Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
3
=
δ
5,17
=
λ
=
α
п
=
α
1
λF
λ
ρ
n
d
µ
λ
c
Анализ коэффициента теплопередачи K с точки зрения лимитирующей стадии
процесса
мм;
10000
1000
Вт/(м
Вт/(м
2
2
·К);
·К).
Вт/(м·К);
Допущения:
а) аппарат подготовлен очень хорошо, со стороны продукта загрязнений нет;
б) загрязнения со стороны греющего пара тоже отсутствуют.
Термические сопротивление теплоотдачи:
1
0,001
=R К/Вт;
1
=
Fα
1
1
0,0001
=R К/Вт;
2
=
Fα
2
δ
=R
3
0,00017
=
К/Вт
α=K
.
1
Влияние перемешивания
Теория подобия.
мм
0,330,67
,c=
PrReNu
⋅⋅
при этом
Nu ; (2.27)
2
ρnd
Re
=
м
, (2.28)
µ
где
— плотность среды;
— частота вращения, об/с;
— диаметр мешалки;
— коэффициент динамической вязкости, Па·с.
cµ
=
Pr , (2.29)
— удельная теплоемкость перемешиваемой жидкости.
Нужно выбрать тип мешалки, частоту вращения и знать теплофизические характери-
стики продукта.
Таким образом, математическая модель разрабатывается при следующих упрощаю-
щих допущениях:
1) модель аппарата с рубашкой описывается с помощью модели с сосредоточен-
ными параметрами;
2) коэффициент теплопередачи
3)
теплофизические характеристики А и В не зависят от температуры;
4) температура в паровой рубашке const=T
const
=α=K
1
п
;
по высоте аппарата.
Важнейшие законы, на которых базируются математические модели, — это законы
сохранения, выражением для которых являются балансовые уравнения.
Обобщенное уравнение материального баланса для нашего случая (рис. 2.13):
αd
=
м
31
V
A
B
τ
d
Σ
d
τ
d
τ
A
d
τ
B
A
B
d
τ
x
V
AVB
Σ
d
Рис. 2.13.
где
V
— объем смеси в аппарате;
V
V
,
нента А и объемный расход компонента
В в единицу времени;
d V
— изменение расхода;
V
V
— объемный расход смеси в едини-
цу времени.
Схема для за-
писи материального ба-
ланса
dV
VV+V=
−
BA
Уравнение материального баланса для компонента А:
x
— объемная концентрация компонента А в емкости.
d
Σ
AA
Уравнение материального баланса для компонента В:
d
Σ
BB
— объемный расход компо-
(2.30)
Σ
xVV=)x(V
⋅−⋅
, (2.31)
A
xVV=)x(V
⋅−⋅
, (2.32)
B
x
где
— объемная концентрация компонента В в емкости.
приход
приход
теплота от греющего пара в единицу времени
Считаем, что теплота, выделяемая в процессе перемешивания, невелика, и мы ею
пренебрегаем.
Расход тепла
Потери в окружающую среду
c
компонента А
c
компонента В
d
( )
Тепловые балансы:
TcρV=Q
⋅⋅⋅
; (2.33)
AAAAA
TcρV=Q
⋅⋅⋅
; (2.34)
BBBBB
)T(TFK=Q
−⋅⋅
Σпп
TcρV=Q
⋅⋅⋅
. (2.36)
ΣΣΣΣΣ
Q
:
пт
ΣΣΣ
BA
. (2.35)
QQQ+Q+Q=TcVρ
−−
. (2.37)
пт
Σп
изменение теплосодержания системы в емкости
Теплоемкость смеси
— массовая доля компонента в смеси.
)x(c+xc=xc+xc=c
−⋅⋅⋅ 1
, (2.38)
Σ
ABAABBAA
32
4
4
πd
d
4
0
=
τ
Σ
B
A
B
A
d
τ
τ
d
d
4
d
τ
ABA
A
−+⋅
=
Σ
d
τ
A
A
A
B
B
B
Σ
Σ
Σ
ï
Σ
A
B
Σ
F
V
V V
В уравнение (2.35) входит коэффициент теплопередачи, он постоянен, а площадь по-
верхности
2
2
H
Либо мешалка работает медленно, либо в емкость ставят отражательные перегородки. Температура в паровой рубашке зависит от давления:
Составим блочную схему модели емкости идеального смешения с паровой рубашкой
(рис. 2.13).
