Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование основных задач классической механики. Учебное пособие
.pdf
Таблица 3.2
Координаты
М1, см
Скорость, см/с
Ускорение, см/с2
Радиус
кривизны,
см
x y Vx Vy V Ax Ay A Aτ
An
ρ
2 3 4
16
16.4924
0
32
32
31.045
7.76
35.05
Результаты расчетов
Выводы по работе
Результаты работы необходимо оценить с качественных позиций:
- соотношение траектории движения и вектора скорости;
- ориентация вектора ускорения;
- соотношение компонентов ускорения в декартовой и естественной си-
стемах координат.
1. Способы описания движения точки.
2. Кинематические характеристики точки.
3. Векторный способ описания движения.
4. Координатный способ описания движения.
5. Координатный способ. Вычисление скорости.
6. Координатный способ. Вычисление ускорения.
7. Естественные координаты.
8. Трехгранник Френе.
9. Естественный способ. Траектория движения, путь.
Контрольные вопросы
10. Естественный способ. Вычисление касательного ускорения.
11. Естественный способ. Вычисление нормального ускорения.
12. Естественный способ. Полное ускорение.
13. Радиус кривизны траектории в точке.
41
4. Сложное движение точки
M
M
Целью работы является приобретение инженерных навыков в расчете кинематических характеристик движения точки по отношению к произвольной (в
том числе абсолютной) системе координат. Ожидаемые результаты: 1) разделение абсолютного движения точки на переносное и относительное движения;
2) умение оценивать скорость точки через ее переносную и относительную составляющие; 3) умение рассчитывать абсолютное ускорение точки через характеристики переносного и относительного движения.
4.1. Теоретическая часть
Изучение механического движения объектов возможно лишь по отношению к некоторой системе координат наблюдателя. Такую систему координат
называют абсолютной, если она неподвижна по отношению к абсолютному
пространству, и переносной в противном случае. Тело, с которым связана подвижная (переносная) система координат, называется переносным телом
(рис. 4.1). Движение точки M по отношению к абсолютной системе координат
называется абсолютным движением, по отношению к переносной системе координат – относительным движением. В каждый момент времени с точкой M
совпадает некоторая точка
переносного тела. Ее абсолютное движение
называется переносным движением точки M. Как следствие, в каждый момент
времени с точкой M можно связать переносную траекторию «e» (абсолютная
траектория движения точки
) и относительную траекторию «r» движения
точки M в переносной системе координат.
42
,revvv
re
,, vvv
O
0
y
0
z
0
O
x
y
z
M
'
M
"e
"r"
r
r
r
e
Рис. 4.1. Переносное и относительное движения точки
Для выделения переносного либо относительного движения из абсолютного используют простое правило: чтобы выделить в «чистом» виде переносное
движение надо мысленно запретить относительное, и наоборот, чтобы выделить в «чистом» виде относительное движение надо мысленно запретить переносное.
Скорость точки M подчинена теореме сложения скоростей (рис.4.2)
(4.1)
где
– абсолютная, переносная и относительная скорости точки соот-
ветственно. Каждый из этих векторов направлен по касательной к соответствующей траектории точки.
43
e
ω
,2
rec
vωa
,
cre
aaaa
re
,, aaa
0eω
r
v
"e"
"r"
v
e
v
r
v
M
M
'
Рис. 4.2. Сложение скоростей при сложном движении точки
В общем случае движения переносного тела в каждый момент времени
ему присуща угловая скорость
, направленная вдоль мгновенной оси враще-
ния. Ее наличие порождает поворотное (кориолисово) ускорение, определяемое
векторным произведением
(4.2)
благодаря чему теорема сложения ускорений (теорема Кориолиса) приобретает
более сложную, чем (4.1), форму:
(4.3)
где
– абсолютное, переносное, относительное ускорения соответ-
ственно.
В случае поступательного движения переносного тела (
) кориоли-
сово ускорение отсутствует вследствие определения (4.2).
Для практического определения направления кориолисова ускорения используют правило Н.Е. Жуковского: вектор
относительной скорости точки
проецируем на плоскость, нормальную оси переносного вращения, и поворачи-
44
ваем в этой плоскости в сторону вращения на
90
,sinv2a
rec
re
, vω
rec
v,,a
П
e
e
M
v
r
90
o
a
c
ление кориолисова ускорения.
Для практического расчета величины кориолисова ускорения используют
выражение для модуля векторного произведения
(рис. 4.3). Это и есть направ-
где – угол между векторами
векторов.
Рис. 4.3. Иллюстрация правила Жуковского
;
– модули одноименных
Формулы (4.1) – (4.3) используют при анализе сложного движения точки,
получаемого суперпозицией переносного и относительного движений.
