
z
0
=
∂
z
. (4.41)
три последних слагаемых и сгруппируем по
v
ρ∂
y
∂
ρ∂
v
+
zyx
z
∂
∂
ρ+
∂
v
x
x
∂
y
+
y
∂
v
∂
z
+
∂
0=
z
. (4.42)
:
0 div
=⋅ρ+ρ∇⋅+
vv
. (4.43)
. За-
-
,0
Для несжимаемой среды плотность постоянна и
то из
(4.43) в
этом случае следует
:
или
79
=
.
Поскольку
(4.44)
τ
ρ
i
τ
υ
i
r
i
=
ii1
v
r
i
=
1
Viii
r
ρ=ϕ
τ
∂
ρ
∂
м=г
м
TTq
qrad
⋅λ−=∇⋅λ−=
∂
∂
∂
r
r
,
λ
∂
v
∂
v
х
+
∂
х
∂
v
у
z
0
=
+
∂
∂
у
. (4.45)
z
При исследовании процессов физико-химических превращений представляет интерес
анализ движения среды, являющийся взаимодействующей смесью нескольких компонентов
),,(
Такая среда характеризуется набором полей плотностей
),,(
стей движения
I
= 1, 2, 3…n.
Введем следующие соотношения
–
общая плотность движущейся смеси
,
r
i = 1,2,3…n, и
интенсивностями химических превращений
:
—
скорость движения центра масс смеси
Подставим
Iv
,,
в
общее уравнение переноса
:
=
(3.19) и
i
r
r
n
ρ=ρ
∑
n
1
∑
ρ
.)(div
Iv =ρ+
Viii
i = 1,2,3…n,
полей скоро
; (4.46)
rr
vv
⋅ρ
i
i
. (4.47)
получим искомое уравнение
:
.
-
4.3. Уравнение переноса теплоты
В этом случае необходимо использовать потенциал переноса в виде
где
С
Т
φ
р
—
—
ρ —
—
плотность, кг
удельная теплоемкость, Дж/(кг·К
температура, К
;
это изменение количества теплоты в единице объема среды
3
/
м
;
);
[ ]
г
=
ϕ
В качестве соотношения, определяющего необратимый перенос, используется гради
ентный закон Фурье
:
T
+
i
∂
y
где
T
=∇
T
∂
x
Предположим, что рассматриваемое тело изотропно, т.е. теплопроводность
висит от направления (но может меняться во времени
).
:
ТСρ=
ϕ
ДжДж
33
⋅⋅
, (4.49)
р
;
.
-
, (4.50)
T
⋅
+
j
.
∂
z
λ не за-
Как известно, теплопроводность
Вт/(м·К)
является физическим параметром, ха
рактеризующим интенсивность переноса теплоты в веществе
В отличие от изотропных тел, у анизотропных тел теплопроводность в различных
направлениях существенно может отличаться. Так, например
по сравнению с
λ
вдоль волокон может отличаться в
вв
0,1740,140
пв
÷=λ
(
Данные для сосны
Вт/мК,
3-4
вв
раза
=λ
80
.
,
λ
пв
:
0,384
)
древесины поперек волокон
Вт/(м·К).
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]