Чтобы решить эту систему, нужно знать начальные и граничные условия. Начальные
условия — состояние системы в момент времени
парате, концентрацию компонентов А и В в начальный момент и температуру смеси.
Граничные условия — это то, что определяет, как меняются входные параметры на
входе в систему. Мы должны знать
рубашке, т.е. температуру греющего пара.
После этого выбирается метод решения.
πd
=V
4V
=H ;
VVV ,,
;
2
πd
=F
)f(P=T
.
пп
, температуру
πd
=F+F=F
бокдн
2
4V
+
. (2.40)
. Мы должны знать объем смеси в ап-
Hπd+
⋅
; (2.39)
, TT
, давление в паровой
V
x
xVVxV ⋅−=⋅
AAA
Σ
2
−+=
VVV
BA
Σ
xVVxV ⋅−=⋅
BBB
Σ
π
=
F
x
+
c
d
( )
ρ
P
п
)(
PfT
=
4
пп
T
Vd
)(
−=
BA
xcxcc
−−++=
ΣΣΣΣ
TTKFQ
пп
)1(
QQQQQTcV
птп
Σ
T
Q
п
V
V
V
xH
V
V
d
)(
xH
)(
V
V
d
d
)(
)(
Рис. 2.13. Блочная схема емкости идеального смешения
33
(
)
=
2
1
=
(
)
2
1
xyu
x
y
2.4. Эмпирические модели и их математическое описание
Математическое описание эмпирической модели процесса — система уравнений,
связывающих функции отклика с влиянием управляющих параметров.
Bxfy ,
Рис. 2.14.
Используя математические методы оптимизации планирования эксперимента можно
получить математическую модель процесса даже при отсутствии сведений о механизме происходящих в системе процессов.
Ценность эмпирической модели заключается в следующем:
•
дается информация о влиянии основных факторов на функцию отклика;
•
позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном
режиме ведения процесса;
•
модели служат основой для процедур оптимизации работы системы.
Геометрический образ соответствия функции отклика
верхностью отклика.
вается факторным пространством. Для удобства рассматриваемая поверхность отклика
может быть представлена на факторной плоскости
функции отклика (рис. 2.15).
Координаты пространства, по осям которых отложены факторы, назы-
Схема формирования функции отклика
, xx
),(
xxfy
называется по-
линиями построенных значений
y
поверхность отклика
x
y
1
y
A
x
x
2A
1A
x
2
A
1
Рис. 2.15. Графическое изображение
возможной поверхности отклика
В основе получения этих моделей лежит эксперимент. Проводя эксперимент, мы
должны ответить на два вопроса.
Первый — проверка воспроизводимости опытов
Прежде чем приступить к созданию математической модели, необходимо убедиться
в том, что опыты воспроизводимы. Для этой цели проводят несколько серий параллельных
опытов в рассматриваемой области изменения влияющих факторов (рис. 2.16, табл. 2.2).
34
11
21
31
1
1
21
22
32
2
2
31
23
33
3
3
j
K
K
K
K
K
n
1
n
2
n
3
n
n
n
n
jK1
=
kiK1=
k
2
1
y
x
1
2y3
(max)
1
4
2y3
5
№
1
2
3
y
y
Рис. 2.16. Варианты графической интерпретации функций отклика
Результаты параллельных опытов
1 2 3
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
x
Таблица 2.2
y
j
y
y
y
y
y
y
2
S
j
2
S
2
S
2
S
y
y
y
y
2
S
1. По результатам каждой серии параллельных опытов вычисляется
n
— число параллельных опытов при одинаковых условиях.
2. Для каждой серии параллельных опытов вычисляют оценку дисперсии
3. Из полученных значений
4. Рассчитывают критерий Кохрена
C
p
рассчитанное значение
5. По таблицам находят табличное значение критерия Кохрена
6. Сравнивают расчетное и табличное значения. Если
воспроизводимыми, а оценки дисперсии однородными.
соответствует условиям опыта.
S
1
=y
2
j
выбирают максимальное значение
y
,
∑
=j
2
1
=S
jij
1
−
k
( )
1
maxjS
C
=
p
k
;
n
( )
∑
1
j=
2
. (2.43)
S
max
n
2
S
∑
j
j
=
1
2
−
yy
. (2.42)
jjij
2
j
; (2.44)
C .
