Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование основных задач классической механики. Учебное пособие
.pdf
NfFтр
, (6.2)
vF
в
v
c/gm
ст
cту
xcF
tsinFF
0
tsin0
x)x(cgmxm
ст
tsinaxkxb2x
0
2
где N- нормальная реакция взаимодействия тела с поверхностью, f- коэффициент трения. Эти силы направлены навстречу вектору скорости. Силы вязкого
сопротивления в линейном варианте также направлены навстречу скорости и
линейно зависят от ее величины
, (6.3)
- вектор скорости, - коэффициент вязкости среды, кг/с.
Вынужденные колебания материальной точки при наличии возбуждающих воздействий (силовое, кинематическое) представляют собой суперпозицию
собственных колебаний системы и составляющей, обусловленной возбуждающим фактором.
В качестве примера рассмотрим механическую систему, состоящую из
груза массой m, пружины жесткостью c и демпфером с параметром вязкости
(рис. 6.2 б). Ось координаты x, отвечающей за колебания, направим верти-
кально вниз. Начало координат выберем в точке O, отстоящей от положения
соответствующего состоянию недеформированной пружины, на расстоянии
, поэтому величина силы упругости равна
.
При силовом возбуждении к грузу приложена внешняя сила, меняющаяся
по закону
, где – частота вынужденных колебаний. При кинема-
тическом возбуждении смещается основание, к которому прикреплена пружина. Закон смещения также синусоидальный
. Применение второго
закона Ньютона (в проекции на ось x) приводит к уравнению
.
После элементарных преобразований получаем общий вид дифференциального
уравнения вынужденных колебаний
, (6.4)
71
где
m2
b
m
c
k
m
c
a
0
0
0kb
22
0b
0a0
0b
0a0
tsintcos)tbksinCtbkcosC(ex
22
2
22
1
tb
b2
a
0
22
0
k
a
0b4)k(
22222
21
C,C
0t
0
x
0
v
)tsin(A)tbk(sineCx
00
22tb
0
,C
0
a
A
0
- параметр, отвечающий за затухание колебаний,
- частота
собственных колебаний (при отсутствии рассеяния энергии);
- ам-
плитудное значение ускорения, вызванного возбуждением.
Собственные колебания систем (низкий уровень вязкости) возникают при
условии
; в противном случае, то есть при высокой вязкости среды,
собственное движение представляет собой апериодический процесс. При
(2.4) называют уравнением вынужденных незатухающих колебаний. При
– уравнением свободных затухающих колебаний. При
,
-
уравнением свободных незатухающих колебаний. Общее решение уравнения
(6.4) имеет вид
,
где
,
,
,
- неопреде-
ленные константы интегрирования, уточняемые в соответствии с начальными
условиями.
В качестве начальных используются условия Коши: при
смещение равно
, начальная скорость есть
.
начальное
Это же общее решение можно переписать в физической форме
, (6.5)
где
- неопределенные константы интегрирования,
- амплитуда
вынужденных колебаний, зависящая от частот собственных и вынужденных
колебаний,
- начальная фаза вынужденных колебаний.
В инженерной практике существенное значение имеет амплитудночастотная характеристика: зависимость амплитуды вынужденных колебаний от
их частоты. Ее знание позволяет рационально проектировать технологические и
функциональные процессы. Например, в радиотехнике явление резонанса ис-
72
пользуется для настройки радиоприемника на передающую частоту; в теории
1
m
0t
0
v
2
m
3
m
автоматического управления стремятся исключить резонансные частоты из рабочего диапазона частот системы автоматического управления («перерегулирование», вызванное резонансом, может увести ракету с номинальной траектории
движения); в робототехнике явление используют, конструируя «резонансные»
промышленные роботы, реализующие ресурсосберегающие технологии.
6.2. Задание на работу
В начальный момент времени груз массой
, прикрепленный к вязко-
упругой подвеске (обобщающая схема динамической системы изображена на
рис. 6.2 а), находится в покое в гравитационном поле. В начальный момент
времени
анты) и одновременно присоединяется масса
ему сообщается скорость
, направленная вверх/вниз (см. вари-
либо отсоединяется масса
Начальные возмущения вызывают колебательный процесс, который требуется
описать и проанализировать.
