Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
101
j j
j j
r x
c x
j j
j
d x
x
∑
()(
)
d
x
d
x
(
)
1213
6
d
x
d
x
6
a
b
n
∑
1
j
z =
Р
=
=
з
n
∑
j
1
=
Задача нахождения себестоимости оборудования
n
∑
1
j
z =
С
Указанные математические модели имеют системы ограничений в зависимости от
условий задачи
Пример
.
5.7:
Пусть требуется изготовить прямоугольный сосуд из листа прямоуголь
ной формы, вырезав углы и загнув затем края. При этом
Рис. 5.6.
Эскиз заготовки
=
=
и
n
1
j
=
→
max.
(
С
)
записывается как
и
→
min.
V
сосуда
( )
должен быть максимальный
сосуда
2x2x
−−
2
4x2
22
224x
32
4x2
+xb+aabx
3
−
−−
−−
( )
-
.
=xba=V
=x+abxaxab
=abx+bxax
d
V
( )
2
124
xxbaab
++−=
d
V
0
=
подозрение на экстремум
2
0412
=++− abxbax
1
2
( )
0
=++− abxbax
1
( ) ( )
x
3
=
2,1
( )
=
1
9
2
124
abbaba
⋅−+±+
4
22
bababa
+−±+
=
Для определения точки экстремума определим знак для второй производной
2
d
V
0
<
, то
2
соответствует максимуму
:
2
d
V
2
( )
0244
<++−= xba
.
22
bababa
+−−+
.
Выбираем
( )
x
=
2
102
2
=
V
h
r
F
C
4
r
r
π
SFC⋅=
d
r
d
r
r
rFd
d
r
h
r
4
r
F
r
F
1f2
F
Пример
цилиндра
Рис. 5.7. Схема
5.8.
Пусть необходимо изготовить корпус аппарата в виде открытого сверху
3
м
.
заготовки
(
Общая стоимость
) →
минимум
V
—
—
—
днища
d
π
=
hπ=
где
S —
стоимость изготовления 1м
2
поверхности аппарата
Постановка задачи оптимизации по проектированию аппарата
1)
объект оптимизации
2)
цель оптимизации
мость его изготовления
3)
ресурсы оптимизации
;
—
корпус аппарата
—
при заданном
—
радиус корпуса аппарата, который мы можем, изменять и
V
который входит в математическую модель процесса
критерий оптимизации
4)
—
стоимость изготовления корпуса аппарата
Условие существования минимума функ
ции
ношений
F
opt
r
opt
f
Рис. 5.9
.
Точка экстремума
высота
радиус основания
V
=
2
d
π
h
площадь поверхности аппарата с учетом
2
22
2
hrh
⋅π=
V
2
V
rrhrrF
22
π+π=⋅π+π=
2
V
2
2
r
+π=
r
,
.
:
;
аппарата обеспечить минимальную стои
;
C.
F
можно записать в виде двух соот
d
F
=
2
d
F
0
;
0
F
⇒
>
2
min
VrF2
2
+π=
(5.24)
-
-
-
Продифференцируем уравнение
Требования, приведенные в таблице
(5.24) и
d
F
5.3,
приравняем
Vrr
обусловлены тем, что соответствующие
ограничения порождают вогнутую функцию Лагранжа
2
−
d
к
022
=−π=
.
L(X, S, λ) в
нулю
случае максимизации и
выпуклую функцию в случае минимизации. Справедливость этого утверждения можно про
-
103
r
022
=−π
V
r
π
r
π
π
π
hr=
hr=
r
r
hr=
const
V
−
min
⇒
r
r
r
hrV
π
=
rVdr
2
2
π
h
r
верить непосредственно, учитывая следующий очевидный факт: если
функция, то функция λ
(Х)
оказывается выпуклой при λ
igi
>
0 и
i
вогнутой при λ
g
(Х)
—
i
<
0. С
выпуклая
помо
i
щью аналогичных рассуждений нетрудно обосновать все остальные требования. Следует
особо отметить, что линейная функция по определению является как выпуклой, так и вогну
той. Заметим также, что функция
– f —
выпуклая, если функция
f
вогнутая, и наоборот
.
2
V
2
r
0
=−π
,
2
3
,
3
=Vr
3
=Vr
;
,
π
V
h ⋅π=
⇒
=
2
2
hrV
,
2
hrV
3
=
r
⋅π
=
2
⇒
=
hr
.
При
ществования минимума
имеем точку подозрительную на экстремум. Условием достаточности су
—
вторая производная
2
> 0
r
2
V
0
=−π
,
2
-
-
-
Вывод: если мы изготовим цилиндр без крышки с
ную поверхность
Что изменится, если аппарат будет иметь форму закрытого цилиндра
Рис. 5.10.
