Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Санкт-Петербургский государственный университет
промышленных технологий и дизайна»
И. Н. Смирнов
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Типовые модели объектов и систем управления
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2020
УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.18я73
С50
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского
государственного университета «ЛЭТИ»
Е. М. Антонюк;
доктор технических наук, заведующий кафедрой Санкт-Петербургского
государственного университета промышленных технологий и дизайна
А. В. Марковец
Смирнов, И. Н.
Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Ти-
С50
повые модели объектов и систем управления: учеб. пособие / И. Н. Смирнов. – СПб.: ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2020. – 161 с.
ISBN 978-5-7937-1828-8
В учебном пособии рассмотрены примеры математических моделей объектов и систем управления производственного характера: моделей тепломассообменных процессов, процессов механической технологии и химико-технологических, а также моделей технических систем управления и процессов управления производством. Показаны основные приемы построения моделей и возможности их аналитического исследования. Даны краткие характеристики
моделей с позиций их дальнейшей реализации на ЭВМ с применением численных методов анализа.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 15.03.04 –
Автоматизация технологических процессов и производств.
УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-7937-1828-8
2
ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2020
Смирнов И. Н., 2020
ОГЛАВЛЕНИЕ
.......
.............................
...........................
............................
............................
..........................
............
..........................
..........................
............................
...........................
(этап I)...................
II)..................
.....
...........................
...........................
............................
............................
...........................
………….
..........
........
вия................................................
......
…………………...
ния……………………………………………..
ты……
ма………………………….......
ния………………………………………..
………………….
лей………………………………………….
ми……………………………………………………..
ния………………………
………….
………..
……
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................
..
Глава 1. Модели тепломассообменных процессов...........
§1.1 Теплообменник смешения...............................................
§1.2. Нестационарный процесс теплопроводности...............
§1.3. Общая задача теплопроводности..................................
§1.4. Обогреваемый цилиндр...................................................
§1.5. Трубчатый теплообменник............................................................
§1.6. Процесс диффузии...........................................................
Глава 2. Модели процессов механической технологии...
§2.1. Измеритель натяжения………………………................
§2.2. Процесс свободных колебаний нити.............................
§2.3. Аналитическое решение задачи о колебаниях нити
§2.4. Аналитическое решение задачи о колебаниях нити (этап
§2.5. Модель неподвижной волокнистой ленты (характеристики)............
§2.6. Модель неподвижной волокнистой ленты (уравнения)………………
§2.7. Пример модели ленты.....................................................
§2.8. Модель ленты в изображениях.......................................
§2.9. Пример модели ленты в изображениях........................
§2.10. Модель движущейся ленты.........................................
§2.11. Модель вытяжного прибора…….................................
§2.12. Пример модели вытяжного прибора……………………...…
Глава 3. Модели химических реакторов..............................................
§3.1. Общие положения..............................................................................
§3.2. Модель реактора непрерывного дейст
§3.3. Модель периодического реактора……………………………………
Глава 4. Модели систем автоматического управления
§4.1. Предварительные замеча
§4.2. Система регулирования линейной плотности волокнистой лен
§4.3. Электрогидравлическая следящая систе
§4.4. Система регулирования давле
Глава 5. Модели процессов управления производством
§5.1. Общая характеристика моде
§5.2. Управление запаса
§5.3. Три задачи математического программирова
§5.4. Расписание работы технологической линии…………………
§5.5. График установки оборудования……………………………….
§5.6. Модель рекламной кампании……………………………………….
…..37
….79
.97
3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
…………………………………………………………….…..
………………..………….………….
……………………..
……..
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Некоторые свойства -функции
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Сведения из теории преобразования Лапласа
…155
4
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование – это метод исследования, основанный на замене изучае-
мого объекта (оригинала1) другим объектом (моделью2), в достаточной для целей исследования мере сходным с изучаемым3.
Моделирование часто выступает в качестве альтернативы натурным ис-
пытаниям оригинала. Понятно, что при этом неизбежна потеря той или иной
части информации об оригинале, поэтому для применения моделирования
должны существовать достаточно веские основания. Такими основаниями могут быть определенные преимущества модели перед оригиналом. Рассмотрим
некоторые из них.
