Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
1
2
3
2
1
2
3
2
1)
точкой максимума, если, начиная с углового минора порядка
(
п–т
)
угловых миноров матрицы
B
H
образуют знакопеременный числовой ряд, знак первого
члена которого определяется множителем
2)
точкой минимума, если, начиная с углового минора порядка
дующих
(
п–т
)
угловых миноров матрицы
т
+1
(–1)
H
;
B
определяется
множителем
(2т+1),
(2т+1),
(–1)т.
последующие
знак после
Сформулированные условия оказываются достаточными для идентификации экстре
мальной точки, но не являются необходимыми. Иными словами, стационарная точка, не удо
влетворяющая этим условиям, может быть экстремальной
.
Существуют другие условия для идентификации экстремальных точек, которые яв
ляются как необходимыми, так и достаточными. Однако практическое использование этих
условий в ряде случаев связано со значительными вычислительными трудностями
.
Один из методов, которые иногда применяются для решения систем уравнений, вы
ражающих необходимые условия наличия экстремума, заключается в последовательном вы
боре числовых значений λ
повторяется до тех пор, пока вектор
,
после чего данная система решается относительно
X,
соответствующий некоторому набору значений мно
X.
Процедура
жителей λ, не будет удовлетворять всем ограничениям-равенствам. Однако при увеличении
количества ограничений объем необходимых вычислений существенно возрастает. В таких
случаях следует обратиться к другим численным методам решения систем уравнений
например, к методу Ньютона-Рафсона
Пример 5.
4.
Рассмотрим следующую задачу
.
z =
:
2
2
x
x
+
2
x
+
→
min
-
-
-
-
-
-
-
,
при ограничении
■ При этом функция Лагранжа
L
(
X,
λ
) =
Необходимые условия наличия экстремума имеют вид и системы
дL/дх1= 2х
1
– 4
λ
= 0, дL/дх
дL/д
решениями которой являются векторы
X
,
λ
(
= (2; 2; 1; 1), (
0
0)1
Чтобы использовать достаточные условия, вычислим элементы матрицы
Поскольку
знак последних
разом, в точке
т =
(3 – 1) = 2
(
X
,
λ
0
0)1
1 и
п =
3, то
угловых миноров определяется множителем
= (2; 2; 1; 1)
4
х1+
+2х
– 14 = 0.
3
2
x
2
2
x
x
+
2
x
+
– λ(4
х1+
2
x
+2х
– 14).
3
= 2
х
– 2
λх
= 0,
λ
= –(4х1+
2
2
2
+2х
x
2
дL/дх
2
– 14) = 0,
3
= 2
х
3
– 2λ=0,
3
X
,
λ
= (2; –2; 1; 1), (
0
0)2
X
,
λ
0
= (2,8; 0; 1,4; 1,4).
0)3
x
−
Н
В
=
x
2
стационарная точка является точкой минимума, если
2240
2
0024
.
λ
02202
2002
т
(–1)
= –1.
Таким об
-
440
024
= –
32 < 0 и
004
В точке
(
X
,
λ
= (2; –2; 1; 1)
0
0)2
91
2440
0024
= – 64 < 0
0004
2002
.
bzd
∗
bzd
∗
bxd
∗
bzd
∗
−
Наконец, в точке
−
440
024
= – 32 < 0 и
−
(
X
,
λ
0
004
= (2,8; 0; 1,4; 1,4)
0)3
−
2440
0024
= – 64 < 0.
0004
2002
Отсюда следует, что
040
024
=
12,8 > 0 и
− 8,000
(
X
и (
X
–
0)1
точки минимума. Тот факт, что
0)2
−
2040
0024
08,000
2002
=32 > 0
(
X
.
0)3
не
удовлетво
ряет достаточным условиям наличия максимума или минимума, не означает, что данная точ
ка не является экстремальной. В таком случае следует обратиться к достаточным условиям в
другой формулировке
Рассмотрим
классическую задачу оптимизации
при ограничении
Предположим, что условный экстремум достигается в точке
ствующее экстремальное значение функции
(5.5)
величина
b
тельно, и экстремальное значение
∗
x
∗
=
x
1
1
(b),
∗
x
=
x
2
С другой стороны, в силу равенства
вания имеем
:
Кроме того, в точке экстремума Х
этих равенств для
Подставляя выражения
находим
чаем
d
=
λ
d
= λ.
