Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие

111

+++

=

22110

1

2

y

)

(

y

f

z

y

6,7

6,7 1,111

1,1

Рис. 5.17.

Вычисление оптимальных параметров

VC

p

=

V

x

opt

ν

C

=

y

z

x

p

3500500

⋅

41900625.0

⋅

06.2111.1

=

кг/с

VC

−=

yF

zopt

ν



p



1ln =

 



1



−

yK

−=

 

z

7.6

⋅

3500500

⋅

14000625.0

1



1ln

 



−



7.6



2.

2.14

м

5.3.2. Оптимизация на основе эмпирических моделей

тех случаях когда исследуемый процесс или реализующий его аппарат плохо под

В даются аналитическому описанию в качестве функции оптимизации может быть одна из функций отклика

,

которая описывается

K

XbXbby

адекватным уравнением регрессии

Для того чтобы использовать такой подход необходимо выполнение некоторых усло вий

:

В области определения варьируемых факторов

1.

гут принимать величины значимо отличающиеся друг от друга

2. С

помощью метода полного факторного эксперимента может быть получено урав

M

нение регрессии для ограниченной области

С помощью специальных методов оптимизации из области

3.

M

печен выход в подобласть

В подобласти

4.

уравнения регрессии

M

,

где достигается некоторый локальный экстремум

может быть построено новое математическое описание в виде

.

L

все они управляемы, то есть мо

.

M

может быть обес

.

-

112

ватно

,

описывается линейными

3

ватно, следовательно, переходят к

торая описывает поведение функции

3

ния

L

, в

которой

необходимо

исследовать поведение

ния экстремума

()(

)

2

3

1

2M3

min

2xmax

2

20

1

2

10

max

1xmin

1

L

E

1

2

y

E

x

Возможно два варианта

1.

Уравнение регрессии адек

x

''

x

optx2

M

'

x

M

уравнениями, следовательно, опти мум локальный и необходимо про должить оптимизацию с целью вы

хода в подобласть

2.

Уравнение регрессии не адек

построению нелинейной модели, ко

отклика в области экстремума

x

'

''

x

optx1

x

Рис. 5.18.

Логическая схема принятия решения

при построении эмпирической модели

M

Выход в подобласть

ятном достижении в этой подобласти экстремума функции отклика

,

где линейная модель неадекватна, свидетельствует о веро

.

Полученная адекватная нелинейная модель позволяет найти координаты точки

которая доставляет оптимум значению функции отклика для данного процесса

новка задачи, предполагает

регрессии

Таким образом, правильная поста

1)

наличие адекватного уравне

;

2)

наличие области

x

1

opt

x

2

opt

x

функции отклика

3)

формулирование критерия опти

;

мальности для достиже функции отклика

.

Рис. 5.19.

Наличие экстремума в исследуемой

области изменения факторов

M

:

-

.

-

.

-

E,

.

-

:

-

Задачей

метода является организация движения к оптимуму в направлении наиско

рейшего возрастания (убывания) функции отклика, то есть по направлению этом направление движения корректируется не после каждого шага, а при достижении в не

которой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика (область Затем в точке частного экстремума ставится новый факторный эксперимент, определяют но

вое уравнение регрессии и вновь осуществляют крутое восхождение (область

Метод Бокса — Уилсона

-

xygrad

.

При

-

M

).

-

M

).

113

grad

i

∆

=

22211

1

=∆=

∆

maxaa

∆

≤

iii

∆γ=

i

2

1

−+=

y

1

2

02001

201

2

ч

м

201

1

2

50

=

y

60

=

y

90

=

y

2M3

В процессе движения к экстремуму регулярно проводят статистический анализ полу чения промежуточных результатов поиска, он прекращается, когда изменения коэффициен тов становятся незначимыми, что свидетельствует о достижении оптимума

x

ния на

грессии на интервале варьирования максимально

рому пересчитывают для остальных факторов шаги для движения к оптимуму

где

лучено адекватное уравнение регрессии

варьируемых параметров

рактеризует скорость протекания процесса. При этом

M

Алгоритм метода сводится к следующему

1.

