Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие
.pdf
можно было обоснованно распространить на процессы, протекающие в условиях, отличаю
щихся от условий опыта. При математическом моделировании между моделью и объектом
существует математическое подобие, при этом у математически подобных объектов процес
сы обладают различной физической природой, но описываются одинаковыми уравнениями
В случае, если описание объекта с помощью математических символов верно, то ре
зультаты расчетов можно количественно распространить на оригинал
Природа модели (ЭВМ с программой) при математическом моделировании отлична
от природы объекта. Но тождественность уравнений, их описывающих, расширяет возмож
ность исследователя и позволяет в короткий срок получить информацию о различных режи
мах работы модели. Также на основе этих моделей с использованием методов оптимизации
можно найти оптимальные условия работы объекта, а также решать задачи управления ори
гиналом
.
.
.
2.2. Объекты моделирования
Система —
1)
сущность системы невозможно понять, рассматривая только свойства отдельных
элементов; для системы существенен способ взаимодействия элементов, выраженный в её
структуре
;
2)
система функционирует обязательно во взаимодействии с окружающим миром
Элемент системы —
стемы
процессы
сов, проводимый порознь, не дает еще возможности судить о всем процессе в целом
ет обращать на взаимодействие составляющих их элементов
.
Элементами технологического процесса, как системы, являются происходящие в нем
:
1)
биохимические реакции
2)
теплообменный и массообменный процессы
3)
движение фаз и другие
Системный подход в этом случае связан с пониманием того, что анализ этих процес
При анализе технологического процесса и работы аппаратов особое внимание следу
это совокупность элементов, обладающая двумя особенностями
это самостоятельная и условно неделимая составляющая си
;
;
.
.
:
.
.
При системном анализе используется в основном два вида схем:
1)
структурные
2)
параметрические
Структурная схема
элементами в виде, например, прямоугольников, имеющих входы и выходы, и стрелок, ука
зывающих направления материальных, энергетических и информационных потоков. Она дает
достаточную информацию о характеристиках потоков и их преобразованиях в элементах си
стемы
.
Параметрическая схема
внешних факторах, воздействующих на систему, и определяющих характер протекания про
цесса, то есть о внешних связях рассматриваемой системы
Исходя из внешних признаков, внешние связи системы можно представить следую
щим образом (рис
х —
входные параметры, которые могут быть измерены, но возможность воздей
ствия на них отсутствует. Предполагается, что значения указанных параметров не зависят от
режима процесса (например, качественные показатели
u –
управляющие параметры, на которые можно оказать прямое воздействие в соот
ветствии с теми или иными требованиями, что позволяет управлять процессом (расход сырья
расход энергоносителей и т. д
;
.
изображает машины и аппараты технологической системы с
технологического процесса дает представление о всех
.
. 2.5):
);
.);
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
,
21
y
(
)
1
1 2
6
4 3 5 7 8
x
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
ξ
2
ξ
n
ξ
u
ξ
y
ξ
—
возмущающие параметры, значения которых случайным образом изменяются в
течение времени (могут быть примеси в сырье, параметры воздуха для охладителя и т.д
Элементы системы
вода на
охлаждение
Граница системы
сырье
энергоноситель
газовые выбросы
шелуха
продукт
воздух
на охла
ждение
-
1 —
4 —
Рис. 2.5.
бункер для загрузки
фасовка
; 5 —
7 —
Структурная схема аппарата для обжарки
; 2 —
обжарочный аппарат
теплогенератор
система подачи воздуха
; 6 —
система очистки выхлопных газов
; 8 —
система подачи воды
; 3 —
:
охладитель
;
;
.).
x
x
x
система
u
u
Рис. 2.6.
x , ξ,u,y —
и течение процесса в любой момент времени в рассматриваемой системе
Это те параметры, которые определяются режимом процесса, и характеризует его
состояние, возникающее в результате суммарного воздействия входных, управляющих и
возмущающих параметров
y
—
основные группы параметров (факторов
—
выходные параметры, результат функционирования системы
производительность обжарочного аппарата
Параметрическая схема аппарата для обжарки
:
y
y
y
u
:
),
определяющих характер
.