.
экономический смысл
множителей Лагранжа. Для этого рассмотрим
(
z = f
(
х
g
1
∗
z
z
= f(
может меняться. Тогда координаты
∗
z
2
∗
(b),
∗
функции
= f(
∗
x
1
z
(b),
x
∗
2
(b)).
Поэтому производная функции
z=f
d
дf
=
дx
1
(5.17) g(
dx
дg
⋅
db
дx
1
∗
выполняются необходимые условия
п = 2 и т = 1
d
дg
дx
1
⋅
1
+ λ
получаем
(5.16) в
dx
дg
дx
2
⋅
db
2
:
дf
=
дx
1
равенство
=
λ
⋅
1 = λ.
дg
λ
дx
1
x
,
x
)→max (min) (5.16)
1
2
,
х
) =
b.
2
∗
x
станут величинами, зависящими от
∗
,
x
).
1
∗
x
1
Допустим, что в ограничениях
2
∗
и
x
точки экстремума, а следова
2
∗
∗
Х
= (
x
∗
,
x
).
1
2
(5.4)
dx
1
⋅
+
db
∗
х
,
х
1
дg
1
+
дx
2
dx
дf
дx
∗
) = b,
2
dx
⋅
2
⋅
. (5.18)
db
2
откуда после дифференциро
2
=1. (5.19)
db
(5.16). Из
дf
,
дx
(5.17) и
Для задачи
дg
=
λ
. (5.20)
дx
2
2
учитывая соотношение
(5.11) и (5.12)
аналогично полу
(5.17)
Соответ
b, т.е.
(5.13),
-
-
-
-
-
-
Если
z
интерпретировать как доход, а
жители Лагранжа λ
сурса
i-го
вида увеличится на единицу
показывают, как изменится максимальный доход, если количество ре
i
.
b
—
как объёмы некоторого ресурса, то мно
i
-
-
Ограничения в виде неравенств. Условия Куна-Таккера
Обобщим
равенств. Рассмотрим вначале необходимые условия Куна-Таккера, которые позволяют
определять стационарные точки в задаче НП с ограничениями в виде неравенств. Эти усло
метод множителей Лагранжа на случай задачи с ограничениями в виде не
92
-
-
дX
д
λ
вия являются также и достаточными, если выполняются определённые правила, приведённые
ниже
.
Рассмотрим следующую задачу
при ограничениях
:
z = f(X
g(X
)→max
) ≤ 0.
Ограничения-неравенства можно преобразовать в равенства с помощью неотрица
2
, …,
S
2
S
(≥ 0) —
i
i-го
ограничения
2
S
т
2
].
)Т,
дополнительная (ба
g
(X) ≤ 0 и
i
пусть
тельных дополнительных (балансовых) переменных. Пусть
лансовая) переменная, которая прибавляется к левой части
2
S
= (
S
,
S
, …,
S
2
т
где
1
т —
общее количество ограничений-неравенств
Следовательно, функция Лагранжа записывается в виде
L(X, S,
При ограничениях
(
минимизации) является неотрицательность
g(X) ≤ 0
необходимым условием оптимальности в задаче максимизации
λ
) = f(X) – λ[g(X) +
2
)Т и
S
= (
S
,
S
1
2
.
(
соответственно неположительность) множите
лей λ. Действительно, рассмотрим задачу максимизации. Т.к. множители λ выражают ско
рость изменения целевой функции
z = f(X
) по
отношению к изменению
дf
λ
=
,
g, т. е.
дg
то как только правая часть ограничения
g(X) ≤ 0
увеличивается и становится больше нуля
область допустимых решений задачи расширяется и, следовательно, оптимальное значение
целевой функции не может уменьшиться. Это значит, что λ ≥
0.
Аналогично в случае задаче
минимизации при увеличении правой части ограничения оптимальное значение целевой
функции не может увеличиться, откуда следует, что λ ≤
ют вид равенств, т. е
. g(X) = 0, то
компоненты вектора λ по знаку не ограничены
0.
Если же ограничения задачи име
.
