Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
Dνν
D
D
ν
t
∆
C
d
τ
D
*
1.
Fo
— безразмерное время, характерное для диффузионных процессов переноса
массы, необходимое для характеристики нестационарных процессов диффузии. Характеризует изменение скорости потока диффундируемой массы во времени.
2. Pe* — отношение потоков конвективного и диффузионного переноса массы:
vl
vl
=
= .
*
Pr
— отношение интенсивностей процессов переноса импульса и массы в рас-
3.
PrRePe ⋅=
сматриваемой системе. Находится по физическим параметрам и характеризует подобие полей
физических величин:
µ
Диффузионный критерий Nu
4.
ν
=
=Pr . (3.55)
Dρ
D
*
— отношение потока массы через пограничный слой
к эффективному диффузионному потоку массы через пограничный слой.
Примечание 1: в некоторых случаях удобнее использовать в критерии Нуссельта не
коэффициент массоотдачи, а коэффициент массопередачи.
В этих случаях используют критерий Шервуда:
Kl
=Sh (3.56)
Примечание 2: если массообмен происходит в условиях естественной конвекции, вы-
званной разностью плотностей растворов, то вместо Re вводят критерий Грасгофа
3
Gr =
*
где β
— коэффициент объемного расширения жидкости, 1/К;
∆tβgl
,
2
— температурный напор (разность температур между стенкой и жидкостью (или
наоборот), которой определяется разность плотностей жидкости, К);
l — определяющий геометрический размер (для трубы — ее диаметр, для вертикаль-
ной плоской стенки — ее высота).
В большинстве случаев решение уравнений переноса массы можно представить в виде критериального уравнения относительно определяемых критериев Nu
),f(= ...Г ,Г Gr,,Re Pr ,FoNu
21
*
либо Sh*:
),(= ...Г ,Г Gr,,Re Pr ,FoSh
(3.57)
21
3.2. Моделирование процесса переноса массы
Математическое описание процесса переноса вещества можно получить на основа-
нии ранее записанного общего уравнения переноса, при этом в качестве потенциала переноса
принимаем концентрацию распределяемого вещества
dC
r
( )
:
I+q=Cv+
{ divdiv −
(3.58)
V
Молекулярная диффузия, как известно, процесс самопроизвольного переноса молекул распределяемого вещества (не связанного с движением потоков среды) из области повышенной концентрации потенциалов в область пониженной концентрации, то есть в направлении установления термодинамического равновесия в системе.
зависит от:
1) свойств распределяемого вещества и распределяющих фаз;
2) температуры;
3) давления.
Таким образом, на основании уравнения Щукарева получим следующую модель:
51
x
x
τ
x
=
V
C
Dxτ
l
Dlτ
D
DVlDxVCxx
Fo
Pe
Dνν
ννD
x
∂
x
∂
)y(y=∆y
− , )x(x=∆x
рг
− . (3.59)
рг
В этом случае перенос распределяемого вещества осуществляется за счет перемещения макрообъемов распределяющих фаз, а также и распределяемого вещества в пределах одной фазы:
dτ∆CFβ=
⋅⋅⋅dM
. (3.60)
Для случая одномерного переноса
2
C
∂
∂
C
∂
v+
∂
C
∂
D=
2
∂
. (3.61)
I+
Vx
Записанные уравнения решены только для простых случаев, поэтому для расчета
процесса массопереноса чаще используются критериальные уравнения, коэффициенты, в которых определяются экспериментально.
Для получения критериев, с помощью которых будут обобщаться экспериментальные данные необходимо выполнить подобное преобразование этих уравнений.
Порядок подобного преобразования дифференциального уравнения
1) Делят левую часть уравнения на правую;
2) в полученном комплексе вычеркиваются символы дифференцирования, разности и
направления;
3) координата
заменяется на неориентированный в определенном направлении
характерный линейный размер;
0
I
2
C
∂
∂
∂
C
∂
V
x
∂
~
2
∂
2
∂
2
∂
;
2
1
⇒ ,
x
Fo
⇒
τD
=
2
Vl
Pe~~
=
.
*
Поскольку критерий Фурье
зионных нестационарных процессов переноса массы, а критерий Пекле
— это безразмерное время, характерное для диффу-
характеризует
отношение скорости переноса распределяемого вещества за счет конвективной и молекулярной диффузии, то его можно записать так:
=
Vl
.PrRePe =
Vl
=
Эти критерии определяющие в рассматриваем процессе.
Определяемый критерий — критерий Нуссельта Nu. Его определяют из граничных
условий:
q=q ,
м
q=q
к
q=q ,
км
C
DF=βF∆Cdτ
dτ
∂
C
. (3.62)
D=β∆C
∂
Уравнение (3.62) характеризует условия переноса распределяемого вещества фаз, то
есть является граничным условием для уравнения (3.61).