B,ξ,u,xF=y ; (2.12)
;
;
22
2
3
(
)
(
)
(
)
1
2
B
x
y
;ux
→
(
)
x
y
u
y
y
"
При разработке модели необходимо решить следующие задачи
1)
2)
Существуют два подхода к описанию системы при математическом моделировании.
Чтобы создать математическую модель системы прежде всего исследуют ее структуру (составляющие элементы системы и характер их взаимодействия (см. структурную схему)).
Применительно к технологическому процессу это означает расшифровку его механизма. В результате получается схема процесса — его мысленная модель. Записав эту схему
на языке математики, получаем некоторую систему уравнений, соотношений и т.д., описывающих функционирование этой системы. В уравнение будут входить некоторые пока неиз-
вестные коэффициенты
ния этих коэффициентов ставятся эксперименты на моделях или на оригинале.
В этом случае используется принцип "черного ящика", то есть известное кибернети-
ческое понятие системы с неизвестной структурой:
По особому плану варьируются значение
. По результатам этого эксперимента с помощью, например, математических методов пла-
нирования экспериментов можно получить эмпирическое уравнение (уравнение регрессии),
которое описывает поведение объекта.
В этом случае все входные параметры должны быть превращены в управляющие
(или должны быть фиксированы):
Недостаток этих моделей в том, что они пригодны только для конкретных объектов,
на которых проводились исследования.
Особенности описанных подходов состоят в том, что в любом реальном случае при-
сутствуют элементы структурных и эмпирических подходов. Чаще всего подход к моделиро-
качественный показатель, например, цветность
—
—
угар
.
Тогда
шум
" —
установить вид функции
оценить
Ф
("шум"), выделив ее в отдельную задачу.
(коэффициенты теплоотдачи и массоотдачи и т.д.). Для определе-
Ф
;
Структурный подход
Эмпирический подход
;
ξФ+B,u,xФ=y
; (2.13)
21
отдельная задача
B,u,xΦ=y
1
и u, и при этом измеряются значения
. (2.14)
(2.15)
;B,uψ=y (2.16)
:
pp
…
+ua+ua+a=y
22110
(2.17)
23
ванию той или иной системы можно характеризовать как в основном структурный или эмпирический.
Главное достоинство структурного подхода — это большая прогностическая
мощность.
Как отмечалось выше, математическая модель является математическим описанием,
отражающим сущность протекающих в объекте явлений, для которой задан алгоритм моделирования.
Математическая модель объекта рассматривается в совокупности четырех
аспектов:
I — формализованное описание — смысловая сторона модели, представляющая со-
бой описание физической природы объекта, включающее в себя
1) постановку задачи; от правильной постановки зависит результат, определя-
ются не только цель анализа, но и пути решения задачи;
2) определение фундаментальных законов, которым подчиняется механизм яв-
лений, лежащий в основе функционирования системы;
II — математическое описание — аналитическая сторона состоящая в составлении
уравнений или соотношений, которые описывают работу объекта;
III — моделирующий алгоритм — последовательность расчетов;
IV — анализ полученных результатов.
Наиболее общим принципом разработки математического описания является блочный принцип. Его основой является параметрическая схема. Общая схема моделирования
изображена на рис. 2.7.
2.3. Точность моделей в математическом моделировании
Точность моделей зависит, прежде всего, от точности определения параметров (коэффициентов), учитывающих те или иные особенности объекта. При использовании многопараметрических моделей возникает трудность, связанная с "чувствительностью к ошибкам"
опытов (чем больше параметров, тем более точный эксперимент требуется, чтобы точно оценить эти параметры).
24
основ процесса
процесса
соотношения
Основной закон
Теоретические и
эмпирические
Изучение теоретических
Постановка
задачи
Составление уравнений модели
I
Материальный и
энергетический
балансы
II
Ограничения на
переменные
Построение
модели
Выбор метода
решения
III
логический
аналитический
численный
решение
Анализ полученной информации
IV
Рис. 2.7. Общая схема моделирования
Если модель построена на основе структурного подхода, а эксперимент не очень
точный, то возникает специфическая особенность потери физического смысла: можно получить неверные значения параметров, хотя модель в целом будет давать достаточно точное
совпадение с опытными данными. Это связано с тем, что ошибки в значениях разных параметров взаимно компенсируются.