Указанные выше ограничения на вектор λ должны рассматриваться как часть необхо
димых условий Куна-Таккера. Теперь получим остальные условия
лучаем
Вычисляя частные производные функции
дL
=∇f(X) –
λ
∇g(X
) = 0,
дL
дS
= – 2
i
λ
iSi
L
по
X, S и λ и
= 0, i=1
÷m;
Из второй группы уравнений следуют такие результаты
Если
1.
λ
≠
i
0, то
2
S
= 0.
i
Это означает, что соответствующий этому ограничению
.
приравнивая их к нулю, по
дL
= – (g(X) + S2) = 0.
.
ресурс является дефицитным и, следовательно, полностью исчерпан (ограничение имеет вид
равенства
довательно, не влияет на значение целевой функции
Полученные условия подтверждают предыдущий результат, ибо если λ
2
S
= 0.
i
).
2.
Если
S
2
i
> 0,
то λ
= 0.
Это значит, что
i
i
-й
z = f(X
Из второй и третьей групп уравнений следует, что
λ
Аналогично при
g
(X) < 0
i
2
S
i
igi
> 0 и,
(X) = 0,
следовательно, λ
I = 1÷m.
ресурс дефицитным не является и, сле
) (т. е.
дf
λ
=
дg
= 0).
i
i
> 0,
то
g
= 0.
i
i
(X) = 0
i
или
Теперь для задачи максимизации можно сформулировать условия Куна-Таккера, не
обходимые для того, чтобы векторы
X и λ
∇f(X
λ
igi
определяли стационарную точку
λ ≥
0,
) –
λ
∇g(X
)= 0,
(X) = 0,
(X) ≤ 0.
g
i = 1÷m,
:
(5.21)
Можно убедиться в том, что эти условия применимы также к задаче минимизации, за
тем лишь исключением, что вектор
λ
должен быть неположительным. Как в случае задачи
-
-
-
-
,
-
-
-
-
-
93
[
]
=
i
1
[
]
+
=
r
i
1
максимизации, так и задачи минимизации, множители Лагранжа, соответствующие ограни
чениям в виде равенств, по знаку не ограничены
.
Необходимые условия Куна-Таккера являются также достаточными, если целевая
функция и область допустимых решений
занными с выпуклостью и вогнутостью. Эти свойства указаны в таблице
Свойства целевой функции и области допустимых значений
Тип оптимизации
Максимизация
Минимизация
Целевая функция
Вогнутая
Выпуклая
(
ОДР) обладают определенными свойствами, свя
5.2.
Требуемые свойства
Выпуклое множество
Выпуклое множество
ОДР
Таблица
5.2
Напомним, что функция
выпуклой (вогнутой
),
если для любых точек
справедливо неравенство
f
Если последнее неравенство при
строгое, то
f(X)
называется строго выпуклой (строго вогнутой
(
λ
X'+
f(X
(1 – λ)
),
определённая на выпуклом множестве
X' и
X''
из
этого множества и любого
X''
) ≤ [
λ
f(X'
)+(1 – λ)f(
0<λ<1 и
X''
любых
)] ≤ (f(
X' и
λX'+
X''
(1 – λ)
(
).
X'≠X''
М,
называется
0 ≤
λ
X''
).
)
выполняется как
≤
1
Обычно легче определить, является ли целевая функция выпуклой или вогнутой, чем
доказать, что ОДР представляет собой выпуклое множество. Между тем выпуклость ОДР
может быть установлена путем исследования функций, формирующих ограничения. В связи
с этим ниже приводится перечень соответствующих требований, проверка выполнения кото
рых на практике не представляет больших трудностей. Для того чтобы установить эти требо
вания, сформулируем задачу НП в общей постановке
:
-
-
-
-
при ограничениях
При этом функция Лагранжа имеет вид
(X, λ) = f(X) –
L
где λ
—
множитель Лагранжа, ассоциированный с
i
z = f(X
g
g
r
∑
)(
(X) ≤ 0,
g
i
(X) ≥ 0,
i
(X) = 0,
i
2
+λ
SXg
iii
)→max (min)
i = 1÷r,
i = r+1÷р,
i = р+1÷ т
p
–
∑
i-м
ограничением
.
–
∑
m
λ
pi
+=
1
Xg
)(
,
ii
2
−λ
SXg
)(
iii
.
Требования, которые устанавливают достаточность условий Куна-Таккера, приведены в таб
лице
5.3.
Таблица
5.3 не
охватывает все случаи, упомянутые в таблице
5.2.