2.

3.

xh

4.

b

берут со своими знаками, а

Предположим, что ранее по результатам полного факторного эксперимента было по

—

выход продукта

X

—

температура, при которой осуществляется процесс

X

концентрация реагента

—

При получении уравнения регрессии эксперимент ставили при следующих значениях

Дополнительно было наложено ограничение на функцию отклика

Рис. 5.20.

M

x

Схема достижения оптимума

Находят парные произведения коэффициентов регрессии на интервале варьирова

xb

(

Выбирают базовый фактор, такой для которого произведение коэффициентов ре

Для базового фактора выбирается шаг крутого восхождения, отвечающий условию

.

Находят отношение

;

,

.

axbaxb

=γ

h

K

;;

).

h

a

xb

∆

округляют

:

h

a

=

max

aa

maxmax

a

xbn

,

.

=∆=∆ xCx

y⋅≥

2

Метод Бокса казывает как, зная коэффици енты уравнения регрессии

(

линейного

направлении оптимума по

.

maxmax axb

=∆

ii

и

получают коэффициент, по кото

35,195,16,35 XXy

;

25;50 ==

%1;5

,

0

CxCx

,

.

кмоль

2,5 .

3

.

—

Уилсона, по

)

двигаться в

y

,

которая ха

-

Область определения факторов

Оптимизированный выход продукта будем искать методом крутого восхождения

L

0

%70%10;12030

≤≤≤≤ xx

.

:

γ

xb ∆

находим производные

ii

=⋅=∆

xb

11

xb

22

сравниваем

> 35,175,9

⇒

фактор

x

1

—

1

базовый

a

0

по базовому фактору рассчитываем коэффициент

найдем шаг

h

a

∆=γxb

11

h

2

4

=

595,1

⋅

75,9595,1

,

=⋅=∆

,35,1135,1

0

54 =∆<== xhh

,

1

4,041,0

≈=

,

= xbh

222

( )

Составим таблицу с условиями крутого восхождения и результатами опытов

5,055,0135,141,0

−≈−=⋅−=∆⋅

.

Центр плана Интервал варьирования Шаг движения

x

1

x

2

X

1

X

2

y1

p

50 25 0 0 35,6 35,1 2,9

5 1 1 1

4 –0,5 0,8 –0,5

э

y1

y2

э

h

X∆=∆

Составим таблицу с результатами осуществления крутого восхождения

x

1

x

2

X

1

i

.

x

i

X

2

p

y

1

ý

y

1

1 54 24,5 0,8 –0,5 37,8 37,5 3,2

2 58 24,0 1,6 –1,0 40,1 40,6 3,7

3 62 23,5 2,4 –1,5 42,3 41,5 2,8

4 66 23,0 3,2 –2,0 44,5 43,5 2,3

5 70 22,5 4,0 –2,5 46,8 40,2 1,9

6 74 22,0 4,8 –3,0 49,0 38,0 1,6

+=

,

hxx

1011

( )

xx

X

1

X

−

=

x

∆

1

xx

−

=

2

x

∆

2

,

hxx

−+=

2022

011

,

022

.

ý

y

2

114

115

""y

=++++

,

k

1

=

k

1

Видно, что в

меньше допустимой, следовательно, приближенно можно считать оптимумом мендуется провести дополнительные опыты, которые лежат между значениями получения нового уравнения регрессии

4

опыте достигнут максимальный выход продукта, однако скорость

3

опыт. Реко

3 и 4, с

.

эy2

целью

О выходе в область оптимума судят по адекватности или неадекватности линейной

модели, по которой осуществляется выход в эту область

.

Если новое линейное уравнение регрессии неадекватно, следовательно, необходимо

строить нелинейную модель, которая более точно описывает поведение шой кривизной поверхности отклика

.

в

области с боль

Симплексный метод оптимизации для эмпирических моделей

Главной

особенностью методов симплексов является объединение процесса изучения иссле дуемого объекта и процесса поиска оптимизации, что достигается специальным построением плана эксперимента

следующими 2 свойствами:

•

система свободные

•

.

