Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
τ
∂
t
∂
∂
0
div=v
r
∂
0=v
r
∂
∂
∂
∂
0≠a
2
х
где
Общее уравнение переноса теплоты имеет вид
( ) ( )
∂
I
—
плотность источников (стоков) внутренней энергии
р
(см.
или
Пусть
Если
ρ= const, Cp= const,
T
∂
τ∂
T
∂
v
+
+
x
∂
v = const, то
v
тогда
T
τ∂
T
∂
y
∂
div
T
τ∂
v
+
zyx
,
отсюда
r
( ) ( )
vT
T
∂
T
+
z
∂
1
=⋅+
⋅ρ
C
r
( ) ( )
divdiv
∂
v
∂
x
+
x
∂
:
T
r
div
τ∂
Уравнение теплопроводности в твердом теле при
T
Если а
= const, то
τ∂
T
где
Окончательно имеем
:
2
∂
2
=∇
∂
2
∂
+
2
∂
2
∂
+
2
2
—
zyx ∂
оператор Лапласа
Простейшее уравнение для описания
T
∂
τ∂
∂
τ∂
T
⋅=
div
a
∂
i
x
∂
2
T
∂
⋅=
2
x
∂
a
T
τ∂
Т
τ
∂
.
стационарного
+
+
теле при отсутствии источников и стоков теплоты энергии
= 0,0
T
=
τ∂
I
T
уравнение
r
divdiv
(3.19)):
( )
∇⋅
I+Tλ=vTρC+ТρС
, (4.51)
tp
.
I
div
v
y
y
∂
( )
+
T
+∇⋅=⋅+
TavT
v
∂
z
z
∂
+∇⋅=∇⋅+
TaTv
:
I
+∇⋅=
)div(
Ta
⋅ρ
qradTa
T
∂
y
∂
2
T
∂
2
y
∂
2
∇⋅
+⋅=
rr
T
∂
j
+
+Tа=
k
+
z
∂
2
T
∂
2
z
∂
I
T
Cρ
⋅
p
температурного поля в твердом
t
+∇⋅λ⋅
I
⋅ρ
T
C
p
I
T
C
⋅ρ
r
+
+
, (4.52)
C
⋅ρ
pp
t
, (4.53)
C
p
+∇=
Ta
( )
I
t
. (4.55)
C
⋅ρ
p
. (4.56)
,)(div
(4.57)
p
I
T
, (4.58)
C
⋅ρ
p
I
T
. (4.59)
C
⋅ρ
p
, (4.60)
:
2
,0
=∇⋅ Ta
(4.61)
I
t
C
⋅ρ
.div
(4.54)
p
а так как
Температуры на противоположных наружных стенках равны
осуществляется только в направлении
, то
Рассмотрим плоскую стенку толщиной
х:
0,
2
=T∇
δ из
0
(
уравнение Лапласа
). (4.62)
однородного материала
T
Т
и
1
2
Т
∂
=
. В
этом случае перенос
(4.63)
(a=const).
∂
следовательно
,
81
d
x
dx
2
1CÒw
=
+δ⋅
=
δ
−
δ
−
2
d
T
,0
=
2
dT
C=
;
1
С+хС=Т ⋅
—
решение уравнения
21
(4.63)
Постоянные интегрирования
В результате получаем
:
С
и
1
х
= δ:
С
находим из уравнений на границе
2
х
= 0:
=
c
1
T +
=
;
TCT
1 ww
TT
ww
12
,
12
.
TT
ww
12
TX
. (4.64)
w
1
(х = 0; х = δ).
82
5. ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ И АППАРАТОВ
5.1. Математическое программирование
и задачи оптимизации
Задача математического программирования формулируется следующим образом
найти значения переменных
х
∗
,
х
, …,
1
2
∗
х
,
при которых функция
n
z(
x
,
x
,…,
x
)
1
2
принимает
n
∗
максимальное (или минимальное) значение и, кроме того, на переменные наложены ограни
чения в виде ряда равенств и неравенств
Будем кратко записывать задачу в следующей форме
g
Функция
z
называется
целевой функцией
.