Это связано с тем
обстоятельством, что ОДР может быть выпуклой и, в то же время, не соответствовать пере
численным в таблице
Требования, приведенные в таблице
ограничения порождают вогнутую функцию Лагранжа
5.3
требованиям к функциям
5.3,
.
обусловлены тем, что соответствующие
L(X, S, λ) в
случае максимизации и
выпуклую функцию в случае минимизации. Справедливость этого утверждения можно про
верить непосредственно, учитывая следующий очевидный факт: если
функция, то функция λ
(Х)
оказывается выпуклой при λ
igi
> 0 и
i
вогнутой при λ
gi(Х) —
< 0. С
i
выпуклая
помо
щью аналогичных рассуждений нетрудно обосновать все остальные требования. Следует
-
-
-
-
94
32221
особо отметить, что линейная функция по определению является как выпуклой, так и вогну
той. Заметим также, что функция
Требования достаточности условий Куна-Таккера
Тип оптимизации
Максимизация
Вогнутая
Минимизация
Выпуклая
– f —
выпуклая, если функция
f(X) gi(X)
Выпуклая
Вогнутая
Линейная
Выпуклая
Вогнутая
Линейная
f
вогнутая, и наоборот
Требуемые свойства
≥
0 (1 ≤ i ≤ r)
≤
0 (r + 1 ≤ i ≤ р)
Нет ограничений
≤
0 (1 ≤ i ≤ r)
≥
0 (r + 1 ≤ i ≤ р)
Нет ограничений
λ
i
(р + 1 ≤ i ≤ т)
(р + 1 ≤ i ≤ т)
.
Таблица
5.3
Пример
при ограничениях
5.5.
Рассмотрим следующую задачу
z(X) =
g1(X) = 2
х
+
х
– 5 ≤ 0, g2(X) =
1
2
g4(X) = 2 –
xxx ++
х
+
1
х
≤
0, g5(X) = –
2
2
→
min
х
– 2 ≤ 0, g3(X) = 1 –
3
х
≤
0.
3
х
≤
0,
1
Поскольку мы имеем дело с задачей минимизации, то λ ≤
(
λ
,
λ
,
λ
,
λ
,
λ
1
2
3
4
) ≤ 0, (2
5
После упрощений получаем
2
х
– 2
1
λ
(2
х
+
х
1
х
– 5) = 0,
2
= 0,
3
λ
откуда
х
1
= 1,
1
х
2
= 2,
х
, 2
х
, 2
х
) – (
λ
,
λ
,
λ
,
λ
,
λ
3
4
λ
1g1
1
=
λ
2
2g2
3
=...=
1
2
λ
= 0, g(X) ≤ 0.
5g5
λ
,
λ
,
λ
,
λ
,
λ5 ≤
1
2
3
λ
–
λ
+
λ
= 0, 2
х
–
х
3
= –2,
3
≤
2
2,
λ
1
λ
4
1
2
3
λ
(
х
+
х
1
≤
λ
5
5,
= 0,
3
х
– 2) = 0,
+
1
λ
2
2
х
+
х
1
2
=
λ
=
1
2
4
+
λ
4
λ
(1–
3
х1 ≥
1,
= –4.
0,
= 0, 2
х
) = 0,
1
х
2
х
3
≥
2,
5
–
λ
х3 ≥
)
λ
4
−
+
2
(2–
λ
0,
0.
= 0,
5
х
) = 0,
2
Запишем
012
101
001
−
λ
010
−
5х3
100
:
= 0,
= 0,
Так как и функция
z(X), и
ОДР
g(X)≤0
являются выпуклыми, то функция
L(X, S, λ)
также должна быть выпуклой, и найденная стационарная точка определяет глобальный
условный минимум
.
К сожалению, данный пример показывает, что решение системы, порожденной усло
виями Куна-Таккера, сопряжено со значительными трудностями. Следовательно, описанный
метод не подходит для численных расчетов. Для нелинейных задач с ограничениями в виде
неравенств в общем случае нет достаточных условий существования экстремума (подобных
условиям для задач без ограничений и задач с ограничениями-равенствами
за исключением случаев перечисленных в таблице
5.2 и
случаев, когда такие условия можно
).