Выполним подобное преобразование уравнения (3.62)
52
,
x
D
D
0
=
τ
0=v
=
V
C
=
ϕ
τ
∂
x
τ
τKlC
Kxτ
β∆C
D
∂
βl
~
C
=
Nu,
∂
.
Г
Г Fo PrReNu
),,,,f(=
… . (3.63)
21
Массопередача в системе с твердой фазой
Отличительной особенностью массопередачи в системе с твердой фазой является то
что этот процесс сугубо нестационарный. В процессе массопередачи концентрация распреде
ляемого вещества внутри частицы изменяется в пространстве и во времени
τ)f(x,=C
Примеры таких процессов
сталлизация
—
экстрагирование, адсорбция, сушка, растворение, кри
.
(3.64)
:
В качестве градиентного закона переноса вещества внутри твердой частицы исполь
зуется закон массопроводности: удельный поток распределяемого вещества, имеющий место
в твердой фазе за счет массопроводности, пропорционален градиенту концентрации
где
K —
диффузии
его величина зависит от структуры твердого пористого тела
ке
коэффициент массопроводности (имеет размерность коэффициента молекулярной
).
Часто
K
называют коэффициентом
Пусть при
C=C
.
0г0
средняя концентрация распределяемого вещества в твердой частич
При обтекании частицы потоком распределяемого вещества из пограничного
«
CK=q
grad−
, (3.65)
стесненной» диффузии, то есть в отличие от
.
:
слоя она переходит в подвижную фазу, и в частице возникает градиент концентрации
C
∂
∂
уравнением
,
≠
x
который предопределяет возникновение потока переноса
0
(3.65),
следовательно, концентрация распределяемого вещества в частице начнет
q в
соответствии с
изменяться. Причем предельное значение концентрации распределяемого вещества в твердой
C
частице при
∞→
τ
стремится к
p
,
которая определяется из уравнения равновесия
.
Диффузионное уравнение нестационарной массопроводности для твердой частицы
можно получить из общего уравнения переноса при условиях
1.
2.
перенос
3.
4.
;
0
I
;
вещества происходит вдоль оси
x —
.
:
одномерная задача
;
Тогда
C
C)K(=
graddiv −−
, (3.66)
∂
2
C
∂
∂
C
∂
при
K=
2
∂
K = const. (3.67)
Для получения критериев, описывающих процесс переноса в твердой частице, вы
полним подобное преобразование уравнения
C
∂
∂
(3.67) и
2
∂
~
2
∂
граничных условий
2
:
, (3.68)
,
-
-
-
-
-
53
l
x
∂
x
∂
∂
K
C
∆
K
Bi
Fo
C
Bi
Fo
1
2
E
Kτ
д
, (3.69)
=Fo
2
C
− —
K=q
к
∂
уравнение массопроводности
, (3.70)
β∆C=q
—
уравнение массоотдачи
, (3.71)
C
− , (3.72)
K
β∆C=
∂
1
C
K
∂
β∆Cx
1
lβ
=
K
βl
⇒
~
K
βl
=Bi
, (3.73)
где
–
разность концентраций
Bi —
диффузионное число Био
;
.
Диффузионные критерии Био и Фурье должны войти в уравнения, которые описы
вают перенос распределяемого вещества внутри твердого тела, и они являются теоретиче
ской основой для обработки опытных данных по изучению процессов массопередачи
В результате решения диффузионных уравнений массопроводности для простых
случаев получено решение в виде
где
C —
причем
→ —
концентрация распределяемого вещества в момент времени
CC
г
CC →
cp
CC →
—
концентрация в середине частицы
cp
концентрация на границе и
—
средняя концентрация по всему объему частицы
Для упрощения расчетов построены номограммы
*
Fo
Fo
*
Bi
−
CC
p
( )
=E
−
CC
p
н
Fo Bi,
…
,Г,f=
д
, (3.74)
1
τ,
,
.
:
βl
Bi
=
τK,l,β,
*
*
C,CE →
p
н
.
-
-
Рис. 3.3.
Номограмма процесса
54
Bi
l
Bi
l
−
05,0
=
v
=
0
τ
878
0
−
K
K
2.
1.
K
>>1 β>>
<<1 β<<
⇒
лимитирующая стадия
K
⇒
лимитирующая стадия
—
массопроводность
—
массоотдача
;
.
Сопротивление переносу массы вещества равно
ность
Процесс идет в кинетической области. Лимитирующая стадия
1.
.
2.
Процесс идет в диффузионной области. Лимитирующая стадия
3.
Смешанный, диффузионно
—
кинетический процесс
общ
Оценка времени извлечения распределяемого вещества из твердой частицы
Дано: слой монодисперсных частиц сферической формы диаметром
омываются жидкостью
0,1 м.