Доступность модели. Возможны объекты, принципиально недоступные
для непосредственного исследования. К их числу относятся, например, проектируемые, но еще не созданные изделия и системы. Многие из возникающих в
таких случаях проблем могут быть решены средствами моделирования.
Возможность непосредственного наблюдения модели. По отношению к
оригиналу такая возможность часто сильно ограничена или просто не существует. Например, нельзя непосредственно наблюдать распространение радиоволн. В то же время прямое наблюдение часто способно дать для понимания
сути дела больше, чем многочисленные таблицы и графики.
Возможность измерения и регистрации процессов, происходящих в моде-
ли. Ситуации, когда измерение и запись параметров оригинала вызывают серьез-
ные затруднения, встречаются часто. Например, трудно измерить температуру
внутри сплошного твердого тела. Модель может быть специально подобрана
так, чтобы обойти подобные трудности.
Возможность быстрой перестройки параметров или структуры модели.
Распространенная цель исследований – получение зависимостей некоторых показателей от параметров, а также оптимальный выбор параметров. Аналогичные задачи могут ставиться и по отношению к структуре исследуемого объекта.
Необходимые в связи с этим изменения в модели могут достигаться быстрее и
проще, чем в оригинале.
Возможность проведения ускоренных или замедленных испытаний на
модели. Процессы, протекающие в оригинале очень быстро (например, взрыв)
или очень медленно (например, рост растений и развитие образованных ими
1
От лат. originalis – начальный; вместо термина «оригинал» иногда употребляют
«натуральный объект», «натура».
2
От лат. modulus – мера.
3
Несмотря на широкое распространение термина «моделирование» в научно-тех-
нической литературе, общепринятого его истолкования пока нет. Более того, можно встретить скептические высказывания типа: «Идея моделирования интуитивно ясна, но, повидимому, не имеет никакого удовлетворительного определения» (Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. – С. 369).
5
сообществ), при моделировании могут быть искусственно приведены к удобным для исследования интервалам времени.
Возможность проведения на модели «разрушающих экспериментов». Це-
лью исследования некоторых объектов (например, строительных конструкций)
может быть определение предельных нагрузок, превышение которых вызывает
разрушение объекта. Соответствующий эксперимент с оригиналом обычно недопустим, если это не серийное и относительно дешевое изделие. На модели он
возможен.
Безопасность исследований на модели. Речь может идти как о безопасно-
сти для самих исследователей, так и о безопасности для окружающей среды.
Малая стоимость проведения исследований на модели. Экономические
преимущества моделирования перед непосредственным исследованием оригинала могут оказаться столь велики, что этот фактор зачастую является решающим при выборе между моделированием и натурным экспериментом.
Перейдем к обзору методов и средств моделирования, попутно отмечая
некоторые вехи в истории их развития.
Сначала вернемся к принципиальному вопросу о сходстве оригинала и
модели. Выше отмечалось, что требуемая степень сходства связана с целью исследований. Глобус представляет собой неплохую модель для изучения формы
и поверхности Земли в рамках школьной программы. Но для элементарного
анализа ее движения по орбите более подходит простой грузик на веревке.
Естественное стремление отразить в модели максимум присущих ориги-
налу черт и тем самым сделать ее по возможности универсальной привело к созданию первых в историческом плане так называемых физических моделей. Это
– модели, сохраняющие физическую природу оригинала (по крайней мере, частично) и подобие его геометрической формы, т. е. по существу – уменьшенные
(иногда – увеличенные) копии оригинала. Исследования, проводимые на физических моделях, называют физическим моделированием.
Процедура моделирования включает в себя постановку физических экс-
периментов на моделях в лабораторных условиях, проведение необходимых измерений и последующий перерасчет по несложным формулам полученных
результатов в целях их распространения на оригинал.
Наиболее плодотворно физическое моделирование проявило себя в пери-
од между серединами XIX и XX вв. в аэродинамике (анализ процессов обтекания тел воздушным потоком), в гидравлике и гидротехнике (изучение гидротехнических сооружений и русловых потоков), в кораблестроении (исследование ходовых качеств, качки судов и характеристик их корпусов, винтов, рулей),
в теплотехнике (изучение теплообменных и выпарных аппаратов, топок, горелок), в электроэнергетике (исследование энергосистем, содержащих генераторы, трансформаторы, линии передачи и т. п.).