Таким образом
установить заранее, не существует какого-либо приемлемого способа проверить, какой оп
-
-
,
-
95
тимум получен с помощью того или иного алгоритма нелинейного программирования
кальный или глобальный
.
— ло-
Квадратичное программирование
В
ряде случаев теоретические построения Куна-Таккера служат основой для создания
эффективных алгоритмов. Хорошим примером использования необходимых условий Куна
Таккера является квадратичное программирование, задача которого имеет вид
С
z =
при ограничениях
где
Функция
nin
∑ ∑
j
= =
1 1
X
T
DX =
и положительно определённой
XTDX,
xxd
jiij
.
X = (
х
, …,
1
А
=
где
D —
Матрица
— в
х
1
симметрическая матрица, является квадратичной формой
D
ся строго выпуклой по переменным
X + XTDX→max (
АX ≤
b, X ≥ 0,
)Т, С = (
п
...
...
с
, …,
1
aa
n
111
.........
, D =
aa
mnm
будет отрицательно определённой в задаче максимизации
задаче минимизации. Это означает, что функция
X в
случае задачи минимизации и строго вогнутой
или
min)
с
), b = (b1, …, bm)Т,
п
...
...
dd
n
111
.........
dd
mnm
1
.
:
z
являет
— в
задаче максимизации. Ограничения в этой задаче предполагаются линейными, что гаранти
рует выпуклость ОДР
.
Решение данной задачи основано на использовании необходимых условий Куна
Таккера
(5.9).
Так как целевая функция
z
строго выпуклая (или вогнутая) и ОДР задачи явля
ется выпуклым множеством, эти условия также и достаточны для установления наличия гло
бального оптимума
.
Задачу квадратичного программирования рассмотрим для случая, когда целевая
функция подлежит максимизации. Изменение формулировки задачи при минимизации целе
вой функции является тривиальным. Общая постановка задачи имеет следующий вид
z =
С
X +XTDX→max
при ограничениях
Е =
где
Обозначим через λ
щие ограничениям
лучаем
Отсюда имеем
G(X) =
0...1
.........
–
единичная матрица
1...0
= (
λ
,
λ
,…,
λ
1
2
)Т и µ = (
т
АX– b ≤ 0 и – X ≤ 0
∇z – (
λ
i(bi
∇z =
С
A
− E
X –
b
≤ 0,
0
.
µ
,
µ
,…,
µ
)Т
1
2
множители Лагранжа, соответствую
т
соответственно. Применяя условия Куна-Таккера, по
λ ≥
0, µ
≥
Т
λ
,
µ
n
xa
∑
–
j
=
1
µ
= 0, j = 1÷п,
jхj
АX ≤
b, – X ≤ 0.
+ 2XTD, ∇G(X) =
0,
Т
)∇G(X) = 0,
jij
) = 0, i = 1÷m,
A
− E
.
.
-
,
-
-
-
-
-
-
-
-
96
22121
Обозначим через
приведённые выше условия принимают следующий вид
Т.к
. DT = D, в
Следовательно, необходимые условия могут быть записаны в виде
Все уравнения, за исключением µ
ременных
X, λ, µ и S.
стемы линейных уравнений, удовлетворяющего дополнительным условиям µ
скольку функция
z
S = b – АX ≥ 0
вектор балансовых (остаточных) переменных. Тогда
Т
– 2XTD +
µ
= 0 =
jхj
λТА
А
X + S = b,
λ
для всех
iSi
λ, µ
, X, S ≥ 0.
результате транспонирования первой системы уравнений получим
–2DX +
Т
А
λ
–
µ
– µ=
= С,
i и j,
Т
С
.
Α
λ
µ
S
T
C
=
,
b
i и j,
λ
,
являются линейными относительно пе
iSi
µ
jхj
T
= 0 =
λ, µ
−−
λ
для всех
iSi
, X, S≥ 0.
= 0 =
jхj
0EA2D
E00A
Следовательно, исходная задача сводится к нахождению решения си
= 0 =
λ
jхj
iSi
. По-
строго вогнутая, а ОДР представляет собой выпуклое множество, допу
стимое решение, удовлетворяющее всем этим условиям, должно быть единственным и опти
мальным
При этом единственным ограничением является необходимость удовлетворения условий λ
= 0 =
принимает положительное значение, то переменная
положительное значение. Аналогично переменные µj и
положительные значения. Этап
.