В рассматриваемом случае модель остается пригодной для количественного описания объекта (в достаточно узких пределах), но физический смысл искажается, получается
превратное представление о величинах эффектов, связанных с параметрами.
25
Vaв
V
31,8
≈
a
â
V
P
x
y
6
Пример компенсации ошибок параметров
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:
RT
−
где Р — давление газа, Па;
V — объем моля газа;
Т — абсолютная (термодинамическая) температура;
R —
универсальная газовая постоянная, R
— параметр, оценивающий интенсивность межмолекулярного взаимодействия;
— объем, занимаемый молекулами.
Для СО
Результаты эксперимента:
Т,
К
300
300
400
400
моль/Па 0,3652
2
⋅
3
м
/моль
0,0005
0,001
0,0005
0,001
3
м=a
,
3
м=a
⋅
моль/Па 0,575552
; моль/1034м=в
=P
−
; моль/104,28
−
верные ошибочные
3,995
2,241
5,814
3,110
, (2.18)
2
Дж/(моль·К);
35
−
м=в
⋅
МПа
вaP и при
,
3,933
2,196
6,013
3,120
.
идеальный
4,989
2,495
6,652
3,325
-2 -1 0 1 2
5,21 7,47 10,95
13,76 13,32
y
-2 -1 0 1 2
Рис. 2.8. Варианты интерполяции экспериментальных данных
14
10
12
10
8
x
Таблица 2.1
газ
26
%
3=t
)
(τT
t
)
(
τ
=
f
c
β
T
Q
u
Рис. 2.10.
Вторая существенная опасность — использование многопараметрических моделей
при наличии ошибки может приводить к ненадежной экстраполяции результатов.
0,0013750,37750,366253,45759510 xxxx+,=y
−−−
x+,=y 2,24212410
. (2.20)
432
; (2.19)
Есть возможность обойтись простой моделью (
Лимитирующие стадии процесса
Лимитирующая стадия — самый медленный процесс в системе.
А
Рис. 2.9.
Вторая особенность моделей: использование стационарных и нестационарных про-
цессов.
Стационарные процессы — это переходные процессы в непрерывно действующих
установках.
Все периодические процессы — это нестационарные процессы.
Данные понятия являются пространственными аналогами стационарности и нестационарности. Если система такова, что можно пренебречь различием параметров процесса в
разных точках по объему и считать, что все они (концентрации, температуры и т.д.) полностью выровнены по объему, то это объект с сосредоточенными параметрами. Математиче-
с сосредоточенными
параметрами
параметрами можно рассматривать как точку, в которой происходит процесс, поскольку никаких изменений от точки к точке здесь нет.
Математическое описание может быть следующим.
Температура жидкости в аппарате —
Чай (В)
Лимитирующая стадия
Модели с распределенными и сосредоточенными параметрами
ское описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов.
моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием жидкости. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова (рис. 2.10).
Модель
по координатам, т.к. все они равны нулю, что сильно упрощает модель. В некотором смысле систему с сосредоточенными
В случае размешивания чая в стакане лимитирующая стадия — массопроводность в самой
чаинке (рис. 2.9).
Чтобы интенсифицировать процесс,
нужно измельчить чаинки, т.е. нужно воздействовать на самый медленный процесс.
Примером объекта, описываемого данным классом
Источник теплоты — u,
Q — тепловой поток, Вт.
В описании такого объекта отсутствуют производные
, где τ — время.
), нужно ею воспользоваться.
27
d
τ
mc
d
τ
0
=
τ
0
=
mc
ττ
mc
),(τx
T
xuy,,
xuy,,
1
τ
2
τ
=
Рис. 2.11.
Тепловой поток
d
( )
=Q (2.21)
,mcT
где m — масса жидкости в аппарате,
с — удельная теплоемкость жидкости.
Пусть Q, m, c — постоянные величины. Тогда
dT
=
Q
.
(2.22)
Уравнение (2.22) — обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными. Если при
TT
(начальное условие), то решение уравнения (2.22) бу-
дет следующим:
dτ
Φ
=dT ;
T
T
0
τ
Q
d
∫∫
0
откуда
=dT
mc
Q
τ,
+T=T
0
(2.23)
т. е. температура линейно зависит от времени.
