Применение математических методов в пищевой инженерии. Учебное пособие

D

⋅

2

Nu

=

D

⋅

r

(

)

2D

∆C

β

− , CC=∆C

ρ

т

dr

=dτ

∆C

ρ

т

− , (3.100)

p

dτ∆C=dr

⋅− . (3.101)

β

Уравнение подобия для данного случая имеет вид

3

dβ

=

Nu

=

PrRe1,282Nu ⋅+= , (3.102)

β

2r

. (3.103)

Из выражения (3.101) следует, что критерий Нуссельта изменяется в процессе. Интегрирование уравнения (3.103) от начального до текущего значения дает

r

2

−

∫

r

0

=τ

β=2r

dr

∆C

=

( )

rβ

ρ

r

dr

ρ

т

∫

∆C

( )

r

0

Считаем, что

;

τ

, (3.104)

т

. (3.105)

rβ

, следовательно,(3.106)

D

=β . (3.107)

Подставим (3.107) в (3.105):

r

rdr

ρ

т

=τ

∆C

∫

D

r

=τ

m

=

ρ

т

D∆C

⋅

2

⋅

rρ

0

т

. (3.109)

⋅

22

rr

−

0

, (3.108)

2

Все процессы, в которых осуществляется массопередача, являются сугубо нестацио-

нарными.

3.3. Гидродинамические модели структуры потоков в аппаратах непрерывного действия

Экспериментальные методы исследования структуры потоков в аппаратах

Существует два метода исследования:

1) исследование полей скоростей потоков в аппаратах;

2) метод меченых частиц. Позволяет определить распределение времени пребывания

частиц материала в рассматриваемом аппарате.

Порядок исследования: в аппарат подается навеска меченого вещества. На выходе из аппарата измеряется концентрация меченого вещества во времени. Данные измерения представляются в виде кривых отклика (выходные кривые).

61

a

0

τ

a

c

α

c

a

c

0

c

0

τ<τ0τ>τ

0

τ

M

V

M

объем материала в аппарате;

—

навеска меченого вещества.

V

Меченое вещество по своим гидродинамическим характеристикам не должно отличаться от частиц потока материала, движущегося в аппарате. В этом случае кривая отклика характеризует распределение времени пребывания частиц потока материала в аппарате.

Модели структуры потоков

Модель идеального вытеснения

Данные о распределении времени пребывания меченого вещества в аппарате позволяют судить о самом механизме движения потока, то есть о его структуре внутри аппарата.

V

lF

где

V

—

V

—

нения.

— среднее время пребывания частицы в аппарате;

объем материала в аппарате (объем рабочей камеры аппарата);

объемный расход.

Аппараты с таким режимом движения называются аппаратами идеального вытес-

l

100

Если

>

, то аппарат можно рассматривать как аппарат идеального вытеснения

l

=

=τ

0

vF

v

a

, (3.110)

=

V

c

(

например, кожухотрубный или пластинчатый теплообменник). Такие аппараты описываются математическими моделями с распределенными параметрами, то есть параметрами, меняющимися по длине аппарата с течением времени. В случае многофазных систем время пребывания определяется для каждой фазы отдельно.

Модель идеального перемешивания

Примером является аппарат с интенсивно работающими мешалками.

С

C

Такие аппараты описываются моделями с сосредоточенными параметрами.

M

C

0

материала в аппарате.

0

=

=τ

— в первый момент;

V

a

V

a

— среднее время пребывания частиц

V

c

62

1

=

θ

0

τ=τ

(

)

θ

, стремится к 1.

(

)

θ

ной функцией распределения материала по

θ

ы-

Объем аппарата составляет 12 литров.

о-

у-

л

(

)

θ

(

)

1

θ

=

θ

C

Модели аппаратов промежуточного типа

Пусть

при

Можно показать, что

Площадь под кривой Функция

C

называется дифференциаль-

.

∞

1

=Cdθ

∫

0

C

.