Практическое использование формулы (4.3) наталкивается на техническую трудность: ее развернутая запись содержит до пяти векторов. Возможны
два подхода для выполнения суммирования: 1) представить все компоненты
суммы в алгебраической форме, отнесенной к некоторой системе координат, и
просуммировать их по правилам векторной алгебры; 2) метод проекций: выбираются три взаимно ортогональные оси; вычисляется алгебраическая сумма составляющих на каждую из этих осей; абсолютное значение ускорения определяется по теореме Пифагора.
45
4.2. Задание на работу
c1t
2
e
2
t
2z,0y),t1(2x
2
)2,0(t
1t1
1
t
1
t
re
vvv
re
, vv
cre
aaaa
cre
,, aaa
Задание формируется генератором случайных чисел.
Пример задания: переносное тело - пластина ABCD - вращается вокруг
оси QQ1 сосной системы подшипников с угловой скоростью
. По
линии NP в переносном теле движется точка M. NP представляет собой линию,
описанную параметрическими уравнениями:
(м),
(с).
Требуется установить кинематические характеристики переносного, от-
носительного и абсолютного движений точки M в момент времени
c.
Конкретно требуется:
1) поместить исходные данные задачи на аксонометрический рисунок,
совместив ось QQ1 с осью Ox переносной системы координат. Ось Oz направить параллельно AB, ось Oy должна соответствовать правой связке осей координат системы Oxyz;
2) изобразить на рисунке положение точки M в момент времени
3) изобразить переносную "e" и относительную "r" траектории точки M и
ее положение в момент времени
;
4) вычислить и изобразить на рисунке составляющие абсолютной скоро-
сти точки в соответствии с теоремой сложения скоростей:
,
где
– скорости точки в переносном и относительном движениях соответ-
ственно; вычислить абсолютное значение скорости;
5) записать теорему сложения ускорений:
,
где
– переносное, относительное, кориолисово ускорения соответ-
ственно;
;
46
рения:
вр
e
ц
ee
aaa
вр
e
ц
e
, aa
r
n
rr
aaa
r
n
r
,aa
rec
2 vωa
М
1
tt
6) вычислить и изобразить на рисунке составляющие переносного уско-
,
где
– центростремительная и вращательная составляющие ускорения
при движении точки по переносной траектории;
7) вычислить и изобразить на рисунке составляющие относительного
ускорения:
,
где
– нормальное и тангенциальное составляющие ускорения при движе-
нии точки по относительной траектории;
8) вычислить и изобразить на рисунке кориолисово ускорение:
;
9) используя метод проекций, вычислить абсолютное ускорение точки.
4.3. Пример выполнения задания
Запуск программы вызывает главное окно с расписанной последовательностью действий (рис. 4.4). Выбор пункта «1. Формулировка задания» формирует вариант задания, генерированный случайным образом (см. пример задания
в п. 4.2). Пункт «2. Переносная и относительная траектории точки» запрашивает положение точки
в момент времени
с (рис. 4.5); предписывает осу-
ществить выбор переносной траектории точки (рис. 4.6). По завершении выполняется иллюстрирование переносной и относительной траектории точки
(рис. 4.7). В пункте «3. Расчет скоростей» необходимо ввести вычисленные модули векторов переносной и относительной скоростей (рис. 4.8); указать их
направления (рис. 4.9), при корректном вводе составляющие абсолютной скорости точки отражаются графически (рис. 4.10). Пункт «4. Расчет ускорений»
запрашивает модули переносного центростремительного и вращательного
ускорений точки М (рис. 4.11); направления составляющих переносного уско-
47
рения (рис. 4.12); модули относительного нормального и тангенциального
1t
ускорения точки (рис. 4.13); направления составляющих относительного ускорения (рис. 4.14); модуль кориолисова ускорения (рис. 4.15); направление ускорения Кориолиса (рис. 4.16). В случае корректного ввода данных в пункте 4 иллюстрируются составляющие абсолютного ускорения (рис. 4.17). Далее диалоговое окно запросит ввод вектора абсолютного ускорения точки М в Oxyz (рис.
4.15). В завершении пункта отображается графически абсолютное ускорение
точки (рис. 4.16).
Ввод всех данных сопровождается жестким компьютерным контролем;
при некорректности требуется повторение ввода.
Рис. 4.4. Главное окно программы
Рис. 4.5. Координаты точки Мв момент времени
с
48
Рис. 4.6. Выбор переносной траектории точки
Рис. 4.7. Переносная и относительная траектории точки
49
Рис. 4.8. Модули переносной и относительной скорости точки М
Рис. 4.9. Выбор направлений составляющих переносной и относительной скорости
Рис. 4.10. Составляющие абсолютной скорости точки
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]