Решение рассматриваемой системы находится путём реализации этапа
µ
.
Выполнение этих условий означает, что если переменная λ
jхj
Si не
1
завершается обращением в нуль всех искусственных пере
может быть базисной и принимать
не
могут одновременно принимать
jхj
в
базисном решении
i
1 М-
задачи
iSi
менных только в том случае, когда исходная задача имеет непустое множество допустимых
решений
при ограничениях
при ограничениях
.
Пример
5.6.
Рассмотрим следующую задачу
z =
2
332
xxxx −−+
→
2
х
–
х
≤
6,
х
+2
х
≤
10,
1
2
1
2
х1 ≥
■ Эту задачу можно записать в матричной форме
x
z = (2;3)
1
+(
х
x
2
−
,
х
)
1
2
01
−
30
x
−
12
1
21
x
2
≤
6
,
10
х1 ≥
max
0,
x
1
x
2
0,
х2 ≥
→
х
0.
2
max
≥
0.
-
-
-
-
.
-
97
Условия Куна-Таккера принимают следующий вид
−
−
Начальная симплекс-таблица для этапа
уравнения искусственных переменных
R1 и R2,
вать не будем. Имеем первоначальную таблицу
х
х
λ
λ
µ
µ
БП
1
2
1
2
1
S1 S2
2
x
1
x
2
λ
00011202
−−
00102160
01000012
10000021
1
λ
2
µ
1
µ
2
S
1
S
2
2
3
=
.
6
10
1
строится путём введения в первые два
столбцы которых в симплекс-таблицах указы
:
Реш
Итерация
.
Отн
0
.
-
R1 2 0 2 1 –1 0 0 0 2 –
R2 0 6 –1 2 0 –1 0 0 3 1/2
S1 2 –1 0 0 0 0 1 0 6 –
S2 1 2 0 0 0 0 0 1 10 5
Оц
. –2 –6 –1 –3 1 1 0 0
Поскольку µ
зисных исключается
= 0,
вводимой в базис переменной может быть
2
R2.
Получаем следующую симплекс-таблицу
х
х
λ
λ
µ
µ
БП
1
2
1
2
1
S1 S2
2
Реш
.
Отн
R1 2 0 2 1 –1 0 0 0 2 1
х
0 1 –1/6 1/3 0 –1/6 0 0 1/2 –
2
S1 2 0 –1/6 1/3 0 –1/6 1 0 13/2 13/4
S2 1 0 1/3 –2/3 0 1/3 0 1 9 9
Оц
. –2 0 –2 –1 1 0 0 0
Т.к. µ
ных исключается
БП
х
= 0,
1
вводимой в базис переменной является быть
R1.
Получаем следующую симплекс-таблицу
Итерация
х
λ
λ
µ
µ
1
2
1
2
1
S1 S2
2
Реш
.
Итерация
.
х
,
1
.
2
.
х
,
при этом из числа ба
2
1
при этом из числа базис
-
-
х
1 0 1 1/2 –1/2 0 0 0 1
1
х
0 1 –1/6 1/3 0 –1/6 0 0 1/2
2
S1 0 0 –13/6 –2/3 1 –1/6 1 0 9/2
S2 0 0 –2/3 –7/6 1/2 1/3 0 1 8
98
010
e x e
f x f
+
+
ij j
a x
f x
1 1 2 2
1 1 2 2
e x e x
f x f x
+
, 1,2,..., ,
a x a x b i m
1 1
2 2
e zf
zf e
−
−
1 1
2 2
e zf
zf e
−
−
Рис. 5.1.
Итерация
кусственные переменные вышли из базиса, то полученное решение
допустимым. Оптимальное значение
выражение для целевой функции исходной задачи и равняется
2
даёт оптимальное решение рассматриваемой на этапе
z
вычисляется подстановкой полученного решения в
7/4.
Дробно-линейное программирование. Математическая модель задачи
Дробно-линейное программирование (ДЛП) относится к нелинейному программиро
ванию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде
Задача ДЛП в общем виде записывается следующим образом
n
∑
j j
=
j
при ограничениях
z =
n
∑
j j
1
=
j
:
n
∑
j
=
1
= bi,iI = 1, 2, …, m,
x
≥
0, j = 1, 2, …, n,
j
→
max (min)
х
:
= 1,
1
.