Задачи, решаемые с помощью симплекс-метода, должны обладать

ограничений является системой уравнений с базисом

члены всех уравнений в системе неотрицательны

;

.

Как известно, система уравнений имеет допустимый базис, если в каждом уравнении есть пе ременная

(с

положительным коэффициентом и неотрицательной правой частью

), не

входя щая больше ни в какое другое уравнение. Эти переменные называются базисными. Все остальные переменные называются свободными. Решение называется базисным, если сво бодные переменные положить равными нулю. Не все задачи линейного программирования имеют выделенный допустимый базис. Рассмотрим задачу с базисом

+

mn

xc

z=

∑

j

=

jj

1

→max, (5.76)

:

-



nnn

 

  



≥

0, j=1÷n+m, т < п, b

x

j

К такой канонической задаче, в частности, приводится задача ЛП, в которой все огра

ничения являются неравенствами ≤. Выразим базисные переменные

(5.64)

добных членов получим

через свободные

x1,…,xn и

подставим их в целевую функцию. После группировки по

z = ∆

m

где

учётом равенств

C

∑

∆

=

0

=

= zj – cj =

∆

j

(5.79)÷(5.81)

bc

, (5.80)

+

kkn

m

∑

ac

+

-cj, j = 1÷n; ∆j = 0, j = n+1÷n+m. (5.81)

kjkn

сформулированная выше задача примет вид

z = ∆

...

2211

≥

i

+

mn

∆

x

∑

–

0

=

j

+

mn

∆

∑

–

0

1

=

j

jj

1

, (5.79)

x

jj

, (5.82)

,...

bxxaxaxa

+

111212111

,...

bxxaxaxa

=++++

+

nnn

222222121

(5.77)

KKKKKKKKKKKKKK

bxxaxaxa

=++++

+

0. (5.78)

x

n+1

mmnnmnmm

,…,x

n+m

из

:

равенств

-

116

п

+

1

п

+

2

п+т

∆1

∆

2

∆

п

∆

0

п

+

1

п

+

2

п

п+т

т

1

т

2

n

xa

∑

j

=

jij

+ x

= bi, i=1÷m, (5.83)

п

1

x

≥

j

+I

0, j = 1÷n+m. (5.84)

Преобразованную задачу записываем в начальную симплекс-таблицу. В первой стро

ке

(z-

строке или оценочной) таблицы указываются элементы

базисные переменные (БП

—

ние

» (

при этом свободные переменные равны нулю

БП

х1

z

x

а11

x

а21

х2 … xп x

а12 … а22 …

…

) x

п

+1

, …, x

,

значения которых приведены в столбце

п+т

x

а

1 0 … 0 b1

а

0 1 … 0 b2

0 0 … 0

).

… x

∆

. В

первом столбце таблицы

j

… … … … … … … … … …

x

а

…

атп 0 0 … 1 bт

Замечание

переменных. Тогда

Опорный план, соответствующий данной таблице, есть Х

1.

Часто целевая функция

∆j= – cj, j = 1÷n.

z с

самого начала зависит только от свободных

=(

Реш

.

0;...;0

321

;b1; b2;…;bт).

«

Реше

-

Имеет место следующая теорема

Пусть исходная задача решается на максимум опорного плана все оценки оптимален

.

:

∆j (j = 1÷n+m)

Теорема

5.4.

(

минимум

неотрицательны (неположительны

Таким образом, имеем алгоритм нахождения оптимального плана симплекс-методом

(

для задачи на максимум

1.

Проверяем выполнение критерия оптимальности

тельных коэффициентов переменные принимают значения мальное базисное решение

2.

Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрица

тельный коэффициент

):

∆

<

0.

j

.

∆j < 0 в z-

—

наличие в

Если таковых нет, то решение оптимально

bi,

свободные переменные равны

строке определяет разрешающий столбец

Заметим, что в качестве разрешающего столбца можно выбрать любой столбец рицательным коэффициентом

∆j < 0 в z-

строке. Но выбор наибольшего по модулю в боль

шинстве случаев позволяет достичь оптимального решения быстрее

Для всех строк, у которых

наименьшее из них

Если все

a

iq

конечного оптимума

Если

a

> 0

iq

a

> 0 (

iq

разрешающая строка

решающий элемент

3.

