Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование основных задач классической механики. Учебное пособие
.pdf
По выполнении решения системы (2.5) рекомендуется выполнить про-
c,b,a
M,G
верку решения на основании соотношений (2.4), выбрав центр приведения, отличный от начала координат. Тождественные равенства нулю главного вектора
и главного момента являются количественными показателями качественного
решения задачи о равновесии.
2.2. Задание на работу
В качестве задания предлагается изучить равновесие тяжелой жесткой
плиты, опирающейся на шесть стержневых опор (рис. 2.3). Геометрические параметры (
) и параметры ее нагружения (
) генерируются автомати-
чески вычислительной системой.
Пример задания: прямоугольная однородная плита ABCD весом G=4кН
закреплена горизонтально системой стержней {AA1, AD1, CB1, CD1, DC1, DD1},
концы которых принадлежат вершинам прямоугольника A1B1C1D1, конгруэнтного ABCD (рис. 2.3). К плите приложена пара сил с моментом Mx = 1 (кНм),
плоскость действия которой параллельна yz. Требуется определить усилия {S1,
S2, S3, S4, S5, S6} в соответствующих стержнях, если AB = a = 6м, AD = b = 2м,
расстояние до опорной плоскости стержней равно c = 4м.
Рекомендованная последовательность действий:
1) плоскость xy системы координат xyz связать с планом пластины, поме-
стив ее начало в вершину A;
2) привести систему активных сил к центру А;
3) освободиться от связей, заменив их действия реакциями;
4) записать уравнения равновесия и решить систему;
5) выполнить проверку решения, приведя к центру C: а) активные силы,
б) систему реакций связей, в) совокупность всех сил.
21
A
A1 B
B1
C1
D1
D
C
a
b cM
x
G
x
y
z
δ
γ
α
β
Рис. 2.3. Задача о статическом состоянии плиты
2.3. Пример выполнения задания
Запуск программы формирует вариант задания, сгенерированный случайным образом (рис. 2.3 соответствует примеру задания п. 2.2).
Для удобства значения тригонометрических функций от углов, изображенных в пособии, приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Для выполнения практических действий (вычисления главного вектора и
главного момента, составления уравнений равновесия) рекомендуется надежный прием, связанный с изображением рис.2.3 в проекциях на три координатные плоскости (рис. 2.4). По этим проекциям удобно безошибочно выписывать
как уравнения сил, так и уравнения моментов.
22
G
M
x
y
A
S1
S6
S2sinα
S5
S4
S3sinα
z
a
G
x
A
z
S6
S4sinβ
S5sinβ
S
3
S
2
S
1
б
y
x
A
S5cosβ
S4cosβ
S2cosα
S3cosα
в
Рис.2.4. Нагружение плиты в проекциях на координатные плоскости:
а - Oxy; б - Oxz; в - Oxy.
Последовательность диалоговых окон запрашивает значения главного
вектора и главного момента активных сил пространственной системы при приведении к центру А (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Главные вектор и момент активных сил при приведении к центру А
23
Это действие повторяется до тех пор, пока не будут введены верные зна-
0
2/aG
2/bGM
G
0
0
S
S
S
S
S
S
0cosacosacosb00
asinasinasina00
00sinbsinb00
1sinsinsinsin1
0coscos000
000coscos0
x
6
5
4
3
2
1
чения. Составляется система уравнений (2.5), ниже выписанная в матричной
форме:
.
Нетрудно заметить, что вектор правых частей системы уравнений состав-
лен из компонентов главного вектора и главного момента активных сил относительно центра приведения A, взятых с противоположными знаками. Ее решение
дает значения реакций связей, далее запрашиваемые программой. Запрос решения повторяется до получения удовлетворительного результата.
Рис. 2.6. Значения реакций связей
24
Для того, чтобы обучающийся убедился в адекватности решения, программа последовательно запрашивает: 1) результаты приведения системы активных сил к центру C:
Рис. 2.7. Характеристики системы активных сил при приведении к центру C
2) результаты приведения системы реакций связей к центру C:
Рис. 2.8. Характеристики системы реакций связей при приведении к центру C
25
В случае удовлетворительного ответа по обоим запрашиваемым пунктам
программа выдает заключение: при приведении к центру C оказалось: главный
вектор всех сил (активных и реакций) равен {0,0,0}, главный момент всех сил
(активных и реакций) равен {0,0,0}. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ВЫПОЛНЕНЫ!