:
z
(
x
,
x
,…,
x
1
2
(
x
,
g
i
1
(
x
,
x
i
,…,
1
2
) → max (min), (5.1)
n
x
,…,
x
2
) ≤ 0, i = 1÷k, (5.2)
n
x
) = 0, i = (k+1)÷m. (5.3)
n
. В
конкретных задачах могут отсутство
вать ограничения-равенства, либо ограничения-неравенства. Может случиться, что на пере
менные вообще не накладываются никакие ограничения
Набор чисел
Х = (х
,
x
,…,
x
)Т,
1
2
удовлетворяющий ограничениям
n
ется допустимым решением задачи (или допустимым планом
разуют область допустимых решений задачи (ОДР
левая функция достигает своего максимума
нием
(
если оно существует
).
(
минимума
.
(5.2), (5.3),
).
Все допустимые решения об
).
Допустимое решение, при котором це
),
называется
оптимальным реше-
называ
В виде моделей математического программирования могут быть представлены и ре
шены
задачи оптимизации
• планирование
• оптимальное
• инженерный
• определение
из
следующих областей
и
организация производства
управление динамическими системами и процессами
анализ и обработка больших потоков информации
оптимальных маршрутов транспорта
:
;
.
;
;
Этот список может быть значительно расширен. Приведём несколько примеров за
дач математического программирования
Задача 5.
1.
Кондитерская фабрика выпускает разные сорта конфет. Их производство
ограничено наличием необходимых ресурсов, какао-бобов (КБ
могательного сырья (ВС
).
.
),
сухого молока (СМ) и вспо
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции, запасы ресурсов и прибыль от реали
зации единицы продукции приведены в таблице
Пусть
х
,
х
—
1
количество конфет «ромашки» и «буревестника
2
5.1.
»,
планируемое к вы
пуску. Тогда суммарная прибыль от реализации всей плановой продукции (целевая функция
составит
вышать имеющегося запаса
тываются ограничения по СМ и вспомогательному сырью
как объёмы выпускаемых изделий не могут быть отрицательны, то
z = 4
x
+ 7
x
→
max.
1
2
При этом общий расход КБ равен
27.
Это приводит к ограничению
: 2
3
x
1
3
x
x
+ 2
1
+ 4
1
+ 2
x
2
x
1
x
≤
x
, и он не
2
≤
27.
2
28, 2
≥
0,
x
2
должен пре
Аналогично учи
x
+ 3
x
≤
23.
Так
≥
1
0.
2
:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
)
-
-
83
≤
+
i
=
1
Требуется сопоставить производ
ственный план выпуска продукции
с учётом имеющихся ресурсов, ко
торый обеспечивал бы наибольшую
прибыль
.
■ Приведенные выше условия яв
ляются экономической постановкой
задачи. Составим теперь математи
ческую модель (постановку) задачи
Таким образом, математическая модель задачи имеет вид
z
-
-
-
.
Виды
ресурсов
КБ
СМ
ВС
Прибыль
= 4
Виды
продукции
Таблица
Запасы
ресурсов
Ромашка Буревестник
3
2
2
2
4
3
4 7
:
x
+ 7
x
→
1
≥
0, i = 1 ÷ 2. (5.6)
x
i
max, (5.4)
2
xx
21
xx
xx
,2723
,2842
≤+
21
21
,2332
≤+
27
28
23
5.1.
(5.5)
Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти неотрицательные значения
1÷2,
удовлетворяющие ограничениям
значение
m
складах
аi — запас
возки единицы товара из
.
Задача 5.
Аi (i =
товара на
2 .
Пусть некоторый однородный товар (творог, сметана и др
1÷m) и
требуется в
i-м
складе
i-го
(5.5),
n
пунктах
;
bj — потребность
склада в
j-й
пункт. Предполагается, что стоимость перевозки
для которых функция
В
(
j =
1÷n).
j
в
товаре в
Известны следующие параметры
j-м
пункте
z
принимает наибольшее
.)
;
с
—
стоимость пере
ij
хj, j =
хранится на
произвольного количества товара пропорциональна этому количеству. Требуется составить
план перевозок товара так, чтобы удовлетворить потребности при имеющихся запасах, обес
печив при этом наименьшую суммарную стоимость перевозок
через
х
вара из
тельно
■ Приведённые выше условия
количество товара, перевозимого из
ij
А
в
В
i
,
составит
j
сijх
, а
суммарная стоимость перевозок есть
ij
Далее, все запасы из пункта
—
экстремальная постановка задачи
i-го
склада в
min
∑ ∑
z
=
= =
1 1
А
должны быть вывезены, т.е
i
n
∑
j
=1
xc
j
ij
ijij
ax =
i
, i = 1÷m. (5.8)
.
