Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование основных задач классической механики. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.Б. ПЕНЬКОВ, Л.В. САТАЛКИНА, Д.А. ИВАНЫЧЕВ
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2013
УДК 531:519.6 (07)
П 256
Рецензенты:
Кафедра теоретической механики Тульского государственного университета
Маркин А.А., д-р. физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического
моделирования Тульского государственного университета
Пеньков В. Б.
П 256 Компьютерное моделирование основных задач классической механики
[Текст]: учеб. пособие / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина, Д.А. Иванычев. –
Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2013. - 86 с.
ISBN 978-5-88247-594-8
Пособие соответствует государственному образовательному стандарту
дисциплины «Теоретическая механика», «Механика» направлений бакалаврской подготовки студентов всех технических специальностей.
Пособие содержит комплекс работ по моделированию объектов класси-
ческой механики. Существенное внимание уделено фундаментальным положениям механики.
Табл. 5. Ил. 74. Библиогр.: 6 назв.
ISBN 978-5-88247-594-8 © Пеньков В.Б., Саталкина Л.В.,
Иванычев Д.А, 2013
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный
технический университет», 2013
Содержание
Введение ....................................................................................................................... 5
1. Равновесие произвольной плоской системы сил ................................................. 7
1.1. Теоретическая справка ..................................................................................... 7
1.2. Задание на работу ........................................................................................... 12
1.3. Пример выполнения задания......................................................................... 13
Выводы по работе .................................................................................................. 16
Контрольные вопросы........................................................................................... 16
2. Равновесие произвольной пространственной системы сил .............................. 18
2.1. Теоретическая справка ................................................................................... 18
2.2. Задание на работу ........................................................................................... 21
2.3. Пример выполнения задания......................................................................... 22
Выводы по работе .................................................................................................. 26
Контрольные вопросы........................................................................................... 26
3. Кинематика материальной точки ......................................................................... 28
3.1. Теоретическая справка ................................................................................... 28
3.2. Задание на работу ........................................................................................... 32
3.3. Пример выполнения задания......................................................................... 34
Выводы по работе .................................................................................................. 41
Контрольные вопросы........................................................................................... 41
4. Сложное движение точки ..................................................................................... 42
4.1. Теоретическая часть ....................................................................................... 42
4.2. Задание на работу ........................................................................................... 46
4.3. Пример выполнения задания......................................................................... 47
Выводы по работе .................................................................................................. 54
Контрольные вопросы........................................................................................... 55
5. Дифференциальные уравнения движения материальной точки ...................... 56
5.1. Теоретическая часть ....................................................................................... 56
5.2. Задание на работу ........................................................................................... 61
3
5.3. Пример выполнения задания......................................................................... 62
Выводы по работе .................................................................................................. 66
Контрольные вопросы........................................................................................... 66
6. Вынужденные колебания материальной точки .................................................. 68
6.1. Теоретическая справка ................................................................................... 68
6.2. Задание на работу ........................................................................................... 73
6.3. Пример выполнения задания......................................................................... 74
Выводы по работе .................................................................................................. 81
Контрольные вопросы........................................................................................... 81
Заключение ................................................................................................................. 82
Библиографический список ...................................................................................... 83
4
Введение
Цикл работ организован в соответствии с требованиями, предъявляемыми
к рабочим программам учебных курсов «Теоретическая механика», «Механика» для всех технических специальностей вуза.
Конкретное наполнение цикла отвечает современным потребностям подго-
товки специалистов.
Реализация цикла работ преследует цель, состоящую в приобретении
навыков моделирования процессов и состояний объектов в классической механике. Ряд решаемых задач способствует достижению цели: основополагающие
задачи статики (равновесие плоской системы сил, пространственной системы
сил), кинематики (сложное движение точки), динамики (дифференциальные
уравнения движения точки, вынужденные колебания точки).
Теоретическая ценность комплекса работ раскрывается рядом положе-
ний: система аксиом классической механики, применение аксиом для анализа
равновесия абсолютно твердого тела и движения точки в кинематическом и динамическом смыслах.
Практическая значимость состоит в овладении навыками формализации
прикладных задач; выбора конкретных методов анализа и синтеза для их решения; навыками решения формализованных физико-математических задач.
Структура комплекса определена перечнем тем.
Тема 1: «Равновесие произвольной плоской системы сил». Требуется
установить уровень реакций связей, обеспечивающих равновесие твердого тела
при воздействии плоской системы сил.
Тема 2: «Равновесие произвольной пространственной системы сил». Требуется установить уровень реакций связей, обеспечивающих равновесие твердого тела в произвольном варианте нагружения.
Тема 3: «Кинематика материальной точки». Требуется установить кинематические характеристики точки в декартовой и естественной системах координат, соотнести их с траекторией движения и прокомментировать результаты.
5
Тема 4: «Сложное движение точки». Требуется определить кинематические характеристики точки в ее движении, структурно составленном из совокупности переносного и относительного движений.
Тема 5: «Дифференциальные уравнения движения материальной точки».
Требуется установить закон движения точки по начальному состоянию ее характеристик и закону изменения во времени приложенной силы.
Тема 6: «Вынужденные колебания материальной точки». Требуется
составить уравнения движения точки, присоединить к ним начальные условия,
решить задачу Коши, определить параметры, сопровождающие колебательные
движения точки, сравнить амплитудно-частотные характеристики
вынужденных колебаний при различных значениях коэффициентов вязкости.