Пористость материала частиц
(ρ=1000 кг/
3
м
,
0,5.
Плотность твердых частиц
3
10
=µ
Па·с
молекулярной диффузии извлекаемого вещества в воде
ды в расчете на свободное сечение
воде равна нулю
.
— 0,05 м/с.
трация распределяемого вещества в центре ча
стицы уменьшится в
начальная концентрация в частице
Концентрация распределяемого вещества в
Определить время, за которое концен
0
C
м/с;
Рис
. 3.4.
Схема извлечения
распределяемого вещества
из твердой частицы
p
Безразмерная концентрация
C
—
концентрация извлекаемого вещества в центре частицы к моменту времени
;
C
p
—
концентрация распределяемого вещества в растворе
C
—
начальная концентрация распределяемого вещества в твердой частице
н
CC
−
0
=E
СС
−
81
н
н р
===E
f=
0,875
−
βl
Bi ,
=
=R
β
. (3.75)
lK
/
11
+
.
),
порозность слоя
— 3·10
-9м2
/с.
8
x
Bi,Fo,
;
δ
;
.
—
массопровод
—
массоотдача
= 0,4;
1500 кг/
0,8 мм.
3
м
,
Частицы
высота слоя
коэффициент
Скорость движения во
раз при условии, что
8 %.
.
-
.
-
-
-
0,4
=R=l
мм;
—
коэффициент стесненной диффузии
:
55
м
ε
D
D
ν
⋅
10
10
3
l
где
где
—
пористость материала
—
коэффициент молекулярной диффузии
;
.
Экспериментально найденное уравнение подобия
д
Nuд —
диффузионный критерий Нуссельта
Nu ,
д
0,05
w
=w
д
ν
=
Pr ,
D
=
µ
жж
Dρ
ж
ε
Re
0,4
=ν
ж
=
Re
=
v
−
⋅ ,
,
==
µ
ж
ρ
ж
д
⋅⋅
6
εD=K
м
βl
0,125
2R
100,80,125
10
1000
,
3
−
==
3/10,5
м/с
3
−
100
.
м
10/
=с=
м
/с,
2
62
−
,
6
−
10
Pr ⋅
==
9
−
⋅
3
100,33
,
д
3/130,5
⋅⋅⋅⋅ ,
55,56,93100,8100,331000,8Nu
==)(=
9
−
10355,5
=β
DNu
l
⋅⋅⋅
м/с
3
−
100,8
⋅
==
3
−
100,2
⋅
м/с
,
33
−−
Bi
=
Rβ
⋅
εD
⋅
м
100,4100,2
⋅⋅⋅
9
−
0,5103
⋅⋅
3
53100,053
===
⋅
,
Fo = 0,35,
Kτ
=
Fo
,
2
2322
−
⋅⋅⋅
)(
100,40,35FoFo
9
−
⋅
101,5
=
37c
c.
K
R
=
l
=τ
=
K
Метод послойной отработки
Концепция послойной отработки используется для описания процесса переноса
внутри твердой пористой частицы, в которой распределяемое вещество находится в твердом
состоянии (рис
. 3.5).
56
ся, что внутри частицы имеется четкая граница
экстрагент
),
ого
ξ
s
концентрация распределяемого
концентрация распределяемого
lx=
x
τ
d
τ
d
τ
dx
B
A
,
l
s
20
ξ
C
x
l
C
C
p
зона
1
C
(
C
ξ
твердый извлекаемый компонент
причем эта граница перемещается внутри твер
дого тела
вещества в жидкости
зона
2
го вещества от границы в поток, который омы
вает частицу
вещества на границе жидкость
стица
вещества на границе зоны
При послойной отработке предполагает
-
.
C
p
—
концентрация распределяем
,
—
В зоне
текущая координата границы
1
только перенос распределяемо
.
.
C
—
—
твердая ча
,
C
ξ
—
1 и
зоны
2.
частица
жидкость
;
Рис. 3.5.
Схема послойной отработки
Допущения: материал частицы изотропен и равномерно распределен внутри твердой
частицы
.
Рассмотрим извлечение распределяемого вещества из пластины
.
Подобная модель имеет место при проведении таких процессов, как экстрагирование
адсорбция, сушка, кристаллизация
При
процесс считается завершенным. Распределение концентрации распреде
.
ляемого вещества в первой зоне можно рассчитать по уравнению массопроводности для слу
чая одномерного переноса
Считают, что
:
2
C
∂
∂
dξ
—
скорость перемещения границы растворения
C
∂
K=
. (3.76)
2
∂
— не
слишком
-
-
-
-
-
,
-
-
велика, поэтому распределение концентрации в первой зоне можно считать квазистационар
ным, следовательно
,
После интегрирования
(3.78),
определяются из граничных условий
dC
0
получим
.