.
j-й
пункт. Стоимость перевозки то
min
xc
j
ijij
→
∑ ∑
= =
1 1
min
. (5.7)
.
Обозначим
.
Следова
:
-
-
-
-
Все потребности пункта
В
должны быть удовлетворены, т.е
j
m
∑
bx =
, j = 1÷n. (5.9)
j
ij
84
.
Естественно предполагать также, что
х
≥
0, i = 1 ÷
ij
m, j =
1÷n. (5.10)
Таким образом
го плана перевозок Х =
ция
(5.7)
возок.
принимает наименьшее значение. Матрица
,
математическая модель ТЗ
(
х
),
для которого выполняются условия
ij
состоит в определении неотрицательно
Х = (х
(5.8) и (5.9), а
называется
ij)m×n
целевая функ
матрицей пере-
Если в задаче математического программирования целевая функция, а также уравне
ния и неравенства системы ограничений линейны, то такая задача называется задачей
нейного программирования (ЛП). Задачи
Задача 5.
необходимо изготовить
ством
х
х
изделий на
1
изделий на
2
3 (
задача нелинейного программирования
300
I
предприятии, равны
II
предприятии и х
килограмм колбасных изделий. Затраты, связанные с производ
изделий на
3
1 и 2 —
2
x
руб
1
III
это задачи ЛП
). На
., а
затраты, обусловленные изготовлением
предприятии, равны
.
трёх предприятиях отрасли
2
2
x
х
+
руб. и
2
2
4
ли-
2
x
х
3
+
3
руб. соответственно. Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произ
вести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были
минимальными
■
.
Математическая постановка
задачи состоит в определении минимального значе
ния функции
2
x
=
z
+2
1
2
x
х
+
+4
2
2
2
x
3
х
+
→
3
min
при условиях
-
-
-
-
-
-
х1+х2+х
хj ≥ 0, j =
Различают три основные формы ЛП
Стандартная форма — все
ограничения являются ограничениями-неравенствами, а
.
все переменные неотрицательны (удобна при решении задач ЛП графическим методом
Каноническая форма
—
все ограничения являются ограничениями-равенствами с
=300,
3
1÷3.
).
неотрицательными правыми частями, а все переменные неотрицательны. Основные вычис
лительные методы (симплекс-метод и его варианты) разработаны именно для этой формы
Общая форма
Кроме того, не на все переменные наложены условия неотрицательности
—
часть ограничений являются равенствами, часть
—
неравенствами
.
.
Эти три формы задачи ЛП эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно
простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных. Поэтому, если имеется
способ решения одной из этих задач, тем самым мы умеем решать любую из трёх задач ЛП
Произведем преобразование общей задачи ЛП
чально она записана в виде
:
z
= 3
х
2
х
1
+ 4
1
+ 3
к ее
х
→
2
х
= 12,
2
канонической форме. Пусть первона
max,
-
.
.
-
5
х
6
х
≤
85
7,
2
х
≤
– 4,
2
,
x
≥
0.
2
:
1 –
–3
х
+ 2
1
не
ограничена в знаке
x
1
Проведём следующие преобразования
1.
Так
3-е
ограничение на
2.
Во
сбалансировать
(
как. правые части ограничений должны быть неотрицательны, то умножим
–1, в
2-м
),
необходимо в левую часть добавить
результате получим
3
х
– 2
х
≥
1
4.
2
ограничении левая часть не больше правой, поэтому, чтобы их уравнять
балансовую
переменную
данное ограничение определяет расход некоторого ресурса, переменную
претировать как
3.
В
чить их равенство необходимо слева вычесть
следует интерпретировать как
4.
Любую
как разность двух неотрицательных переменных
вой функции и во всех ограничениях необходимо подставить
остаток
3-м
,
или
неиспользованную часть, данного ресурса
.
ограничении левая часть больше правой части, поэтому чтобы обеспе
избыток
переменную
x
i
балансовую
,
или
перерасход, данного ресурса
, не
имеющую ограничения в знаке, можно представить
:
xi = x
переменную
′
– x
″
i
, где x
i
x1 = x
1
′
i
′
, x
– x
x
4
.