Теоретические основы физического моделирования изучаются теорией
подобия и размерностей. Согласно ее положениям выводы, полученные относительно модели, могут быть перенесены на оригинал только при соблюдении
6
условий подобия, заключающихся в равенстве некоторых безразмерных выра-
dt
dt
N
C
жений, составленных из характерных параметров (длины, скорости и т. д.) соответственно для оригинала и модели. Эти выражения называют критериями
подобия. Известны критерии Рейнольдса, Фруда, Струхаля и многие другие.
Соблюдение условий подобия на практике может встречать серьезные
трудности. Кроме того, при моделировании сложных явлений различные критерии могут вступать в противоречие. Приходится пренебрегать некоторыми требованиями и вносить расчетным путем поправки в результаты моделирования.
Таким образом, возможности физического моделирования существенно
ограничиваются условиями подобия. Кроме того, физические модели обычно
требуют больших затрат на их изготовление.
Современной науке известны многие явления, имеющие разную физиче-
скую природу, но описываемые одинаковыми с математической точки зрения
уравнениями. Такие явления иногда называют аналогиями, дополняя этот термин указанием на их физическое содержание (электрогидродинамическая, гидротепловая и другие аналогии).
L
K
M
E
q
R
а б
К электромеханической аналогии
Рассмотрим простейший пример электромеханической аналогии. На ри-
сунке (схема а) показана механическая система с одной степенью свободы, образованная телом с массой М, подвешенным на пружине с жесткостью К.
Подвес снабжен гасителем колебаний, создающим силу сопротивления, пропорциональную скорости тела с коэффициентом демпфирования N. На тело
воздействует сила F(t), зависящая от времени t (этот аргумент указан не во всех
обозначениях). Перемещение тела обозначено x(t) (x0 при F0).
На основании второго закона Ньютона получаем уравнение движения
2
M
d x
2
+ N
dx
+ Kx F. (В.1)
Предположим, что в начальный момент t 0 система покоится:
7
dt
dt
dt
C
dt
(0) 0, 0
dt
dx
x(0)0,
. (В.2)
00t
На схеме б изображен электрический контур, составленный из катушки с
индуктивностью L, резистора с сопротивлением R и конденсатора с емкостью C.
К контуру приложена внешняя ЭДС Е(t). Обозначив q(t) заряд конденсатора и
применив правила Кирхгофа, получим уравнение относительно q
L
2
d q
2
+ R
dq
+
1
q E. (В.3)
Предположим, что в начальный момент времени t0 заряд на конденса-
торе и ток
в контуре отсутствуют
dq
dq
q
t
. (В.4)
0
Уравнение (В.1) с условиями (В.2) с математической точки зрения отли-
чается от уравнения (В.3) с условиями (В.4) только обозначениями.
Пусть для механической системы известны конкретные числовые значе-
ния M, N, K и вид функции F. Тогда для электрической можно подобрать такие
величины L, R, C и вид E, которые после подстановки соответствующих чисел в
уравнение (В.3) обеспечат его полное совпадение с уравнением (В.1), кроме
разве что обозначений x и q.
Это значит, что и решения этих уравнений дадут одинаковые числовые
результаты. Экспериментально исследуя поведение электрической системы –
зависимость q(t), можно немедленно перенести полученные при этом результаты на механическую систему и найти x(t).
Очевидно, что изложенная схема действий полностью соответствует при-
веденному ранее определению моделирования как метода исследования. При
этом механическая система выступает в качестве оригинала, а электрическая –
модели. Можно поступить и наоборот – рассматривать электрическую систему
как оригинал, а механическую как модель. Целесообразность того или иного
решения определяется обсуждавшимися выше преимуществами, которыми обладает модель перед оригиналом. По-видимому, в качестве модели разумнее
выбрать электрическую систему, поскольку она, скорее всего, окажется дешевле механической, а измерения происходящих в ней процессов – проще.
Электромеханическая аналогия дает пример математических моделей.
Это – модели, сходство которых с оригиналом заключается в идентичности их
математических описаний. Исследования на математических моделях называют
математическим моделированием. Можно составить обширный список анало-
8
гий, открывающих широкие возможности математического моделирования.