θ

н

1

к

Существует функция

рактеризует долю частиц материала, вышедших из аппарата к моменту времени

θ

( ) ( )

∫

0

времени пребывания.

dθθC=θF

— интегральная функция распределения. Ха-

.

Пример: Расчет среднего время преб

F

вания.

*

θF

Необходимо, чтобы аппарат был заполнен пр текающей жидкостью весь без воздушных п зырей.

*

При расходе жидкости 0,21 л/с был проведен эксперимент с импульсным вводом ме-

ченого вещества. На выходе получены следующие экспериментальные данные:

сτ,

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 >100

мкмоль

C,

0 0 1 4 11 10 7 4 2 0.5 0 0

1. Построим функцию отклика:

С

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 30 50 70 90

Оценим среднее время пребывания материала в аппарате:

τ, с

63

)

(

x

f

x

σ

∑

[

]

⋅−⋅−⋅

−

a

b

x

(

)

τ

c(τ(τ)τ

⋅

∫

0

=τ

0

τ

(ττ)dc

∫

0

n

τc

∑

1

=i

≈

n

c

∑

i

1

=i

=τ

0

+++++++

V

a

=τ

0

10,5

л

0,2150

0

ca

⋅

==Vτ=V

л, а геометрический объем равен

,

V

c

−

aгж

л, т.е. в аппарате находятся пузыри

1,5

=VV=V

τ

Если

∫

0

F(τ(=сdτ

,

где функция

F(τ)

определяет вероятность того, что время пребыва

ния некоторой частицы окажется меньше τ. Ее называют

деления

времени пребывания

.

xF

∞

—

m

—

математические ожидание случайной величины

2

—

дисперсия –это средний разброс значений случайной величины относительно ее мате

m

плотность распределения случайной величины

матического ожидания

2

=σ

σ —

среднеквадратичное отклонение

Рассчитаем для нашего примера дисперсию

;

.

∫

0

;

:

∑

12

∑

=i

1

c

i

=

c

i

( )

−

0

12

c

∑

i

=i

1

;

2

cττ

i

, (3.116)

f(x)

~

;

c

i

2

=σ

c

i

2

=σ

2

39,5

)(+)(+)(+

0,550902508045070

39,5

ii

, (3.111)

0451602804205004401202000

++++++++++

=

50c

с

,

0,5247101141

12 л.

.

интегральной функцией распре-

b

⋅

f(x)dxx=m

x

∫

a

b

∫

a

=f(x)dx

τ=m

0

x

2

215,2

=c

, (3.112)

22

⋅−

f(x)dx)m(x=σ

x

1

, (3.114)

, (3.113)

, (3.115)

750601150404503015020

+)(+)(+)(+)(

⋅−⋅−⋅−⋅−

2

с

;

14,7

=σ

с.

-

64

τ

∂

x

τ

x

=

V

x

τ

x

τ

∂

w

≠

L

w

L

x

τ

Аппараты промежуточного типа

В соответствии с уравнением конвективной диффузии

c

I+c)D(=)v(c+

graddivdiv −−

, (3.117)

∂

для случая одномерного переноса

2

c

∂ ∂

c

∂

v+

∂

c

∂

D=

I+

, (3.118)

VLx

2

∂

D

—

коэффициент продольного перемешивания

L

wv

,

источников и стоков нет

I

)0(

,

2

c

∂ ∂

c

∂

w+

∂

c

∂

D=

, (3.119)

L

2

∂

const

1.

=D

L

Если

D

.

= 0, то

L

c

∂

c

w=

−

. (3.120)

∂

Мы получаем модель идеального вытеснения, и

− . (3.121)

l

=ττ

12

2.

,

требуется дополнительное моделирование

0

D

Если

Диффузионная однопараметрическая модель

В этом случае за основу принимается модель полного вытеснения, которая осложне

на продольным перемешиванием

Параметры модели

циент турбулентной диффузии

Допущения

•

концентрация

:

координаты

•

источников

•

—

коэффициент продольного перемешивания

).