″
≥
i
″
1
Указанные операции позволяют привести исходную задачу к канонической форме
= 3
x
′
– 3x
″
+ 4
х
→
х
2
2
2
= 12,
2
+
х
–
х
max,
= 7,
3
= 4,
4
z
1
1
2
x
′
– 2x
″
1
x
′
– 5x
5
1
3
x
′
– 3x
1
+ 3
1
″
– 6
х
1
″
– 2
х
1
x
3
x
следует интер
3
≥
0.
Переменную
0.
Поэтому в целе
, где x
′
,x
″
1
1
≥
≥
0.
0.
Если
x
:
-
-
4
-
′
,
x
″
,
x
,
x
,
x
≥
x
1
1
2
Кроме того, необходимо отметить, что
лентна минимизации
Например, максимизация функции
(–
z
) = –3
x1 + 2x
2
той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот
z = 3
x1 – 2x
– 4
х
.
Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности
3
ограничений оптимальные значения переменных
0.
3
4
максимизация
+ 4
х
2
эквивалентна минимизации функции
3
x
,
x
,
x
1
2
некоторой функции
в
обоих случаях будут одинако
3
эквива-
вы. Отличие заключается в том, что при одинаковых числовых значениях целевых функ
ций их знаки будут противоположны
.
5.2. Понятия классической теории оптимизации
Задача
при ограничениях
математического программирования
z(X
)→max (
g(X
или
min) (5.11)
) ≤ b (5.12)
или
g(X
) ≥ b (5.13)
или
g(X
) = b, (5.14)
в которой либо ограничения, либо целевая функция
называется задачей нелинейного программирования (НП).
z(X),
либо и то и другое нелинейные
НП применяется при прогнозировании производительности процесса или аппарата
управлении товарными ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудования и
т.д. Нелинейные задачи составляют широкий класс настолько сложных задач, что до сих пор
невозможно разработать общие методы, подобные симплекс-методу в ЛП. В зависимости от
вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к
которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программиро
вание, градиентные методы, приближённые методы решения, графический метод
.
В теории выпуклого программирования в качестве основной обычно рассматривает
ся задача минимизации выпуклой функции
1÷m),
X ≥
0,
где функции g
(X)
предполагаются выпуклыми
i
п
переменных
z(X)
при ограничениях
.
g
(X) ≤ 0 (
i
i =
.
-
-
,
,
-
-
86
Если
z(X) и g(X)
при ограничениях
g
являются вогнутыми функциями, то имеем задачу максимизации
(X) ≥ 0 (
i
I =
1÷m),
X ≥
0.
z(X)
В данном разделе рассматриваются необходимые и достаточные условия существо
вания экстремумов функций при отсутствии ограничений, метод
решения задач с ограничениями-равенствами
ниями в виде неравенств и
графический метод
,
условия Куна-Таккера
.
множителей Лагранжа
для задач с ограниче
для
Классическая теория оптимизации основана на использовании дифференциального
исчисления для нахождения точек максимумов и минимумов (экстремумов) функций в усло
виях отсутствия и наличия ограничений. Разработанные к настоящему времени методы оп
тимизации далеко не всегда оказываются эффективными при решении целого ряда экстре
мальных задач. Однако фундаментальные теоретические построения служат основой для
разработки большинства алгоритмов решения задач НП
Экстремум в точке
минимум этой функции. Точка
Х
= (
х
,....,
0
Х
хj,...,х
1
= (
х
0
1
,....,
)
функции
n
хj,...,х
)
n
.
f(X)
определяет либо максимум, либо
является точкой строгого максимума, если
неравенство
f(X
+ h) < f(
0
выполняется для всех
словами, точки
Х
меньше
0
(
h
,....,
hj,...,h
1
Х
является точкой максимума, если значение функции
0
f(
Х
).
Аналогично
0
)
справедливо неравенство
n
h = (
h
,....,
hj,...,h
1
,
Х
является точкой строгого минимума, если для вектора
0
Т
)
,
таких, что
n
f(X0 + h) > f(X
Максимумы и минимумы, определённые выше
тельными, максимумами. Глобальный максимум
(
наименьшее) значение из локальных максимумов (минимумов
Точка
Х
является точкой нестрогого максимума, если
0
тор, определение которого дано выше
функции
водные
Сформулируем
п
переменных
f(Х)
непрерывны в каждой точке
необходимые и достаточные условия
f(Х).