Схема закрытой емкости
.
4
V
2
0
>+π
.
3
, то мы
получим минималь
-
VrF2
2
⇒
FF
,
,
V
,
2
3
0240
=−π
,
dF
dr
4
;
2
2
+π=
4
r
−π=
2
V
r
=−π Vr
2
2
,
2
dF
4
4
0
>+π=
,
32
22
π
3
r
=
hrhr
=
,
r 22=⇒=
h
rh
.
104
x
=
ê
í
→
Q
tKFQ
∆
=
K
∆∆
()(
)
2
−
−
(
)
(
)
cV
F
+
=
F
V
х
н
к
н
к
5.3. Некоторые вопросы оптимизации
теплообменных аппаратов
5.3.1. Оптимизация на основе аналитических моделей
Основным
ных аппаратов, является выбор поверхности теплообмена
по хладагенту
вопросом, который приходится решать при проектировании теплообмен
F и
V
при заданной тепловой нагрузке на теплообменник
соответствующей ей нагрузки
.
Запишем условия проектирования, технологические ограничения и уравнения реали
зуемого в оборудовании процесса для идентификации теоретических и проектных парамет
ров
.
V,
θ
t
t
V
θ
Рис. 5.10.
Схема теплообменника
Рис. 5.11
.
Температурный баланс
-
-
-
const
V
задана из технологических соображений
,
tt
;
—
х
заданы условиями проектирования
cV(
=Q
=V
c(
—
уравнение теплопередачи
=F
θ
=∆t
θ
f=F
к
=
θ
x
θ
θ
;
θ
− . (5.31)
нк
)t(tVc=Q
− , (5.25)
нк
)
θ
− , (5.26)
кн
Q
, (5.27)
)
θ
−
кн
(5.28)
Q
, (5.29)
t
θ
+t
ккнн
, (5.30)
Vf=F
,
Q
В связи с поставленной задачей экономической оценки эффективности теплообмен
ника заданной конструкции может быть использована функция оптимизации, объединяющая
параметры
где
S —
S
—
—
цию теплообменника в единицу времени
F и V,
которую можно записать в виде соотношения
FSSVR
, (5.32)
стоимость подачи единицы массы жидкости в теплообменник
стоимость эксплуатации единицы поверхности теплообменника
массовый расход
Функция оптимизации
.
(5.20)
представляет собой суммарные затраты на эксплуата
.
Для нахождения значений
V и F,
доставляющих оптимум необходимо иметь
;
;
связь между ними. Такого типа связи дают математические модели процессов, причем вид
этих связей будет существенно зависеть от варианта реализации процесса теплообмена и
-
-
105
(
)
=
(
)
=
V
V
ddd
d
v
V
3
Q
F
+
=
x
x
V
(
)
T
(
)
T
const
=
K
()(
)
F
(
)
х
(
)
T
T
∆
(
)
(
)
T
T
прежде всего от модели структуры потока каждой из сред, участвующих в теплообмене. Та
ким образом, первая часть этой задачи включает получение зависимости
VfF
для раз
личных теплообменников. Зависимость должна быть получена для заданной тепловой
нагрузки на теплообменник, характеризующийся заданными параметрами продукта: темпе
ратурой начальной и конечной, и конструкции: теплоемкостью и расходами
После того, как зависимость
VfF
найдена, можно определить необходимые
условия оптимизации. Для этого продифференцируем критерий оптимизации
приравняем полученное выражение нулю
В результате получим уравнение
V
opt
.
.
R
d
(5.10),
+=
d
SS
F
,
F
F
0
=+
. (5.33)
F
SS
которому должно удовлетворять
Теплообменник с идеальным перемешиванием
продукт
,,
p
0
TcV
к
хладоноситель
p
к
T
x
0
,,
TcV
xxx
c
p
,
м
/с —
объемный расход
,
кДж/м3с
—
—
тепловая нагрузка
FSVSR
объемная теплоемкость
.
.
.
R по V и
F
opt
и
;
;
0
0
T
х
Рис. 5.12.
0
к
Допущение
Температурный график
Принципиальная
схема аппарата
—
задано
—
—
задано
задано
⇒ Q —
:
1.
структура
го перемешивания
2.
cc ,
3.
pxp
величины постоянные
T
задана
потоков продукта и хладоносителя соответствует модели идеально
;
;
.
рами (идеальное перемешивание
Модель с сосредоточенными парамет
).
Общее количество теплоты, которое
к
к
необходимо передать от продукта к хладоноси
телю (тепловая нагрузка аппарата
).
Рис. 5.13.
