Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
R
при исследовании движения жидкости по змеевику задают диаметр трубы
ка
R,
откуда для подобных процессов следует
d
idem.
=
d и
радиус змееви
Критерии, представляющие собой отношение двух одноименных величин и получа
ющиеся непосредственно из условий задачи исследования, называются параметрическими
критериями (симплексами).
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем
.
Первая теорема подобия
Подобные
между собой явления имеют одинаковые критерии подобия
.
В соответствии с теоремой в опытах следует измерять те величины, которые входят в
критерии подобия. Критерии подобия, составленные из условий однозначности, называются
определяющими критериями. Если же критерий подобия включает хотя бы одну величину
не входящую в условие однозначности, то он называется неопределяющим или определяе-
мым. Равенство определяемых критериев является следствием подобия
.
Вторая теорема подобия
Зависимость между физическими величины, характеризующими процесс, может быть
представлена в виде функциональной зависимости неопределяющих критериев от определя
ющих
.
Эта функциональная зависимость распространяется на всю группу подобных процес
сов и называется критериальным уравнением или уравнением подобия. Таким образом
вторая теорема отвечает на вопрос о том, каким образом следует обрабатывать результаты
экспериментов
Критериальные уравнения чаще представляются в виде степенных функций
где
А, m, n, t, y —
K
—
определяемый критерий
н
K
—
определяющий критерий
o
.
А
=K
н
постоянные (определяются опытным путем
;
.
:
y
t
m
n
⋅
K
K
...
K
ooo
321
);
, (1.18)
K
o
k
Третья теорема подобия
те
Подобны
определяющие критерии
Содержание этой теоремы лежит в основе моделирования
ного изучения модели явления
Пример
явления, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые
.
—
метода эксперименталь
.
.
Математическое описание процесса распространения теплоты в движущейся вдоль
твердой стенки среде одновременно теплопроводностью и конвекцией представляется диф
ференциальным уравнением Фурье-Кирхгофа
∂
w+
∂
;
где
w
x
τ
—
t = t(
,
w
y
время
,
w
∂
t
τ
∂
x, y, z,
z
τ
)
температура среды
—
—
составляющие скорости движения среды
;
2
∂
t
x
t
w+
y
∂
∂
t
w+
zyx
z
∂
∂
a=
∂
x
2
∂
t
+
2
∂
y
;
2
∂
+
t
, (1.19)
2
∂
z
t
2
-
-
,
-
,
-
-
11
λ
(
)
n
n
λ
⋅
x
∂
x
∂
x
∂
l
⋅
a
⋅
⋅
⋅=a
ν
a
λ
с
—
ρ
=ca
—
—
—
коэффициент температуропроводности среды, м
ρ⋅
коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м·К
удельная теплоемкость среды, Дж/(кг·К
плотность среды, кг/м
3
.
Условие на границе раздела движущейся среды и твердого тела может иметь вид
где α
—
коэффициент теплоотдачи, Вт/(м
t
,
t
—
п
n
—
соответственно температуры поверхности стенки и среды, К
ср
нормаль к поверхности тела
Полученные уравнения
.
описывают сложный процесс конвективного теплообмена
2
);
·К);
);
t
∂
λ
−
n
∂
п
2
/с;
( )
−
п
ср
,ttα=
(1.20)
;
для большинства случаев они практически не разрешимы. В расчетной практике пользуются
критериальными уравнениями, полученными из этих уравнений методами теории подобия
.
Из последнего уравнения делением обеих его частей на левую часть получаем без
размерный комплекс
:
tt
α
−
п
ср
∂
t
λ
∂
=
∆
t
α
⋅
,
∂
t
λ
∂
где
tt=∆t
−
.
Эта разность называется температурным напором
ср
п
.
Вычеркнув в полученном комплексе символы дифференцирования, разности и
направления (замена
l) и
проведя сокращения, получим критерий Нуссельта
n на
неориентированный в определенном направлении линейный размер
:
l
α
=Nu
.
(1.21)
,
-
Из дифференциального уравнения
всех членов на
2
t
∂
a
2
получаем безразмерные комплексы
(1.19)
t
τ
∂
и
2
∂
t
a
2
∂
конвективного переноса тепла делением
:
t
w
x
x
∂
.