0
Например, уравнение в частных производных, носящее имя Лапласа,
2
( , ) ( , )
U x y U x y
2 2
x y
2
,
приведенное здесь для случая плоской декартовой системы координат x, y, описывает такие разнородные физические явления, как тепловые (в этом случае U –
стационарное распределение температуры в сечении тела плоскостью), диффузионные (U – концентрация вещества), электрические (U – потенциал электрического поля) и др. Любое из этих явлений может выступать как средство для
исследования остальных, давая новые примеры математических моделей.
Стоит еще раз отметить неоднозначность терминологии в имеющейся
обширной литературе по моделированию. Термин «математическая модель»
часто используют для обозначения только математического описания оригинала. Можно считать это узким толкованием термина. В широком смысле «математическая модель» – это и описание, и средства для его реализации, т. е.
получения на его основе количественных результатов.
Сходство между физическими явлениями, выступающими как оригинал и
модель, зачастую не ограничивается видом соответствующих уравнений и распространяется на подробности описания явлений. Иными словами, деталям в
описании оригинала могут быть прямо сопоставлены детали описания модели.
Математические модели такого типа называют иногда моделями прямой анало-
гии.
Для электромеханической аналогии схема сопоставления выглядит так:
в механической системе в электрической системе
перемещение, заряд,
скорость, ток,
сила, ЭДС,
масса, индуктивность,
коэффициент демфирования, сопротивление,
жесткость. величина, обратная емкости.
Математическое моделирование на основе прямых аналогий объединяет с
физическим моделированием необходимость проведения экспериментов на модели. В то же время математическая модель выполняет принципиально новую
важную функцию: она выступает как средство для решения общих с оригиналом уравнений.
Становится понятной желательность использования в качестве моделей
специально сконструированных универсальных вычислительных устройств,
ориентированных на широкий круг объектов исследования. Такие устройства
действительно появились в практике моделирования, как только развитие тех-
9
ники достигло необходимого уровня. Они получили название аналоговых вы-
числительных машин (АВМ)1.
Большинство конструкций АВМ основано на элементах электронной тех-
ники, а физическими величинами, наблюдаемыми в ходе моделирования (так
называемыми машинными переменными) являются напряжения электрического
тока2. АВМ представляют собой счетно-решающие устройства, конструктивно
состоящие из операционных блоков, выполняющих над машинны-ми переменными отдельные математические операции: сложение, умножение, интегрирование и т. д.
В основе операционных блоков обычно лежит операционный усилитель –
усилитель постоянного тока с высоким коэффициентом усиления и стабильными характеристиками. Такой усилитель, охваченный цепью глубокой отрицательной обратной связи, содержащей резисторы, конденсаторы и другие
элементы, приобретает функции сумматора, интегратора и т. п.
С помощью электрических соединений операционные блоки объединяют-
ся в схему, происходящие в которой процессы подчиняются уравнениям, почти
совпадающим с уравнениями оригинала. Возможные непринципиальные отличия учитываются при переходе от машинных переменных к переменным оригинала путем пересчета по несложным формулам.
При этом АВМ непосредственно воспроизводит только решения обыкно-
венных дифференциальных уравнений с начальными условиями (задача Коши).
Остальные задачи теми или иными приемами должны быть сведены к этой исходной постановке, что обычно снижает эффективность и точность решений.
В отличие от операций с физическими моделями и моделями прямой ана-
логии моделирование на АВМ почти лишено признаков физического эксперимента. Машинные переменные изменяются в заранее обусловленных пределах,
а их наблюдение и измерение осуществляется с помощью стандартных приборов, входящих в состав АВМ (осциллографы, вольтметры). Схемы соединения
операционных блоков в АВМ не обнаруживают детального сходства с оригиналом, как в случае моделей прямой аналогии.
В годы, предшествовавшие появлению современных цифровых машин,
АВМ выступали как основное техническое средство решения задач математического моделирования. Они сыграли большую роль при создании и исследовании сложных инженерных разработок в ракетостроении, навигации, ядерной
энергетике, в сфере систем автоматического управления и во многих других областях.
Электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ), роль которых
стала заметна уже с 40-х годов прошлого века, открыли новую эру моделирова-
1
Появлению АВМ предшествовало изобретение механических интеграторов Дж. и
У. Томпсонов, А. Н. Крылова и др. Но они не получили широкого распространения из-за
ограниченных возможностей.
2
Известны АВМ, использующие и другие физические носители информации, напри-
мер, давление сжатого воздуха.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]