Результаты решения прокомментировать.
К выполнению работ предъявляется ряд требований:
- в процессе подготовки к работе требуется изучить теоретический материал и ответить на ряд тестовых вопросов, получив допуск к вычислительным
работам;
- «запустить» обслуживающий работу модуль и, следуя подсказкам и логике работы, выполнить ее содержательную часть, подготовить необходимые
иллюстрации;
- основные этапы выполнения и результаты работы поместить в электронный отчет;
- защитить работу перед преподавателем.
Программное обеспечение работ реализовано авторами в системе Mathe-
matica 7.0 и позволяет в интерактивном режиме вводить информацию, подготовленную студентом, оперативно, «жестко» и наглядно тестировать ее истинность, предлагает возможности для корректировки данных, обеспечивает качественное иллюстрирование результатов расчетов.
6
1. Равновесие произвольной плоской системы сил
.hF)(M
O
F
Учение о равновесии начало формироваться еще с античных времен
(Аристотель, Архимед). В настоящее время оно базируется на системе аксиом и
понятий, введенных в оборот в эпоху Ренессанса (сила, момент силы и др.). Все
заключения выводятся из аксиом средствами логики. Знание этих базовых понятий и умение их использовать в практике инженерных расчетов является необходимым условием формирования инженера-расчетчика. Работа преследует
цель – освоение этих знаний обучающимися на классах задач о равновесии
плоской системы сил, наиболее часто встречающихся в практике.
В процессе выполнения работы обучающийся должен усвоить понятие
равновесия, аксиоматику статической системы сил, получить навыки в рациональном выборе системы уравнений равновесия, заменять распределенную
нагрузку эквивалентной сосредоточенной, научиться грамотно составлять
уравнения равновесия, выполнять тесты, аргументирующие истинность построенного решения.
1.1. Теоретическая справка
Произвольной плоской называется система сил, линии действия которой
расположены в одной плоскости.
Моментом силы относительно точки называется алгебраическое значение
произведения величины силы F на ее плечо h относительно точки O(расстояние от точки до линии действия силы).
7
)(M)(M)(M
OO21O 21
FFFF
hFM
h
F
O
+
–
F
’
h
F
Рис. 1.1. Определение момента силы относительно точки
Правило знаков: момент считается положительным, если вращательное
действие силы относительно точки направлено против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Часто процессу вычисления момента силы относительно точки способствует применение теоремы Вариньона: момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих
.
Парой сил называют совокупность двух равных по величине сил, направленных в противоположные стороны, вдоль параллельных линий действий
(рис.1.2). Расстояние между параллельными есть плечо пары h. Пара обладает
положительным или отрицательным вращательным действием (см. правило
знаков); ее основной механической характеристикой является момент пары
.
Рис. 1.2. Пара сил
8
Пара обладает уникальными свойствами: 1) ее произвольным образом
FF
i
i
FR
i
iOO
)(MM F
1
O
)(M
1
O
R
).(MMM
11
OOO
R
0R
.0)(M
,0
i
iO
i
i
F
F
можно перемещать в плоскости действия; 2) ее можно перемещать в плоскость
параллельную плоскости действия; 3) можно произвольным образом назначать
плечо пары, подбирая величину силы так, что момент пары оставался неизменным.
Любую силу F можно привести к произвольному центру O, заменив ее
такой же силой
, но приложенной в O, и парой с моментом МО (F).
Вследствие этого произвольная плоская система сил эквивалентна главному
вектору
(1.1)
и главному моменту
. (1.2)
При смене центра приведения Oна
меняется, но значение главного момента изменяется на величину
значение главного вектора R не
(1.3)
Отметим, что если
, то главный момент не зависит от выбора центра
приведения.
Необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной
плоской системы сил являются требования равенства нулю главного вектора и
главного момента всех сил относительно любого центра приведения:
(1.4)
Равновесие твердого тела наблюдается в условиях его взаимодействия с
иными объектами (связями), типичными из которых являются шарнирноподвижная опора (рис. 1.3 а), шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.3 б), плоская заделка (рис. 1.3 в).
9
}Y,X{
iii
F
.0)(M
,0Y
,0X
i
iO
i
i
i
i
F
X
O
X
O
Y
O
M
O
O
X
O
Y
O
O
Y
O
а б в
Рис. 1.3. Связи и их реакции
В соответствии с принципом освобождаемости от связей любую связь
можно отбросить, компенсировав ее действие эквивалентной системой реакций
связей. Грамотное назначение составляющих реакций связей отвечает правилам: 1) количество составляющих реакций равно числу степеней свободы, которые связь локально отнимает у тела; 2) реакция связи проводится в направлении, противоположном тому, в котором связь ограничивает перемещение тела;
3) за поступательное перемещение отвечают реакции-силы, за вращательное –
реакции-моменты.
Варианты реакций, представленных на рис. 1.3, отвечают этим правилам.
При решении задач о равновесии системы сил величины реакций являются неизвестными.
Скалярное представление условия (1.4) с учетом
приводит к
системе трех уравнений равновесия вида:
(1.5)
Существует вторая форма уравнений равновесия с ограничением: ось
не должна быть перпендикулярна отрезку AB.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]