2
t
∂
a
2
∂
Вычеркнув в полученных комплексах символы дифференцирования (включая симво
лы порядка дифференцирования) и направления, после сокращений получаем числа
рии) подобия
:1
число (критерий) Фурье
и число (критерий) Пекле
Критерий
Pe
обычно представляют в виде произведения двух критериев
Fo
=
; (1.22)
2
τ
a
lw
=
=
lw
=
.Pe
(1.23)
:
ν
lw
Pr,RePe
⋅
(1.24)
(
крите
-
-
1
Критерии принято называть именами известных ученых и обозначать двумя первыми буквами их
имени.
12
ν
a
ν
ν
d
l
⋅
wl
=
Re
где
=Pr
—
коэффициент кинематической вязкости, м
(
уравнение подобия
вий однозначности, поэтому он является определяемым критерием. На этом основании урав
нение записывается следующим образом
нимает вид
или
ческим критерием
–
критерий Рейнольдса
—
критерий Прандтля
Полученные критерии подобия дают возможность найти критериальное уравнение
),
описывающее рассматриваемый процесс
Из критериев уравнения только критерий Нуссельта не составлен целиком из усло
Если процесс стационарный, то из уравнения
:
Так, например, при движении потока в трубе оно может быть дополнено параметри
l
=
Г
,
;
;
2
/с.
:
f
(Re, Nu, Pr, Fo) = 0.
:
Nu = f (Re, Pr, Fo). (1.25)
(1.25)
Nu = f (Re, Pr), (1.26)
выпадает критерий
A=
nm
PrReNu
⋅⋅
. (1.27)
Fo, и
оно при
-
-
-
-
где l
—
длина трубы
а
d — ее
В этом случае уравнение запишется в виде
В соответствии с полученными критериальными уравнениями следует для рассмат
риваемого процесса обработать опытные данные и в результате получить
При решении конкретных задач по найденному из критериального уравнения значе
нию критерия Нуссельта легко определяется коэффициент теплоотдачи
Во
ные уравнения, описывающие их протекание, и сформулировать условия однозначности. При
изучении таких процессов для получения критериального уравнения применяют метод анали
за размерностей. В этом случае необходимо, чтобы в результате предварительного опытного
изучения процесса были выявлены физические величины и параметры, влияющие на течение
этого процесса
Так, например, при исследованиях течения жидкости по трубе найдено, что на пере
пад давления в трубе влияют диаметр
протекающей жидкости, то есть
где
причем конкретный вид функциональной зависимости неизвестен
Метод анализа размерностей позволяет из общей функциональной зависимости полу
чить критериальное уравнение, описывающее изучаемый процесс
Число критериев, входящих в критериальное уравнение, устанавливается с помощью
π – теоремы, которая гласит
если общая функциональная зависимость связывает между собой
чин, при составлении которых использовано
диаметр
время изучения сложных процессов не всегда возможно записать дифференциаль
.
νρ=µ
—
коэффициент динамической вязкости, Па·с
,
.
knm
A=
Nu
=
α
Метод анализа размерностей
d и
длина
l трубы
,
плотность ρ, вязкость µ и скорость
Г
⋅⋅⋅
PrReNu . (1.28)
A, m, n, k.
:
λ
.
(1.29)
w
w),µ,ρ,l,f(d,=∆p
(1.30)
,
.
.
:
n
размерных вели
m
первичных единиц измерения, то эта функци
-
-
-
-
-
-
-
-
13
T
LMT
с
⋅
м
с
м
⋅
[
]
[
]
[
]
[
]
м
с
⋅
⋅
ональная зависимость может быть представлена в виде критериального уравнения, содержа
щего π
нальную зависимость.
составленного из произведений символов основных физических величин в различных степе
нях, отражающее связь данной физической величины с основными величинами системы еди
ниц
чин, которые приведены в табл
которую возведена размерность основной величины, входящая в размерность производной
величины
измерение
хотя бы один из показателей размерности не равен нулю. Например, размерность силы
размерности которой все показатели степени равны нулю. Например, число Прандтля
= (n–m)
Размерность физической величины
.
Международная система единиц (СИ) устанавливает в качестве основных семь вели
Величина
единицы
Длина L
Масса M
Время T
Сила тока I
Температура
термодинамическая
Сила света J
Количество вещества N
Показателем размерности физической величины
.
Размерность
).
критериев подобия, составленных из величин, входящих в общую функцио
. 1.