Переходим к следующей таблице по правилам

.

≤ 0 (

т. е. невозможно выбрать разрешающую строку

(z

→∞).

max

существуют, то выбираем строку

). На

apq.

a

> 0,

iq

составляем отношения

p, на

котором достигается

пересечении разрешающих строки и столбца находится раз

:

а) в левом столбце записываем новый базис: вместо прежней базисной переменной

—

новую

элемент

xq;

б) новую строку с номером

apq;

p

получаем из прежней строки делением на разрешающий

в) все остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника

).

Если для некоторого

), то

такой план

z-

строке отрица

, z

= ∆

,

базисные

0

0, т. е.

max

получаем опти

q.

.

b

µ

i

=

i

и

a

iq

), то

задача не имеет

определяем

minµ

:

j с от-

по

i

всем

xp

-

117

=++

aa

'

a=a

ij

'

b=b

i

'

∆=∆

−

j

a

'

pjiq



pi,

a

pq

a

pj

'

=a

pj

a

pq

ba

piq

a

pq

b

p

'

=b

p

a

pq

a∆

pjq

pq

−

∆=∆

00

a

≠−

1

m,+n÷=j;



≠−

pi,

;

1

b∆

pq

.

pq

m+n÷=j,

.

{

Далее переходим к п

Замечание

2.

При решении задачи на минимум, кроме критерия оптимальности, ме няется выбор разрешающего столбца. Он выбирается по наибольшему (положительному) ко эффициенту

∆j.

Остальные пункты алгоритма сохраняются

Таким образом, следующая таблица (итерация) получается методом исключения пе

ременных. Этот метод включает вычислительные процедуры двух типов

Тип

1 (

формирование разрешающей строки

Новая разрешающая строка

мент

.

Тип

2 (

формирование остальных строк, включая

Новая строка

дущей строки

)⋅(

=

Новая разрешающая строка

Выполнение процедуры типа разрешающий элемент становится равным единице. В результате выполнения процедуры ти па

2

все остальные коэффициенты разрешающего столбца становятся равными нулю. Это эк вивалентно получению базисного решения путём исключения вводимой переменной из всех уравнений

(

строк

),

кроме разрешающего. Этот метод преобразования систем уравнений

называют методом Гаусса

Решим с помощью симплекс-метода конкретную задачу

■ Запишем задачу в канонической форме, то есть ограничения-неравенства перепи

шем в виде равенств, добавляя балансовые переменные

z = 4x

x

.1

алгоритма

.

=

Предыдущая разрешающая строка/Разрешающий эле

Предыдущая строка

1

приводит к тому, что в новой разрешающей строке

.

+7x2→max,

1

≥ 0, I = 1÷5.

i

.

):

z-

строку

– (

Коэффициент разрешающего столбца преды

):

).

.

:

 

 



xxx xxx xxx

,2723

321

=++

,2842

421

521

(5.85)

=++

,2332

-

118

2

4

2

4

2

Система

—

свободные переменные. Её базисное решение

пустимым

Запишем начальную симплекс-таблицу

БП

.

х1

(5.85)

является системой с базисом, в которой

Х0 = (0; 0; 27; 28; 23),

:

х2

х3

х4

х5

Реш

х3,

х4,

х5 —

базисные, а

х1 и

которое является и до

Итерация

.

Отн

.

0

z –4 –7 0 0 0 0 –

х3 3 2 1 0 0 27 27/2

х4 2 4 0 1 0 28 7

х5 2 3 0 0 1 23 23/3

Первая рабочая строка таблицы функции с противоположным знаком (замечание емся, что критерий оптимальности не выполняется эффициенты. Разрешающий столбец коэффициенту в

z-

строке, разрешающая строка

(z-

строка) заполняется коэффициентами целевой

1). В

х2

выбран по наибольшему по модулю отрицательному

—

соответствии с п

— в z-

х4 —

строке имеются отрицательные ко

выбрана по наименьшему отношению

. 1

алгоритма убежда

столбца решений к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, п

2

алгоритма следующей итерации переменная наоборот, из базисной элемент, находящийся в клетке чёркивать разрешающие элементы

базисными переменными являются алгоритма, мы делим строку приводит к следующему

БП

(

столбец

«

Отношение

— в

свободную. Таким образом, разрешающим элементом является

(

»; в z-

х

из свободной перейдёт в базисную, а переменная

2

х4,

х2).