При этом предполагается, что первая и вторая частные произ
.
X.
Теорема 5.1 (необходимые условия)
Если точка
где
∇f(
f(Х
∇
0
)=
Х
Х
является экстремальной точкой функции
0
) —
вектор градиента
0
дf(X)
,
j =
дx
j
1÷п.
,
■ Из теоремы Тейлора следует, что при
X
)
0
|
h
j
).
0
(
минимум
0 < θ <1
|
достаточно малы для всех
f в
окрестности точки
,
являются локальными, или относи
)
функции
—
это её наибольшее
j.
Другими
).
f(
X
+ h) ≤ f(
0
существования экстремумов
X
),
где
0
h —
f(Х), то ∇f(
справедливо разложение
Х
0
) = 0,
h =
век
-
-
-
-
-
-
-
-
где
H
i
,
H —
=
j =
матрица вторых производных (или матрица Гессе
2
д
1
÷п.
f(X)
дxдx
ji
Если
,
|hj|
достаточно малы, то остаточный член
лой величиной порядка
ближенного равенства
Предположим, что
∇f
(
Х
).
Пусть это условие не выполняется; тогда для некоторого
0
дf(Х
)
/дxj > 0. Всегда
0
жить остальные
f
(
Х
).
Полученный результат находится в противоречии с предположением о том, что
0
можно выбрать знак
h
равными нулю, то из разложения Тейлора следует неравенство
j
hX
θ
+
f
(
Х
+h) – f(
0
Х
) = ∇f(
0
Х
)h + (l/2)
0
hТHh
(l/2)
2
h
j
,
что позволяет переписать разложение в виде следующего при
:
f(Х
+h) – f(
0
Х
есть точка минимума. Докажем от противного равенство нулю
0
Х
) = ∇f(
0
Х
)h + О(
0
h
таким образом, чтобы
j
2
h
j
0
|
),
,
hТHh оказывается
)
≈∇f
(
Х
)h.
0
j
либо
hjдf(Х
бесконечно ма
дf(
Х
)
/дxj < 0,
0
)/
дx
< 0.
0
j
либо
Если поло
f(
Х
+h) <
0
Х
—
0
-
-
-
87
1
2
3
точка минимума. Следовательно, величина
можно провести для точки максимума
Для функции одной переменной это условие записывается следующим образом
∇f(
Х
)
равна нулю. Аналогичное доказательство
0
.
:
f
′
(
х
= 0.
Как было отмечено ранее, полученное условие удовлетворяется также в точках пере
гиба и седловых точках функции. Следовательно, оно является необходимым, но недостаточ
ным для идентификации экстремальных точек. В связи с этим точки, удовлетворяющие урав
нению
∇f(
Х
0
) = 0,
будем называть стационарными
.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия для того, чтобы
экстремальной точкой
Стационарная точка
оказывается
определенной (тогда
: 1)
положительно определенной (тогда
■ Из теоремы Тейлора следует, что при
Так как
зом
, f(
Х
+h) – f(
0
+h
) > f(
Х
равенство
)
0
Х
—
0
Х
) = (l/2)
0
для всех ненулевых
(l/2)
hТHh
|
.
Х
0
Х
—
точка максимума
0
f(Х
Теорема 5
является экстремальной, когда матрица Гессе
).
0 < θ <1
+ h) – f(
0
Х
) = ∇f(
0
Х
Х
)h + (l/2)
0
.2.
—
точка минимума
0
hТHh
стационарная точка, то, согласно теоремы
hX
θ
+
hТHh
hX
θ
+
0
> 0. Непрерывность
0
|
.
Пусть
h.
Это означает, что для точки минимума
Х
—
точка минимума; тогда по определению
0
второй частной производной гарантирует, что
hX
θ
+
0
|
5.1, ∇f(
); 2)
,
Х
) = 0.
0
Х
,
выполняется не
0
Х
была
0
Н в
точке
отрицательно
Таким обра
f(
)
0
-
-
-
Х
0
-
Х
0
-
X
величина
(l/2)
hТHh
имеет один и тот же знак в точках
Х
и
Х
+ θh.