;

Модель описывается уравнением

Выполним подобное преобразование этого уравнения

.

-

.

D

(

—

D

= const по

является функцией продольной

скорость потока постоянна

длине и сечению

и

стоков по длине потока нет

или коэффи

;

-

.

2

c

∂ ∂

c

∂

w=

− ∂

c

∂

D+

. (3.122)

L

2

∂

:

65

x

∂

l

w

l

σ

215

σ=σ

5,0=l

Pe

4

=

c

24

S

23

C

θ1=

θ

0

Pe

=∞→

Pe

c

w

x

из

D

∂

2

c

∂

L

2

wl

D

=

L

Pe

— критерий Пекле.

Для описания процесса продольного перемешивания вводится по аналогии с крите-

рием, характеризующим молекулярную диффузию, число

— линейная скорость потока;

— характерный размер аппарата.

1. Из ∞→

D= следует 0Pe , что соответствует аппарату идеального перемешива-

Ll

ния.

2. 0, следует Pe =D

∞→ что соответствует идеальному вытеснению.

Ll

Для достаточно больших lPe ( 10Pe >l) можно получить

σ

2

=σ

Pe

, где

l

2

=σ

τ

2

— дисперсия, а

2

— безразмерная дисперсия.

Pe

2

=

l

2

0

2

5022τ2

⋅

Pe следует

, (3.123)

l

Pe

,

2

, (3.124)

2 0

2

23

==

.

wl

Пусть

м, тогда

=D

L

,

3

−

⋅

V

=SSl,=V

l

1012

0,5

32

−

м

1024

⋅

==

м2;

2

dSπ

=

,

S

=d

π

3,14

3

−

410244

⋅⋅⋅

0,175м/с

==

м;

0,21

V

21,0

л/с,,

wS=V

c

,

c

=w

33

−−

109108,75м/с

⋅≈⋅==

м/с;

3

−

⋅

109

L

==D

4

−

102м/с

⋅

м/с.

Из решения уравнения однопараметрической диффузионной модели для мгновенного ввода индикатора во входящий в аппарат поток можно получить выражение для плотности распределения частиц по времени пребывания:

4θ

2



−

1Pe

)(θ



 



−



Pe



⋅

=C . (3.125)

e

4

πθ

66

n

i

−

i

n

d

θ

n

0

τ

n

0

1

2

3

n

c

1

2V3

n

Ячеистые модели

В соответствии с этой моделью аппарат рассматривается состоящим как бы из ряда соединенных последовательно по ходу потока одинаковых ячеек, в каждой из которых поток идеально перемешан:

c

V

1

c

V

c

Параметр модели — число ячеек

Уравнение для

- той ячейки

V

3

c

V

.

V=V ,

я

i

V

— i-тый объем,

V — объем ячейки.

я

dc dτ

i

=

i

11

=

τ

0

i

cc

i

cc

ii

−−

1

, (3.126)

V

я

V

c

dc

V

c

i

dτ

=

V

i

−

( )

−

1

я

cc

. (3.127)

ii

Математической моделью будет являться система из

дифференциальных уравне-

ний записанного выше типа.

V

a

Для случая

...

321

=V=V=V=V=V

я

n

одинаковых ячеек можно получить из запи-

санного уравнения

Решение системы уравнений дает связь между распределением С-кривой и числом ячеек по соотношению

dc

1

i

cc=

−

, (3.128)

ii

−

1

V

=θ

;

τ

c

=C

=

c

0

я

θn

−1

a

. (3.129)

=V

nn

1

−

n

θ

−

e

. (3.130)

)!(n

67

1=n

∞

→

n

σ

2

1

s

l

w

ρ

M

S

ct

ρ=ϕ

τ

∂

r

l

1t2ts

c

dx

dV

θ1=

n

∞

→

n

С

Принцип секционирования аппаратов позволяет выровнять распределение частиц по временам пребывания.