Размерность Единица Обозначение
Х
обозначается так
Размерной физической величиной называется величина, в размерности которой
2
−
⋅
LMT=am=F
.dimdimdim
Безразмерной физической величиной называется величина, в
θ
—
: Xdim (dim —
=
ν
dimdimPr
a
выражение в форме степенного одночлена
Таблица 1
метр
килограмм
секунда
кельвин
кандела
dim
=
dim
ампер
сокращение от латинского
ν
a
моль
называется показатель степени, в
2
L
=
T
L
1.
=
2
м
кг
с
А
К
кд
моль
dimensio —
:
-
-
,
-
-
-
:
Необходимо строго различать понятия «размерность» и «единица измерения» физи-
ческой величины. Часто единицу физической величины ошибочно называют размерностью.
2
[ ]
=µ
−
путают с единицей силы Н (ньютоном):
H
=
=∆p
Па·с
=
=
14
кг
=ρ
кг
⋅
=d
=l
кг/
⋅
м
м;
м
222
;
м
см
22
кг
/
3
;
кг/(м·с);
(n = 6),
2
)с(м=
⋅
;
которые в СИ имеют
Размерность, например, силы
кг
м
=H=[F]
В уравнение
следующие единицы измерения
.
2
(1.30)
входят шесть размерных величин
:
[
]
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[][
]
d
Размерности всех величин составлены из трех первичных размерностей
На основании π
го уравнения, в которое входит π
Представим одно из уравнений в виде произведения входящих в него величин в не
которых степенях
Заменим величины, входящие в уравнение, формулами размерностей этих величин
:
–
теоремы уравнение может быть представлено в виде критериально
= 336 ==mn
dim
dim
−−
r
w
м/с
.
м=lL=l
c=tT=t
;
кгdim
=mM=m
критерия подобия
γ
r
γ
(m = 3):
;
.
-
.
-
xzy
.
wµρldC=∆p
⋅⋅⋅⋅⋅
(1.31)
:
xzy
111312
−−−−−−
]T[L]TM[L]L[MLLC=LTM
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
, (1.32)
затем группируем однородные члены
Далее, приравнивая показатели степеней при одинаковых символах размерностей
получаем систему из трех уравнений с пятью неизвестными
В этой системе не хватает уравнений, так как в нее входят пять неизвестных, поэтому
выразим все неизвестные через какие-нибудь две, например через
из
(1.35) z,=x−2
из
(1.36)
из
(1.34)
Подставим полученные значения
сгруппируем величины по показателям степеней
В критериальное уравнение входят три критерия подобия
Критерий Эйлера
1.
мерой отношения сил давления и инерционных сил, или, другими словами
репада статических давлений в потоке жидкостей к динамическому давлению
Критерий Рейнольдса
2.
жим потока, являясь мерой отношения сил инерции и сил вязкого трения
Критерий геометрического подобия (параметрический
3.
z,=y
−1
:
−−−−−
x, y, r в
∆p
=Eu —
2
ρw
wdρ
=Re —
µ
3y12
γ
+(r
:
x+zγ+r=
−−− 3y1
2 (1.35)
.3y1
zγ=xz++γ=r
уравнение
⋅
:
∆p
ρw
характеризует подобие полей давления и является
wd
=
ν
−−−
.1
z+y=
(1.36)
γ
z)y(
l
C=
2
d
характеризует гидродинамический ре
(1.34)
xz=
z и γ:
(1.31):
γ
wdρ
µ
:
−−−−−−
MTLC=LTM
⋅⋅⋅⋅⋅
z)(zz)(
−−−−
21
,wµρldC=∆p
(1.37)
z
−
.
(1.38)
, —
.
)
l
=Г .
z)+(yx)z(x)+z
.
(1.33)
отношение пе
.
,
-
-
Эти критерии будут использованы при рассмотрении различных процессов в после
дующих разделах
С учетом введенных обозначений уравнение запишем в следующем виде
.
:
15
-
n
n
n
γ
z
−
.Re
ГC=Eu
Постоянные
ных данных
⋅
С, z и γ в
критериальном уравнении определяются на основании опыт
.
(1.39)
Некоторые особенности применения теорем подобия к анализу процессов
Теория подобия не всегда позволяет добиться подобия между процессом, исследо
ванном на экспериментальной установке (модели
ном аппарате (оригинале
), не
только для сложных процессов, описываемых большим набором
критериев подобия, но и для сравнительно простых
), и
процессом, протекающем в промышлен
.