1
задачи. Т.к. ис
х
= 1/2
2
являются
-
-
где
ej, fj, bi, aij —
Рассмотрим задачу ДЛП в виде
при ограничениях
постоянные коэффициенты и
:
i i i
∑
1nj
=
z=
+ ≤ =
1 1 2 2
+
+ f
≠
0.
0
→
max (min) (5.22)
≥ ≥
0, 0.
Будем считать, что
Для решения этой задачи найдем область допустимых решений, определяемую
ограничениями
(5.11).
Из выражения
= x1(e1 – zf1),
Прямая
x2 = kx1
котором фиксированном значении
мой тоже фиксирован и прямая займет определенное положение
При изменении значений
вокруг начала координат (рис
Установим, как будет вести себя угловой коэффициент
тонном возрастании
z.
f1x1 + f2x
≠
0.
2
Пусть эта область не является пустым множеством
(5.10)
x2 =
найдем
x1, x2 = kx1,
проходит через начало координат. При не
z
угловой коэффициент
z
прямая
x2 = kx1
. 5.1).
Найдем производную от
x x
1 2
х
: zf1x1+zf2x2 = e1x1+ e2x2, x2(zf2 – e2) =
2
где
k =
k
пря
будет поворачиваться
k
при моно
k по z:
(5.22)
.
.
-
х
-
z
.
О
-
Графическое
представление задачи
ДЛП
z
1
х
99
100
zkd
1 2 2 2 1 1
( ) ( )
f zf e f e zf
− − − −
1 2 2 1
2
( )
f e f e
zf e
−
Рис. 5.2.
Рис. 5.3.
Рис. 5.4.
Рис. 5.5.
d
= k' =
( )
zf e
−
2 2
2
=
Знаменатель производной всегда положителен, а числитель от
х
z
a
m
х
z
max
х
z
m
2 2
z не
−
зависит
.
.
х
z
m
О
z
mi
ОДР огра
ничена, оба экстре
мума существуют
х
-
-
О
z
mi
ОДР не
ограничена, оба экс
тремума существуют
х
О
z
mi
х
-
-
ограничена, один
ОДР не
-
экстремум существу
О
ОДР неогра
ничена, оба экстрему
-
ма не существуют
х
z
mi
ет
Следовательно, производная имеет постоянный знак, и при увеличении
z
угловой ко
эффициент будет только возрастать или только убывать, а прямая будет поворачиваться в
одну сторону. Если угловой коэффициент прямой имеет положительное значение, то прямая
вращается против часовой стрелки, при отрицательном значении
k — по
часовой стрелке
Установив направление вращения, находим вершину или вершины многогранника, в которых
функция принимает
функции задачи. При этом возможны следующие случаи
1.
Область допустимых решений ограничена, максимум и минимум достигаются в ее
угловых точках (рис
2.
Область допустимых решений не ограничена, однако существуют угловые точки
в которых целевая функция принимает максимальное и минимальное значения (рис
3.
Область допустимых решений не ограничена, имеется один из экстремумов
mах(min)
. 5.2).
значение, либо устанавливаем неограниченность целевой
.
. 5.3).
Например, минимум достигается в одной из вершин области и имеет так называемый асимп
тотический максимум (рис
4.
Область допустимых решений не ограничена. Максимум и минимум являются
асимптотическими (рис
Алгоритм решения состоит в следующем
1)
находим область допустимых решений
2)
определяем угловой коэффициент
целевой функции
3)
находим точку
задачи
.
;
. 5.4).
. 5.5).
mах (min)
:
;
k и
устанавливаем направление перемещения
целевой функции или устанавливаем неразрешимость
Математическая модель задачи ДЛП может быть использована для определения рен
табельности затрат на производство продукции, себестоимости технологического оборудова
ния
.
Обозначим
rj —
прибыль предприятия от реализации единицы продукции
х
—
количество выпущенной продукции
j
sj —
цена единицы продукции
с
—
себестоимость производства единицы изделия
j
dj —
затраты на производство одного изделия
Задача рентабельности затрат
:
j-го
вида
;
j-го
вида
;
j-го
вида
;
j-го
вида
;
j-го
вида
.
(
Р
) на
производство продукции имеет вид
з
-
-
-
.
,
.
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]