CC
≤
, то опыты считаются
т
p
, (2.41)
2
S
j
т
35
(
)
k
n
00201
02
01
L
Если
C>C , то опыты не воспроизводимы и, следовательно, что-то надо изменить
т
p
и устранить нестабильность.
Второй — вычисление погрешности экспериментальных данных
Проверим оценку однородности дисперсии несколькими сериями параллельных
опытов путем их усреднения:
N
1−
kN=f
— степень свободы.
1
=S
N
22
S
, (2.45)
∑
jy
j=
1
Оценку дисперсии среднего значения рассчитываем как
2
S
y
2
=
S
y
. (2.46)
Для того, чтобы в известной мере скомпенсировать влияние системы погрешности,
используют прием
рандомизации.
Ошибки бывают:
– случайные;
– систематические.
Рандомизация помогает превратить систематическую погрешность в случайную.
Таким образом, рандомизация заключается в том, что опыты проводятся в случай-
ной последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел.
Полный факторный эксперимент
Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить мате-
матическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного
пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами
рые называются
центром плана либо основным нулевым уровнем.
, K
xxx
, кото-
Необходимо получить некоторое представление о функции отклика, которая количе-
ственно характеризует протекание процесса в зависимости от влияющих факторов (рис.
x
max
1
min
1
x
в
1
x
01
x
1
1
М
н
x
∆
x
∆
2
2
x
x
x
min
x
2
Рис. 2.17
, xx
— центр плана. Чаще всего эти точки определяют некоторую точку факторного
x
2
. Схема факторного эксперимента
x
н
02
x
max
x
в
2
2
2
пространства, которая в ходе предварительного эксперимента была оценена как наилучшая
(по максимуму или минимуму) переменной состояния.
Чаще всего в работе диапазон изменения факторов, в которых факторы не изменяют
своих физических свойств и не искажают сути исследуемого процесса, задается
ласть определения фактора.
— об-
36
i
∆
L
1
2
M
i
L
M
1x2
%
40
%
20
%
30
⇒
Интервал варьирования — это такое значение фактора в физических величинах,
прибавление которых к нулевому уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фак-
x
тора
:
;∆xx=x
н
−
1011
Уровень фактора
в
x,x — это определенное значение фактора, при котором будут
iвi
н
∆x+x=x . (2.47)
2022
проводиться измерения при проведении эксперимента по умолчанию модели процесса.
Очевидно, что интервал варьирования факторов должен составлять часть области
определения факторов, если решается задача оптимизации. Это необходимо, чтобы осуществить движение к оптимизации в области определения факторов. Если решается задача ап-
проксимации, то интервал варьирования охватывает всю область
.
Пример
При проведении технологического процесса выход продукта зависит от концентра-
ции компонента
2min
x
,% и температуры
2040%,
=x=x ;
1min1max
0
2max
0
C=xC,=x
.8040
0
x
,
С. В ходе исследования было получено:
Найти сочетание факторов, при которых установка будет давать максимум продукции.
40
0
600 800
x
Рис. 2.18. Графическая интерпретация зоны оптимума
В ходе предварительного эксперимента было получено, что функция отклика имеет
максимум
Область
0201
:
0
C=x=x
6030%, — центр плана (рис. 2.18).
5
=∆x
35530
1
в
1011
=+=∆x+x=x
0
C=∆x
5 25530
2
н
==∆xx=x
1011
−−
0
C=+=∆x+x=x
в
2022
65560
н
2022
−−
.
0
C==∆xx=x
55560
Перенесем начало координат факторного пространства в центр плана. С этой целью
введем новую переменную
X
— кодированную переменную (рис. 2.19)
37
−
−
y
…
y
β
b
…
−
2н1
н
+1
2в1
в
1
в
01
1
н
1
1
∆
02
2
в
2x1
∆
1
∆
2
2
2
1
xx
0i
i
=X
i
∆x
;
i
;Xx=x
x
x
i
1
x
x
x
2
x
-1
x
1
x
x
4
x
+1
-1
3
x∆
∆
x
x
⇒
в
∆x
н
XX
∆x
11
xx
011
1
xx
1
;
+1=
011
;=
1
−
;=XX
1
−→
=
в
=X
в
=X
1
н
→
Рис. 2.19.