Распределение температур
-
-
-
-
-
-
к
0
p
С другой стороны это же количество теплоты передается за счет теплопередачи
)TV(Tc=Q
−
. (5.34)
106
()(
)
()(
)
(
)
()()()(
)
()()(
)
õ
()(
)
(
)
()(
)
(
)
T
T
V
V
где
=ν
(5.43) и
к
В свою очередь расход хладоносителя
х
к
)TKF(T=Q
− . (5.35)
х
к
0
)T(TcV=Q
−
х
pxx
0
?=T
(5.36)
х
Математическая модель теплообменника
Из уравнения
Решим
(5.34) и (5.37)
Уравнение теплового баланса в этом случае будет выглядеть как
Отсюда
(5.34), (5.35), (5.36)
0
p
( )
хpх
х
относительно
к
( ) ( )
х
( ) ( )
к
0
T=T
х
0
T=T
p
к
x
можно получить
кк
0
хк
ê
T
0
( )
T
KF+
1
1
KF+
1
1
к
+T=T
x
KF+
KF+
Vc
( )
T
( )
х
( )
p
cV
pxx
0
с
VT
+
cV
хх
0
0
сVT
+
cV
хpхх
( ) ( )
00
( )
−
к
)TKF(T=)TV(Tc
−−
к
ххх
Vc
Vc
, (5.37)
х
к
)TKF(T=)T(TVc
−−
+
11
+
11
. (5.38)
х
11
Vc
pp
, (5.39)
pp
11
Vc
ppхх
. (5.40)
ppхх
00
к
TTcV=TTVc −−
. (5.41)
х
к
TT
. (5.42)
Подставим
к
−
TT
0
−
(5.41) в (5.40) и
0
x
.
к
решим полученное уравнение относительно
cV
νK
⇒
Vc
ν>F
pxx
cV
pxx
−1
p
cV
pxx
10 >
Vc
.
p
=F , (5.43)
F
Определим точку подозрительную на экстремум. Для этого продифференцируем
получим
''
uVVuy−
2
y =
u
;
'
=
107
−
d
=
F
d
V
d
c
p
x
−=
x
K
Vc
1
2
cV
xx
p
p
. (5.44)
−ν
1
Подставим
Обозначим
Из решения уравнения
Кроме того, существует еще одна точка подозрительная на экстремум
(5.43) в (5.44),
c
x
p
d
Vc
=ν
,
p
(5.47),
после указанного преобразования получим выражение
x
S
F
S
x
V
V
c
SS
−+
F
cV
p
xx
Vc
p
c
p
x
f
=
K
2
V
x
d
получим
Vc
=
x
1
ν
c
Vc
=
x
2
ν
c
x
p
K
−ν
и
V
x
1
cV
xx
p
Vc
p
2
S
F
S
x
запишем уравнение
+−
f
2
p
+
1
p
p
−
1
p
c
S
F
S
xx
c
S
F
S
xx
0
=
2
1
−ν
c
x
p
=−
K
. (5.45)
01
. (5.46)
)1(2
0
=
. (5.47)
5,0
x
p
, (5.48)
K
5,0
x
p
. (5.49)
K
Vc
Vν=
x
3
p
. (5.50)
c
x
p
Проверим все точки подозрительные на экстремум по условиям достаточности. Це
лесообразно проверку провести исходя из физического смысла решаемой задачи. С этой це
лью вернемся к соотношению
cV
xx
p
1
>ν
Vc
p
Vc
>
V
x
c
ν
,
p
. (5.51)
x
p
V
Следовательно
экстремума
Условие
.
(5.50)
x
,
при проверке по соотношению
3
удовлетворяет соотношению
(5.48).
(5.51) не
может быть точкой
Таким образом, выбираем
V
x
1
значение которого проверяем на достаточность по значению второй производной целевой
функции
следовательно
является точкой экстремума. Подставим
чение для оптимальной площади
2
d
d
V
R
2
x
cV
Vc
c
p
−ν=
p
p
xxx
012
Vc
>ν
, (5.52)
p
,
VV
xx
1
(5.41) в
opt
, (5.53)
соответствующее выражение и получим зна
-
-
,
-
108
xxx
+
=
Z
Z
opt
K
ν
dl l
(
)
T
(
)
(
)
T
(
)
F
l
(
)
T
(
)
(
)
(
)
T
Очевидно, что
(5.47) и (5.52)
V
F
opt
F
Vc
opt
Рис. 5.14.
оптимального теплообменника (для заданных условий
Теплообменник типа смешение–вытеснение
идеальное вытеснение
0
0
T
х
к
Рис
. 5.15.