Например, для того, чтобы обеспечить гидродинамическое подобие процессов, про
текающих под влиянием силы тяжести, необходимо добиться, в частности, равенства крите
риев
Reо = Reм и
Критерий Фруда
ствии силы тяжести, и выражает соотношение сил тяжести и сил инерции
где
l —
g —
Таким образом, для обеспечения подобия двух потоков необходимо, чтобы
Масштабы модели и промышленного аппарата (оригинала) отличаются в
критериев
w —
скорость движения потока
определяющий размер
Fro = Frм (
w
Fr
=
gl
2
—
,
индекс "о
ускорение свободного падения
Reм = Reo; Frм = Fr
" —
для оригинала, а "м
" —
для модели
).
характеризует подобие процессов, идущих при дей
,
,
.
о.
l
o
=l
м
, (1.41)
(1.40)
n
раз
:
-
-
-
-
-
-
то есть
wl
oo
=
Re .Re
o
Примем, что жидкость одинаковая в обоих случаях, тогда ν
Для подобия процесса необходимо выполнение
с
wl
ν
o
wl
oo
=
мм
,
или
ν
м
,w
=wl
oo
;
ν
o
(1.40)÷(1.42):
l
o
м
wl
мм
= (1.42)
м
ν
м
=
ν
.
м
о
откуда
Окончательно имеем
:
.
nw=w (1.42)
м
o
Таким образом, скорость потока на модели необходимо увеличить в
Аналогичные преобразования выполним для критерия Фруда
2
w
м
,
2
w
=
gl
м
м
=
Fr ,
м
gl
2
w
o
,
,wl=lw
gl
м
o
Fr (1.43)
м
o
o
22
o
м
:
2
w
o
=
gl
o
.
=lw (1.44)
o
м
:
w
o
.
=w
м
(1.45)
n
n
раз
.
l
22
o
w
o
В результате проведенного анализа получим, что для обеспечения процессов по кри
терию Рейнольдса необходимо, чтобы выполнялось соотношение
(1.41), а
чтобы обеспечить
подобие по критерию Фруда, необходимо, чтобы выполнялось последнее соотношение
Таким образом, для рассмотренного сравнительно простого случая не удается обес
печить подобие процессов
.
-
.
-
16
4
Еще один существенный недостаток, присущий методу, состоит в том, что модель
имеет меньшие размеры, чем оригинал, вследствие чего у модели могут появиться такие
свойства, которые не характерны для оригинала. Например, возможно влияние пристенного
эффекта (ПЭ
к его объему
стью до высоты
где
S
бок
Sдн —
Vж —
площадь днища аппарата
объем жидкости в аппарате
),
который, как считается, пропорционален отношению поверхности аппарата
Va:
S
a
ПЭ
Если, например, имеем цилиндрический аппарат диаметром
.
= (1.46)
V
a
D,
заполненный жидко
H, то
2
πD
πD
+πDH
4
2
H
=
+
D
S+S
днбок
ПЭ
=
V
—
площадь боковой поверхности цилиндра, соприкасающаяся с жидкостью
=
ж
;
.
14
,
(1.47)
H
;
Sa
При проведении исследований на объекте сравнительно малого масштаба можно сде
лать неверный вывод о поведении объекта моделирования при переходе к промышленным
аппаратам, что чревато большими материальными потерями
Подводя итог рассмотрению метода теории подобия, можно отметить следующие
.
ос-
новные недостатки:
•
не учитывается все многообразие влияющих на процесс факторов в рамках
ограниченного числа принятых критериев
•
происходит существенное ухудшение точности расчетных уравнений для
условий, отличающихся от условий экспериментов
•
выявляются ограничения, связанные с расчетом процессов для аппаратов
;
;
промышленных размеров, если эти уравнения были получены для небольших
модельных аппаратов
.
Как было отмечено выше, основным достоинством теории подобия является установ
ление набора параметров, которые определяют ход и характер протекания технологических
процессов
.