Для расчета числа ячеек

Оценка влияния структуры потока материала на работу теплообменных аппаратов

Рассмотрим теплообменник «труба в трубе».

, tt

t

— температура греющего пара;

— длина теплообменника.

— скорость жидкости;

— плотность жидкости, кг/м3;

с — удельная теплоемкость жидкости, Дж/(кг·К);

— массовый расход жидкости, кг/с;

— площадь поперечного сечения трубы, м2;

П — периметр трубы, πD=П ;

Общее уравнение переноса

Допущения:

– процесс стационарный –

V

конденсат

— температура жидкости на входе и выходе;

— потенциал переноса, Дж/м3.

используется зависимость

∂

Если Если

Остальное — аппараты промежуточного типа.

=n

греющий пар

— идеальное перемешивание.

— идеальное вытеснение.

1

.

2

t

rr

I+q=)v(+

{ divdiv −⋅

{ divdiv −⋅ . (3.132)

. (3.131)

V

I+q=)v(

V

68

0

div

=

q

r

x

∂

Sdx

dV

−

S

−

1

x−0

Модель идеального вытеснения

1)

2)

0, ;

w=v=v=v

xzy

const const

=c,=ρ

;

3) переносом теплоты по потоку за счет теплопроводности пренебрегаем, т.е.

.

t

wρρ

w

dt

dx

I=

. (3.133)

V

∂

I

V

=

, (3.134)

ρc

dQ

=

=I

V

t)dFK(t

=

t)П)ПK(t

ss

;

t)ПK(t

V

s

=I

. (3.134)

Подставим последнее выражение в предыдущее:

=

ρcS

t)(tKП

s

.

dt

w

dx

Разделим переменные:

dt

=

−

tt

s

KП

1

. (3.135)

dx

wρcS

Проинтегрируем последнее уравнение в пределах

tt

,

:

KП

ln −− ,

=t|t)(t

ts

1

ρcSw

x

|dx

0

KП

lnln −−− ,

=)t(t+t)(t

ss

1

x

ρcSw

KП

=)t(tt)(t

lnln ,

ss

−−−−

1

x

ρcSw

ln

 

 



tt

−

s



tt

−

s

1



=

−

KП

ρcSw

x

,

exp

)t(tt=t

exp

 

−−

 



KПП



−−−



ρcSw



tt

−

s

=

tt

−

s

1

ss

1



KПП



,



ρcSw



 

. (3.136)

 

Полученное уравнение позволяет рассчитать распределение теплоты по всей длине теплообменника для случая движения жидкости в режиме идеального вытеснения.

69

lttdx

−

S

−

2

n

1t2

s

2

l

t

1t2

s

F

t

1t2

s

F

2

Модель идеального перемешивания

Жидкость в аппарате идеально перемешана, поэтому ее температура постоянна по

длине.

t

w

dt

I

dt

V

, (3.137)

=

cρ

dx

≈ , (3.138)

12

=I

V

)t(tKП

s

2

. (3.139)

Отсюда уравнение (3.138) с учетом записанных условий преобразуется к виду

tt

w

l

=

Scρ

)t(tKП

s

212

. (3.140)

Решим его относительно

t

:

−− , откуда

)tl(tKП=)Scρtw(t

s

212

wcSρc+ltKП

=t

2

s

1

или

,

lKП+wcSρ

KПП

+t

1

=t

2

1

+

wcSρ

KПП

wcSρ

t

s

(3.141)

Ячеистая модель

Поток материала в этом случае представляется разделенным на ряд последовательно разделенных ячеек идеального смешивания. В этом случае математическое описание модели

включает

n уравнений теплового баланса для каждой из ячеек, где n — число ячеек.

Допущения:

• аппарат состоит из трех последовательно

соединенных ячеек;

• жидкость в них идеально перемешана.

t

)1(

t

)2(

t

1

3

t

)2(

t

)1(

t

Разделим аппарат на

равных ячеек.

70