0
0
Поскольку
деляет некоторую квадратичную форму, то рассматриваемая величина
hX
θ
hТHh|
+
0
)
положительна
тогда и только тогда, когда
H|
X
0
—
положительно определенная
hТHh|
(и,
следовательно
0
опре
матрица. Это означает, что достаточным условием существования минимума в стационарной
точке
Х
является положительная определенность матрицы Гессе в этой точке. С помощью
0
аналогичных рассуждений нетрудно также доказать второе утверждение теоремы, т. е. пока
зать, что достаточным условием существования максимума в стационарной точке является
отрицательная определенность матрицы Гессе в этой точке
Как известно, матрица
ли значения всех угловых миноров определителя
Матрица
определителя
k
= 1÷п.
Матрица
норов определителя
k
= 1÷п.
Пример 5.
А будет
|А|
отличны от нуля и имеют знак
А будет
|А|
равны нулю либо имеют знак
1.
Рассмотрим функцию
■ Из необходимого условия
= 0
, дfдx3 =
2 +
х2 – 2х
= 0.
3
А
будет положительно определенной (полуопределенной
|А|
положительны (неотрицательны
отрицательно определенной
(–1)k,
отрицательно полуопределенной
(–1)k,
f(
х
,
х
,
х
) =
2
3
следует, что
∇f(
Х
0
1
) = 0
Решением этой системы является вектор
проверить выполнение достаточного условия, вычислим
.
,
если значения
,
если значения
х
+ 2
х
+
1
х2х
3
дf/дx1 = l – 2x
k-х
угловых миноров
k-х
2
x
–
3
Х
0
2
x
–
–
= 0,
дf/дx
1
= (1/2, 2/3, 4/3).
), ес-
).
угловых ми
2
x
.
2 =х3
Чтобы
– 2x
,
-
-
2
88
−
2
222
fд
X
0
|
=
3121
32
дx
дxдx
22
fд
дxдx
222
fд
2
32313
соответственно. В этом случае
Главные миноры
|H
X
0
fд
=
2
дx
1
2
fд
дxдx
12
fд
дxдx
|H
X
равны
0
fд
дxдx
fд
2
дx
2
fд
дxдx
–2, 4 и –6
ется отрицательно определенной матрицей, откуда следует, что
максимума
быть седловой. Если же матрица
точка
.
|H
В общем случае, когда матрица
|H
X
Х
может как быть, так и не быть экстремальной. При этом формулировка достаточного
0
X
0
является неопределенной, точка
0
является полуопределенной, то соответствующая
−
Х
0
002
120
.
−
210
|H
X
= (1/2,2/3, 4/3) —
Х
должна
0
явля
0
точка
условия существования экстремума значительно усложняется, ибо для этого необходимо
учитывать члены более высоких порядков в разложении Тейлора
Пример
Рассмотрим функцию
f(x1, х
) = 8
2
x1х2 +
5.2.
■ Необходимые условия экстремума для неё принимают вид
= (0;0), т.е.
Х
=(0, 0) —
0
стационарная точка. При этом матрица Гессе
.
2
x
3
.
∇f(
x
,
х
) = (8
х
; 8
1
2
2
x1+6х
-
)
2
80
Н =
не несет информации о наличии или отсутствии экстремума
Достаточные условия, установленные теоремой
для функций одной переменной. Пусть
1) f*(
y
2)
f*(y
) < 0 —
0
) > 0 —
0
достаточное условие существования максимума в точке
достаточное условие существования минимума в точке
у0 —
Если в случае одной переменной значение
вать производные высших порядков
Теорема 5
обращаются в нуль, а
1)
точку перегиба, если
экстремальную точку, если
2)
максимум при
Пример
■ Для
f
′′
(0) =
Поскольку
(3)
f
(0) = 0. Т. к.
Для
g(y) = y3
g
.3
.
Если в стационарной точке
(п)
f
(
y0),
то при
(п)
f
(
y
) < 0 и
0
3.
Рассмотрим две функции
f(y) =
(п)
(0)
y
не обращается в нуль при
минимум при
4
имеем
(4)
f
(0) = 24 > 0,
имеем
g
f
п —
′
(y) = 4
′
(y) = 3
.