-
-
-
17
2. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПИЩЕВОЙ ИНЖЕНЕРИИ
2.1. Модели и объекты моделирования в пищевой инженерии
Слово
Моделирование —
моделирование —
вание и распространение результатов на оригинал, способ изучения свойств объекта. Суть
моделирования заключается в изучении свойств объекта моделирования
анализа свойств его модели. Чтобы моделирование имело смысл, оно должно удовлетворять
двум условиям
модель
:
•
исследование на модели должно быть дешевле, чем на оригинале
•
наличие масштабного перехода или традукция (метод перенесения результа
тов с модели на оригинал (рис
происходит от латинского
исследование объектов познания на их моделях. Таким образом
это способ научного исследования, процесс создания модели, ее исследо
modulus,
. 2.1).
означающего меру, образец
(
оригинала) путем
;
.
М
традукция
О
модель
оригинал
Рис. 2.1.
Традукция означает, что мы должны знать, как по результатам испытания модели
определить интересующие нас параметры оригинала. При этом нас практически всегда инте
ресует количественная традукция
Предполагается, что между моделью и оригиналом имеется подобие. Подобие между
моделью и оригиналом может быть физическим и математическим. На рис
виды моделей, используемых в исследованиях и разработках
Любое математическое описание оригинала есть его схема, записанная на математи
ческом языке
ства, графики, таблицы или иные математические структуры, описывающие оригинал. Таким
образом
математических символов, а
цессов или явлений путем создания и исследования математических моделей
.
Математическая модель —
, математическая модель —
математическое моделирование —
физическое подобие
Материальная модель
Схема формирования модели
.
это чаще всего система уравнений, а также неравен
это описание явлений окружающего мира с помощью
Модель
математическое подобие
Мыслимая модель
. 2.2.
.
это метод познания про
.
понятийный уровень
приведены
Эмпирические соотношения. Теория подобия
Математические
модели
Совокупность физи-
ческих образов
Эмпирические модели Структурные модели
Рис. 2.2.
Типы моделей
,
-
-
-
-
-
-
18
ν
м
ν=ν
0
Путь создания объекта
Лабораторная
установка
Если объект более сложный, то
Лабора
торная
установка
-
Пилотная
установка
Рассмотрим физическую
процесса абсорбции
:
Пилотная
установка
:
Полупромыш
ленная
новка
(
рис
. 2.3) и
уста
-
Опытно
-
промыш
ленная
установка
Промышленный
образец
-
-
Промыш
ленная
установка
-
соответствующую математическую модель
.
Г
Ж
абсорбер
жидкость
насадка
Ранее отмечалось, что для обеспечения гидродинамического подобия необходимо
выполнение условий
Рассмотрим числа (критерии) Рейнольдса и Фруда
и из
Рис. 2.3.
(1.40)÷(1.43).
lw
00
ν
0
=
ν
w
gl
lw
мм
м
0
0
Физическая модель абсорбции
:
wl
=Re
;
Fr
=
w
2
gl
ReRe =
;
м
0
;
, откуда следует
22
w
м
=
следует
gl
м
FrFr =
;
0
м
g=g
;
0
м
00
2
2
w
w
м
0
=
l
l
м
0
;
(2.2)
(2.3)
lw=lw
мм
.
(2.4)
(2.5)
(2.1)
19
м
ν≠ν
0
H
D
d
Из последних двух равенств вытекает, что
2
w
l
0
0
,
=
2
w
l
мм
w
l
0
м
=
w
м
,
l
0
и
м
оригиналом
с
модель
. т
е,l=l
0
.
должна
быть
одинаковой
Пусть
ответствующую математическую модель рециркуляционного контура
.
Аналогично предыдущему, рассмотрим физическую (рис
. 2.4) и со-
w
w
w
w
νl
м
00
=
м
2
0
=
2
,
lν
м
0
l
0
,
l
мм
Пусть
l
⇒40=
l
м
ν
0
ν
м
2/3
84
==
—
lw
00
ν
0
w
l
0
ν
ν
моделирование невозможно
lw
мм
=
2
0
=
=
,
ν
м
2
w
м
,
l
м
2
l
0
=
l
м
ν
0
ν
м
2/3
l
00
.
l
мм
2
l
м
0
,
2
2
ννl
0
м
2
3
l
0
=
,
3
l
м
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.7)
(2.8)
.
кипятильная
трубка
центральная
циркуляционная труба
Рис. 2.4.
Физическая модель рециркуляционного контура
Физическое моделирование связано с созданием и изучением свойств материальных
моделей, причем основой построения моделей служит теория подобия, которая отвечает на
вопрос, как нужно организовать эксперимент и обрабатывать полученные данные, чтобы их
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]