.

Строим новую симплекс-таблицу

х3,

х2,

х4 на

разрешающий элемент, равный

:

х1

х2

Итерация

х3

1

х4

строке отношение не ищется

).

Это значит, что на

Здесь и далее в неоптимальных таблицах будем под

(

итерация

х5.

Применяя к исходной таблице процедуру типа

1) по

правилам п

4.

.3

алгоритма. Новыми

Указанная процедура

х5

Реш

.

Отн

.

х2

-

.

х4

-

1

z

х3

х2 1/2 1 0 1/4 0 7

х5

Чтобы посчитать остальные строки таблицы, выполним процедуры типа

1. z-

строка

=

Новая

2.

Строка

Новая

=

3.

Строка

z-

строка

: (–4 –7 0 0 0 0)

Новая разрешающая строка

z-

строка

х3.

: (–

х3-

строка

: (3 2 1 0 0 27)

Новая разрешающая строка

х3-

строка

х5.

: (2 0 1 –

х5-

строка

: (2 3 0 0 1 23)

: –(–

7

–7 0 –

1

0 0

: –(1 2 0

7

0 –49)

7

0 49)

1

0 14)

1

0 13)

2

алгоритма

.

119

2

4

2

4

–(3)×

Новая разрешающая строка

=

Новая

х5-

строка

: (

: –(

3

3 0

1

0 0 –

Новая симплекс-таблица (итерация

ций, имеет вид

:

1),

полученная с помощью рассмотренных опера

БП

х1

х2

х3

х4

х5

Реш

.

z –1/2 0 0 7/4 0 49 –

х3 2 0 1 –1/2 0 13 13/2

х2 1/2 1 0 1/4 0 7 14

х5 1/2 0 0 –3/4 1 2 4

Новое базисное решение

убеждаемся, что критерий оптимальности не выполняется

Х1= (0; 7; 13; 0; 2). В

соответствии с п

— в z-

ный коэффициент; разрешающим столбцом является столбец строка жительным элементам разрешающего столбца, п итерации переменная зисной

базисными переменными являются

ны. Следовательно вырожденное, так как ни в одной таблице в столбце

х5 (

выбрана по наименьшему отношению столбца решений к соответствующим поло

.2

х1 из

свободной перейдёт в базисную, а переменная

— в

свободную

Строим новую симплекс-таблицу

.

(

итерация

х3,

х2,

х1.

Полученное решение оптимально, так как в

, z

= 51;

max

оптимальное базисное решение

алгоритма

2) по

z-

строке все коэффициенты неотрицатель

«

).

правилам п

Решения» для базисных переменных нет нулей. Решение безальтернативно, т.к. все коэффициенты менных

(

х4,

х5) не

равны нулю

.

БП

х1

х2

х3

х4

х5

3

0 21)

3

1 2)

Итерация

Отн

.

1

.1

алгоритма опять

строке имеются отрицатель

х1,

разрешающей строкой

Это значит, что на следующей

х5

наоборот, из ба

. 3

алгоритма. Новыми

Х* = (4; 5; 5; 0; 0).

z-

строки при свободных пере

Итерация

Реш

2

.

Решение не

-

—

-

z 0 0 0 1 1 51

х3 0 0 1 5/2 -4 5

х2 0 1 0 1 -1 5

х1 1 0 0 -3/2 2 4

Рассмотрим то, что между геометрическим методом и алгебраическим (симплекс) ме тодом существует взаимно однозначное соответствие. В таблице «Итерация бодные переменные, следовательно тами. Это точка

ОАВС

D,

Х

0

В таблице «Итерация рис

. 6.1

находим точку с координатами

↔

О.