57
0
=
. (3.77)
2
Cd
K=
. (3.78)
2
B+Ax=C(x)
, (3.79)
-
2
(
)
0=x
(
)
−
−
M
í
0
=
τ
(
)
−
Скорость движения фронта извлечения
дующего
Уравнение массопроводности для зоны
∂
∂
x
, (3.87)
x
∂
−
ξ
l
=
ξ
)
(
ξ
γ
C
—
концентрация в зоне
const,0
=C=xC
202
ξ
=Cξ=τ)(ξξC
const0,
=C=τ)(C
ss
const
,
, —
,
2
остается величиной постоянной
граничные условия
(3.80)
:
0 ; (3.81)
C=BC=C ⇒
ss
C+Ax=C(x)
, (3.82)
s
ξ
C+Aξ=C
, (3.83)
s
CC
s
ξ
=A
, (3.84)
ξ
CC
ξ
=C(x)
s
ξ
. (3.85)
C+x
s
времени
Пусть
γ —
τ, т.е.
—
M
—
Массой
1
относительная доля распределяемого вещества в пластине к моменту
M
=γ(τ)
масса вещества в пластине в момент времени
M
,
н
τ;
начальное содержание распределяемого вещества (при
=
ξ
−
1
. (3.86)
l
.
M в
20
=τγ
( )
20
первой зоне пренебрегаем
(
границы) можно определить из сле
соотношения
ξlC
lC
.
1:
−=
KF
),
тогда
C
τ
ddM
откуда
dM , (3.88)
C
KF
− , (3.89)
∂
∂
C
x
∂
dξξC=
20
FdξC=dτ
20
CC
ξ
s
≈
. (3.90)
ξ
58
−
−
ξ
=
x
l
=
ξ
Рис. 3.7.
d
τ
m
τ
τ
ξ
τ
Подставляя
(3.90) в (3.89),
получаем
ξ
K
ξ
ξ
K
C
Интегрируя
(3.92),
получаем искомое время
2
=τ
2
– время отработки материала, когда
Если
, то время полного извлечения распределяемого вещества из частицы
.
=τ
m
2K
Из выражения для τ (3.93) следует
2 −
=ξ
т.е.
По мере отработки твердой частички скорость движения границы замедляется.
Рис. 3.6. Схема возможных изменений скорости движения границы
Один из вариантов интен-
сификации массообмена
M
=γ
M
н
ξ
,
−1 из уравнения (3.95) получаем
=
l
CC
s
CC
s
20
, (3.91)
dξC=dτ
20
ξdξ=dτ
, (3.92)
Cξ
20
( )
−
2
( )
C
20
– (3.93)
KCC
sξ
Cl
20
. (3.94)
CC
−
sξ
)KC(C
sξ
, (3.95)
τ
τξ ~
.
dξ
0
Соотношение твердых частиц и воды
должно обеспечивать const≈
C .
p
Ставим мешалку, чтобы быть уверенными в том, что диффузия на границе частицажидкость не влияет на процесс массопроводности.
Учтя понятие относительной доли
распределяемого вещества в пластине
59
l
Если получилась прямая, изображенная на
схеме, то можно сказать, что процесс идет по
K
a
створ
Концентрация растворенного вещества в
*
(
)
d
τ
β
d
rd2
=
(
)
δ
β
*
γ
1
w
CC
−
2K
1 . (3.96)
τ
=γ
−
Если const=K , то получаем линейную зависимость γот
Рис. 3.8. Схема послойной обработки
При экспериментальном определении коэффициента массопроводности
данные откладываются в координатах
. Существование режима послойной отработки будет установлен из расположения опыт-
ных точек около прямой линии.
Модель массопереноса для диффузионной области
В этом случаи наибольшее сопротивление массопереносу оказывает диффузионный
пограничный слой.
1.
механизму послойной обработки.
τ−γ
. При этом tg угла наклона прямой будет равен
2.
sξ
τ
C
20
τ
.
На поверхности твердого тела ра
C
принимаем насыщенным
жидкости
C
постоянна.
p
.
опытные
C
C
p
Рис. 3.9. Схема с диффузионным
обтекания их жидкостью, то для реальных частиц учесть эти факторы сложно. Предположим,
что частицы монодисперсные сферические с диаметром
пограничным слоем
Процесс растворения описываем уравнением массоотдачи
Так как величина
Сфера
3.
Изменим массы частиц пропорционально радиусу:
drFρ=
Приравняем правые части уравнений (3.97) и (3.98)
определяется формой и размерами частиц, а также условиями
.
dM
т
CCFβ=
−⋅−
p
⋅⋅dM . (3.98)
. (3.97)
.
drFρ=dτCCFβ
⋅⋅−⋅− , (3.99)
тp
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]