у = y
0
нечетное
п —
(п)
f
3
y
= 0,
то
у0 =
2
y
= 0
функция
четное. Экстремальной точке соответствует
(
y
f(y) =
откуда
0 —
n = 3, то у
Использование необходимого условия
68
.
5.2,
весьма просто формулируются
стационарная точка, тогда
f"(
y
)
равно нулю
0
y0
первые
f(y
)
имеет
;
) > 0
.
0
4
y
и g(y)
у0 = 0 —
точка минимума
.
Таким образом
= 0 —
0
∇f(Х) = 0
для нахождения стационарных точек
(
п –
= y3.
стационарная точка. Далее
,
у
точка перегиба
,
то
1)
производных
.
= 0
0
y
;
0
у0.
необходимо исследо
функции
—
стационарная точка
.
f(y)
f
′
(0)
связано с определенными трудностями, которые возникают в процессе численного решения
соответствующей системы уравнений. Рассмотрим для этого
метод Ньютона-Рафсона
—
итерационную процедуру решения систем нелинейных уравнений. Пусть дана система урав
нений
-
=
.
-
(X) = 0,
f
i
где
Xk —
заданная точка
Из разложения Тейлора следует, что
.
89
i =
1
÷
т
.
k
∇
f
i
(X)
k
≈
f
(
X
) +
i
∇f
k
(
Х
)(
i
X – X
k
), i = 1
÷т.
Таким образом, исходную систему уравнений можно приближенно представить в
следующем виде
Запишем полученную систему в матричной форме
Предположим, что все векторы
ная матрица. Из предыдущего уравнения получаем
Идея рассматриваемого метода заключается в следующем. На первом шаге задается
начальная точка
вычислить координаты новой точки
m
m+1
Х
≈
Х
;
при этом
:
0
Х
.
Хm —
k
(
X
) +
f
i
∇f
(
Х
i
Аk + В
f
(X)
i
k
)(
X – X
(
k
k
) = 0, i = 1
k
Х – Х
) = 0
независимы; тогда матрица
1
−
А
B
Если
Х
=
Хk –
Хk
известна, то с помощью полученного уравнения можно
k+1
Х
.
Процесс вычислений завершается в точке
приближенное решение исходной системы
÷m.
:
.
В
—
невырожден
k
.
k
Хm,
когда
.
К числу недостатков изложенного метода относится то обстоятельство, что сходи
мость метода в существенной степени зависит от выбора начальной точки. По-видимому
наиболее целесообразно определять начальную точку путем проб и ошибок
.
Метод множителей Лагранжа
Метод
множителей Лагранжа позволяет определять стационарные точки при реше
нии оптимизационных задач с ограничениями в виде равенств. К сожалению, при практиче
ском применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности
сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа потому, что
он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных численных мето
дов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и метода Ла
гранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложе
ниях не только математического программирования. Схему этого метода можно формально
представить следующим образом. Пусть
-
,
-
,
-
-
-
L(X
Функцию
жа. Уравнения
L
называют функцией Лагранжа, а λ
, λ) = f(X) –
/
дХ =
дL
λ
= (
0 и
g(X).
λ
, …,
1
дL/дλ =
λ
) —
множителями Лагран
т
0 (5.15)
являются записью рассмотренных выше необходимых условий наличия экстремума. Это
означает, что задача оптимизации с целевой функцией
эквивалентна задаче нахождения безусловного экстремума функции Лагранжа
f(X)
при наличии ограничения
g(X) = 0
L(X, λ).
Достаточные условия при использовании метода множителей Лагранжа имеют сле
дующий вид. Определим матрицу
где
P=
∇
представляет собой так называемую окаймленную матрицу Гессе
Матрица
B
H
Пусть дана стационарная точка
матрица Гессе
Тогда
X
является
0
B
H
сформирована из значений соответствующих элементов в точке
P0
(m+n)×(m+n)
QP
2
Lä )
,
λ
X,(
äxäx
ji
n×n
для всех
i и j.
B
H
=
T
m
1
...
)X(
и
m×n
Q =
)X(
g
g
.
(
X
,
λ
)
0
функции Лагранжа
0
L(X, λ), а
окаймленная
(
X
,
λ
0
-
-
).
0
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]