Схема определения кодированных значений
факторов варьирования
Так как чаще всего исследования проводятся при неполном знании механизма изучаемых явлений, то, естественно, и вид функции отклика
ограничиваются поиском функции в виде отрезка ряда Тейлора:
22110
2
111
( ) ( )
222
−−
…
112112
nnnn
При этом обычно ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведение факторов в первой степени. Таким образом, удается находить уравне-
ние
, если поверхность отклика y имеет не слишком большую кривизну.
Пользуясь результатами эксперимента, можно оценить лишь выборочные коэффициенты уравнения, которые являются лишь оценками для теоретических коэффициентов. Что-
бы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении (2.48), вместо символов
истинные значения коэффициентов, пишут
, подразумевая под этим соответственно выбо-
рочные оценки этих коэффициентов.
Итак, с помощью полного факторного эксперимента ищут математическое описание
процесса в виде уравнения регрессии, а входящие в него коэффициенты — коэффициенты
регрессии
22110
( ) ( )
−−
XXb+XXb+
112112
Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного
факторного эксперимента варьируются на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1, то есть в узловых точках. Таким образом, полным факторным
экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные не повторяющиеся
комбинации уровней варьирования факторов.
неизвестен. При решении задач
+Xβ++Xβ+Xβ+β=y
nn
+XXβ+XXβ+
22
Xβ++Xβ+Xβ+
nnm
(2.48)
, обозначающих
+Xb++Xb+Xb+b=y
nn
(2.49)
nnnnn
38
1
2
y
1
2
3
4
N2=
ml≠
N
j
mli
,
,
ml≠
Матрица планирования эксперимента
Принцип построения матрицы планирования для ПФЭ:
1) уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;
2) частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора в два раза
меньше, чем у предыдущего.
№
x
1 –1 –1
x
y
2 +1 –1
y
3 –1 +1
y
4 +1 +1
Общее число опытов
— число опытов;
— номер опыта;
— номера факторов.
Свойства, выраженные выше, называются ортогональностью, и это свойство позво-
ляет вычислять коэффициенты для уравнения регрессии по простым формулам независимо
друг от друга.
На основании результатов ПФЭ вычисляются коэффициенты регрессии:
y
n
,
N
∑
j=
1
=b
N
N
0
=x
∑
Nj=
N
∑
1
j=
=xx
0
imjl
1
=b
0
N
1
=b
N
N
1
∑
1
j=
, (2.50)
ji
2
N=x
, (2.51)
ji
N
y
∑
j=
1
N
∑
j=
1
yxx
jmjl
jlm
, (2.53)
j
yx
jiji
,
, (2.52)
, (2.54)
. (2.55)
39
(
)
N
k
N
k
t
(
)
N
B
0
j
Анализ полученного уравнения регрессии
1. Проверка значимости коэффициентов регрессии. В результате расчетов может
оказаться, что некоторые регрессионные коэффициенты могут оказаться пренебрежимо малыми. Значимость коэффициентов регрессии проверяются следующим образом:
1.1. Для серии параллельных опытов оценки однородных дисперсий можно усред-
нить и найти величину, называемую оценкой дисперсии воспроизводимости
N
1
=S
N
22
S
, (2.56)
∑
jy
1
j=
где
1−
kN=f
;
— число опытов;
— число параллельных замеров.
Значимость коэффициентов регрессии оценивают по оценке дисперсии коэффициен-
тов
2
S
2
b
y
=S
. (2.57)
⋅
Учитывая, что при полном факторном эксперименте все коэффициенты получаются
с одинаковой погрешностью, то принято
считать, что коэффициент регрессии значим, если
выполнено условие
| |
2
tSb
⋅≥
, (2.58)
b
— критерий Стьюдента.
Если выполняется соотношение, то все коэффициенты значимы, в противном случае
их можно исключить из уравнения регрессии.
Проверка адекватности полученного уравнения регрессии
Необходимо проверить, насколько хорошо полученное уравнение описывает по-
верхность отклика. Это делается с помощью критерия Фишера, который представляет собой
22
S,S
ад
y
, (2.59)
22
S,S
ад
y
max
=F
p
min
( )
22
S,S
— оценка дисперсии адекватности и, соответственно, ошибка в дисперсии среднего
ад y
значения.
N
2
ад
1
=S
−
BN
( )
∑
1
=j
э
j
2
p
−
yy
, (2.60)
j
— число опытов полного факторного эксперимента;
— число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая и
pjэ
y,y
— это, соответственно, экспериментальное и расчетное значения функции отклика в
j
b
;
опыте.
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие
FF
≤
.
тp
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]