Если же параметры процесса изменяются как во времени, так и от точки к точке, то
это объект с распределенными параметрами. В этом случае объект описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, описание и анализ процессов в таких
системах сложнее, чем в случае сосредоточенных параметров. Если основные параметры
процесса изменяются только в одном пространственном направлении, то в случае стационарного процесса его математическое описание включает только обыкновенное дифференциальное уравнение. Примером процесса, описываемого такими моделями, может служить трубчатый аппарат с большим отношением длины к диаметру и большой скоростью движения реагентов (рис. 2.11).
Модель с распределенными параметрами
T
ср
(все параметры меняются по длине с течением
времени —
) и температурное поле внут-
ри бруска описывается уравнением в частных
q
х
производных — одномерным уравнением теплопроводности
2
T
TT
мср
Модель
с распределенными
параметрами
∂
T
где
a
— коэффициент температуропроводности.
∂
Правильно поставленная задача может
∂
a=
τ
,
2
x
∂
облегчить решение.
Например, исследуемый брусок, изображенный на рис. 2.11, можно перевести в модель с сосредоточенными параметрами (взять малую длину бруска и очень теплопроводный
материал).
Прямые и обратные задачи
Прямая задача: известно
Обратная задача:
Ставится эксперимент и находятся
Bxu ,,
, нужно найти функции отклика.
, — нужно определить совокупность параметров В.
.
)B,x,u(Φ=y
1
. (2.24)
Сложность структуры технологического процесса, в частности, проявляется в том,
что составляющие его "элементарные" процессы протекают на разных уровнях: от наинизшего (уровень молекул) до высшего (например, уровень цеха или завода). Эта разноуровневость
должна найти отражение и в описании этой системы. Одним из наиболее распространенных
28
способов такого отражения является иерархическая структура математической модели. Модель строится путем последовательного перехода в описании процесса с одного уровня на
другой.
Уровни:
1. Молекулярный (описывается законами химической кинетики или кинетики био-
химических процессов).
2. Уровень малого объема. К этому уровню объектов описания относятся, напри-
мер, процессы на одном зерне адсорбента или пузырьке газа, поднимающегося в
барботажном слое (законы макрокинетики, например, массопроводность внутри
зерна).
3. Уровень рабочей зоны аппарата (слой адсорбента, тарелки в ректификационных
колоннах и т.д.).
4. Уровень аппарата.
5. Уровень установки.
6.
Уровень цеха и т.д.
Пример 1
Необходимо разработать математическую модель аппарата с перемешивающим
устройством, в котором нагреваются при перемешивании две жидкости (рис. 2.12).
Рис. 2.12.
Цель
: получить зависимость, которая определяла бы температуру смеси на выходе из
аппарата при изменении расхода компонентов и их температур.
Основные процессы
1) теплоотдача от стенки к жидкости;
2) гидромеханический процесс перемешивания;
3) процесс массообмена, связанный с растворением (если, например, смешивать са-
хар и воду);
4) процесс конденсации пара в паровой рубашке.
:
Аппарат с мешалкой
29
T
G
p
c
ñì
A
B
;~H
F
δ
λ
l
T
T
∆
A
B
A
B
B
ρ
B
A
A
ρ
Σ
Σ
p
Параметрическая схема
T
T
c
c
T
система
G
G
— температура;
— расход пара;
— давление греющего пара;
— теплоемкость.
Наличие перемешивающего устройства с интенсивно работающей мешалкой позво-
ляет сделать следующие допущения:
1) смесь в емкости идеально перемешана. Это допущение дает нам право считать, что
температура во всех точках одна и та же и равна
пT
T
Σ
iT
x
2)
x
,
— концентрации
Анализ процесса теплопередачи
∆TFK=Q
⋅⋅
Σ
п
сация пара);
A
B
; K — коэффициент теплопередачи; (2.25)
G
T
.
const=T
;
const=T
(фазовый переход — конден-
const=∆T
— движущая сила.
const=x
,
const=x
.
const=∆T
;
H — высота слоя жидкости в аппарате;
где
— толщина стенки;
— коэффициент теплопроводности.
TT=∆T
−
;
Σп
30
=K
1
11
+
α
α
1
,
(2.26)
δ
+
λ
п
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]