Выводы по работе
Частным результатом выполнения работы о равновесии пространственной системы сил является освоение надежного приема расчета, связанного с
проецированием расчетной схемы на координатной плоскости. Одним из общих результатов является осознание важности оценки реакций связей для практики инженерных расчетов и умение аргументировано доказывать подлинность
инженерного анализа.
Контрольные вопросы
1. Система аксиом статики.
2. Момент силы относительно точки как вектор.
3. Момент пары как вектор.
4. Что значит «скользящий» вектор? «свободный» вектор?
5. Момент силы относительно прямой.
6. Момент силы относительно осей координат.
7. Соотношения момента силы относительно начала координат и осей
координат.
8. Приведение пространства системы сил к центру.
9. Случай равновесия пространственной системы сил.
10. Случай приведения к равнодействующей.
11. Случай приведения к паре.
12. Динамометрический винт (динама).
13. Случай приведения к динаме как общий случай приведения к про-
странственной системе сил.
26
14. Необходимые и достаточные условия равновесия системы сил.
15. Уравнения равновесия пространственной системы сил.
16. Понятия статически-определимой/ неопределимой системы сил.
17. Вопросы тестирования решения пространственной задачи о равнове-
сии.
27
3. Кинематика материальной точки
)t(rr
)t(rv
)t(ra
Тема работы является основополагающей для формирования материалистического мировоззрения в части адекватного представления о механическом
движении. В работе устанавливаются кинематические характеристики точки и
соотносятся с декартовыми и естественными координатами. Практическая
часть работы выполняется под контролем программы, реализованной в системе
Mathematica 7.0. Сопровождается тестированием на каждом шаге действий, качественно иллюстрируется. Завершается формулированием принципиальных
выводов о соотношении кинематических характеристик и траектории движения
точки.
3.1. Теоретическая справка
Для описания движения точки традиционно используются три метода:
векторный, координатный, естественный.
Векторный способ. Движение точки описывается законом изменения ра-
диус-вектора от времени t
. (3.1)
Производная по времени от радиус – вектора точки определяет вектор скорости
точки, который направлен по касательной к траектории движения
, (3.2)
где точка над символом означает дифференцирование по времени.
Вторая производная по времени от радиус-вектора точки дает выражение
для вектора ускорения точки
. (3.3)
28
).t(zz
),t(yy
),t(xx
zyx ,,
.zv
,yv
,xv
z
y
x
222
zyxv
,v/x)x,cos(v
r
M
v
a
0
x
y
z
Рис. 3.1. Кинематические характеристики точки
Заметим, что угол между вектором ускорения и направлением на центр
вписанной в кривую окружности в рассматриваемой точке не может
быть тупым.
Координатный способ. Закон изменения положения точки в трехмерном
пространстве задается системой параметрических уравнений, в которых роль
параметра играет время:
(3.4)
где декартовы координаты точки
суть компоненты радиус-вектора r.
Компоненты вектора скорости соответственно есть:
(3.5)
Модуль скорости равен
сательной к траектории движения соответственно равны
. Направляющие косинусы ка-
, где
29
символ “” означает круговую подстановку индексов:
xz,zy,yx
,xa
x
222
zyxa
,a/x)x,cos(a
,0)z,y,x(f
,0)z,y,x(f
2
1
0
M
000
z,y,x
0t
)t(ss
)z,y,x(M
0
MM
222
dtzyxs
sv
}0,0,v{v
sva
/va
2
n
Эта подстановка порождает последовательность идентичных формул. Повторное дифференцирование определяет компоненты вектора ускорения:
, (3.6)
.
его модуль
и его направляющие косинусы
.
Естественный способ. В пространстве определена траектория движения
точки
(3.7)
начальная точка
, положительное направление отсчета пути по траектории
(
) на траектории соответствует моменту времени
. В дву-
мерном случае систему (3.7) заменяет единственное уравнение, связывающее
две координаты.
Текущее положение точки
в момент времени t определяется
алгебраическим значением пути вдоль траектории
. (3.8)
Алгебраическое значение скорости точки определяется производной от
пути по времени
.
В естественном трехграннике (трехгранник Френе, «касательная-
нормаль-бинормаль», рис. 3.2) скорость имеет единственную проекцию,
направленную вдоль касательной:
. Ускорение имеет две составляю-
щие: в проекциях на касательную и нормаль, а = {аτ, an, 0}, то есть лежит в со-
прикасающейся плоскости, причем
,
, - радиус кривизны
траектории в точке M. а = {аt, an, 0}
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]