Структурная схема
проектируемого теплообменника
Функция оптимизации
Изменение энтальпии
=
жидкости по длине аппа
рата, Вт/м
5,0
K
p
S
x
1
+
c
S
opt
Vc
=
K
ν
F
зависят от компоненты
KS
Z =
x
. (5.55)
cS
x
pF
. (5.54)
pF
x
Z
p
Графическая интерпретация решения для выбора
Температурный график
0
к
T
х
T
х
0
T
х
идеальное
смешивание
Рис
. 5.16.
Распределение температур
-
FSVSR
Теплота, передаваемая от тепло
носителя на единицу длины по
верхности теплообмена, Вт/м
-
-
)
к
к
T
х
~
109
(
)
(
)
ò
()(
)
(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
()(
)
T
T
(
)
0
>
F
x
CV
Количество теплоты, передаваемое в единицу времени хладоносителю
личество теплоты) можно записать в виде
Количество теплоты
Q,
т
которое потерял теплоноситель в этом случае
Приравняем последние выражения
l
F
KF
l
( )
к
[ ]
∫
0
Проинтегрируем основное уравнение с учетом начального условия
( ) ( ) ( ) ( )
x
Общее уравнение теплового баланса теперь запишем в виде
p
Решая полученные уравнения относительно выходных температур теплоносителя и
хладоносителя имеем
+
( ) ( )
x
( )
ê
к
=
0
T=T
T
( )
TT
x
T
0
После преобразований найдем связь
=F
=
ν
Учитывая условия физической реализуемости объекта получим
1
Продифференцируем
d
d
(5.64) по
F
V
x
;
ν
V
c
x
K
dT
x
=
pxx
dl
l
KF
=q
l
( )
x
ккк
( )
к
0
( )
T
x
0
( )
VC
T
CV
+
VC
0
( )
0
VC
x
CV
VC
CV
K
к
−
( ) ( )
0
−
VC
p
CV
p
получим
,
1ln
−−=
ν
к
l
F
F
( )
к
( )
−
∫
0
p
TTT=T exp
CV
pxx
pxx
CV
p
xx
p
TT
x
<
xx
x
0
TTVC=Q −
p
0
x
exp11
exp11
xx
exp11
1
−−
1ln
0
к
1
;
Vc
pp
cV
p
xx
TTKF
−
x
. (5.56)
q
( )
dllTT
. (5.57)
все ко
(
к
. (5.58)
( ) ( )
( )
−−−
к
0
TTVC=dllTT
−−
KF
. (5.59)
. (5.60)
CV
pxx
0
x0xTTl==
00
к
TTCV=TTVC −− . (5.61)
x
xpxx
KF
CV
pxxp
; (5.62)
pxxp
KF
−−−+
CV
pp
CV
xx
pp
. (5.63)
xx
, (5.64)
−−
exp111
CVVCν
−−
KF
−−+
ppxx
pxx
Vf=F .
x
CV
KF
CV
p
xx
1
>ν
VC
p
+
. (5.65)
, (5.66)
xx
−ν
1
Vc
11
cV
p
p
-
110
xxx
x
z
min
z
(
)
()(
)
(
)
d
R
d
V
d
Подставим
Уравнение
фическим методом
Для условий конкретной задачи
(5.67) в (5.68) и
KS
x
Sc
Fp
(5.70) не
может быть решено аналитически, поэтому воспользуемся гра
приравняв к
KS
x
Sc
x
d
V
1ln
Fp
Vc
−+
ν
Z
=
1ln
y
Z
известно, поэтому уравнение
образовать относительно неизвестной величины
R
0,
cV
;
−=yyZ
ν=
y
d
F
SS
+=
F
0
=
получим
p
p
xxx
Vc
ν
+
cV
p
Vc
p
, (5.67)
d
V
. (5.68)
+
xx
11
cV
p
xx
Vc
p
11
p
=
. (5.70)
ycV
p
xx
11
, (5.71)
−
1
0
=
. (5.69)
1
−ν
. (5.72)
(5.71)
можно пре
Vc
p
где
y
решение уравнения
Так как зависимость
(5.71)
=
V
x
opt
Vc
−=
yF
opt
z
ν
соответствующее заданному значению
1ln
( )
y
z
ν
c
p
, (5.73)
p
x
1ln
1
−
. (5.74)
yK
z
z.
11
+
−=yyyf
(5.75)
−
1
найдена однозначно, то она может быть стандартизирована. Перерасчет оптимума значения
R
в этом случае, сводится к простой графической операции, определяющей
дующим расчетом значений
Для условий предыдущей задачи определим
смешение
«
—
вытеснение
».
(5.73), (5.74).
0
95
=T
( )
к
15
=T
и
px
=V
F
500
=C
opt
для теплообменника
4190
optVx
0
3500
=C
p
к
14,510
=T;=T
xx
y
с после
строим график
yf
-
-
,
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]