О

(0; 0).

Следовательно, итерация

1»

плекс-метода соответствует точке

Аналогично в таблице «Итерация ствует точке

В(4; 5)

области допустимых решений

,

х1 =

х2 = 0. На

х2 = 7, а

х1 —

(0; 7).

А

области допустимых решений

2»

х1= 4,

рис

.6.1

0

симплекс-метода соответствует точке

свободная переменная, следовательно

Это точка

х2= 5,

ОАВDЕ

находим точку с такими координа

А.

Следовательно, итерация

ОАВС

следовательно, итерация

, Х*↔В (4; 5).

0»

х1 и

х2 —

О

,

х1 = 0. На

1

D,

Х

↔

А

(0;7).

1

2

соответ

Таким образом, ба

сво

ОДР

сим

зисным решениям системы линейных уравнений соответствуют вершины ОДР, а симплекс метод состоит в направленном переборе этих вершин и нахождению оптимальной вершины

-

.

120

≥

i

z

i

1

≥

n

X

m

n

212

1

i

X

n

2

1

i

1

n

k

1

k

1

=mk

1

k

1

Симплекс-метод с искусственным базисом

В

п.4

рассматривалась задача с начальным базисом. Однако если ограничение запи сано в виде равенства или неравенства ≥, нельзя сразу получить зисное решение

.

Рассмотрим следующую задачу, не имеющую выделенного базиса

n

xc

∑

z =

=

j

n

xa

∑

=

j

1

jx

,0

j

=1÷n;

jj

1

jij

b

→max, (5.86)

= bi, I = 1÷m, (5.87)

,0

iI = 1÷m, m <

допустимое

:

п

начальное

ба-

. (5.88)

-

В этом случае вводится так называемый уравнений, не имеющих базисных переменных, добавляют искусственные переменные целевую функцию переменные

Ri

вводят с коэффициентом

искусственный базис

— М,

где

М —

. К

левым частям

некоторое доста

Ri. В

точно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задаётся Полученная задача называется дующий вид

:

М

-

задача имеет опорный план

может быть найдено симплекс-методом

Если в оптимальном плане

∗

ственные переменные ном задачи

.

Замечание

эффициентом

+М, т.е. z=

R

3. В

задаче минимизации в целевую функцию переменные

При опорном плане

m

∑

М

=

разности

гая

∆

= zj – cj= –

j

Т.о

., ∆

и

0

—

нет. После вычисления

М-задачей, соответствующей

n

xc

∑

=

∑

j

X= (

=

j

n

=

1

xa

1

jx

,0

= 1÷n; R

jj

–

М

jij

+ Ri = bi, i = 1÷m, (5.90)

0;...;0

321

; R1; R2;…; Rт).

.

Теорема

М-

задачи

= 0 (i = 1÷m),

n

xc

∑

=

j

X=(

a

kj

zj – cj

jj

+

1

М

321

– cj, j = 1÷n; ∆j = 0, j = n+1÷n+m.

состоят из двух частей, одна из которых зависит от

∆

и

∆

их

0

j

∗

то

m

R

∑

→min.

i

=

0;...;0

; R1; R2;…;Rт) М-

значения, а также исходные значения

∗

= (

5.5.

= =(

исходной

m

R

∑

→max, (5.89)

i

=

≥

0, i = 1÷m. (5.91)

i

. М-

задача имеет сле

Поэтому её решение

∗∗∗∗∗∗

RRRxxx ,...,,,,...,,

)

все искус

∗∗∗

xxx ,...,,

)

является оптимальным пла

Ri

вводят с ко

m

b

задачи

∆

0

= –

М

∑

,

k

=

М, а

М-

задачи зано

дру

сят в таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица. При этом в строки исходной задачи при

1-ю

М, т.е.

строку помещают слагаемые, не содержащие

), а в (m+2)-ю (

∆

она называется строкой-оценкой

b

М

∑

, ∆j = zj = –

k

= –

0

М (т.е.

коэффициенты

) —

коэффициенты

m

a

∑

М

=

. (5.92)

kj

∆

0

и

∆j z-

.

-