Требуется:
- привести исходные данные анализируемой системы к эквивалентной
схеме (см. рис. 6.1, рис. 6.2);
- направляя ось координат x вниз и выбирая начало отсчета в положении
равновесия колеблющегося груза, записать уравнение движения;
.
- сформулировать начальные условия для центра масс груза;
- построить частное решение задачи Коши;
- построить амплитудно-частотную характеристику при номинальном
значении параметра вязкости , а также при значениях, отличающихся в десять раз в обе стороны, провести анализ и дать комментарии.
73
Варианты заданий
№
1
c
,
смH
2
c
,
смH
3
c
,
смH
1
m
,
кг
2
m
,
кг
3
m
,
кг
,
кг/с
0
v
,
м/с
Направление
движения,
вверх/вниз
1
2.0 25.0 0
2 2 0
1.2 1 вверх
2
2.0 25.0 0
2 2 0
1.2 1 вниз
3
1.4
0
0.5 2 2 0 1.2 2 вверх
4 5 0
2.5 2 2 0 6 2 вниз
5 5 0
2.5 5 0 1 6 2 вверх
6
1.4
0
0.5 5 0 1 1.2 2 вниз
7
4.0 5.0 0
5 0 1
1.2 1 вверх
8
2.0 25.0 0
5 0 1
1.2 1 вниз
9
25.0
0.2
0
3 1 0
1.2 1 вверх
10
0.2
2.0
5
0 1 3 0 1.2 2 вниз
12 0 1.4
0.5 3 1 0 1.2 2 вверх
13 0 5
2.5 1 3 0 6 2 вниз
14 0 5
2.5 6 0 2 6 2 вверх
15 0 1.4
0.5 6 0 2 1.2 1 вниз
16
0.5
0.4
0
6 0 2
1.2 1 вверх
Таблица 6.1
ностью действий (рис. 6.3).
некорректном вводе требуют повторение процедур.
жесткости пружин 1, 2, 3; коэффициенте вязкости демпфера; массах исходного,
присоединяемого, отсоединяемого грузов; законе изменения возмущающего
перемещения (рис. 6.4 – 6.6).
6.3. Пример выполнения задания
Запуск программы вызывает главное окно с расписанной последователь-
Пункты 2-5 выполняются при жестком контроле со стороны системы; при
Выбор пункта «1. Исходные данные» делает запросы о коэффициентах
74
Рис. 6.3. Главное окно программы
Рис. 6.4. Пункт «1. Исходные данные»:
коэффициенты жесткости пружин и вязкости демпфера
75
Рис. 6.5. Пункт «1. Исходные данные»: массы грузов
Рис. 6.6. Пункт «1. Исходные данные»:
закон изменения возмущающего перемещения
В пункте «2. Параметры эквивалентной схемы» указываются вычисленные значения коэффициента жесткости эквивалентной схемы, статического
удлинения пружины.
76
Рис. 6.7. Пункт «2. Параметры эквивалентной схемы»
В пункте «3. Дифференциальное уравнение» выбрать уравнение вынужденных затухающих колебаний среди множества вариантов и конкретизировать
его параметры: параметр вязкости b, собственную частоту свободных колебаний k, амплитудное значение ускорения вынуждающих колебаний k, частоту
вынуждающих колебаний .
Рис. 6.8. Пункт «3. Дифференциальное уравнение»: уравнение вынужденных затухающих
колебаний
77
x
0t
Рис. 6.9. Пункт «3. Дифференциальное уравнение»: значение параметра вязкости,
собственная частота, амплитудное значение ускорения, частота вынуждающих колебаний
В пункте «4. Начальные условия» вводятся условия задачи Коши для
дифференциального уравнения вынужденных колебаний: смещение вдоль оси
и начальная скорость в момент времени
сти дублируется выбором вверх/вниз.
78
, направление начальной скоро-
Рис. 6.10. Пункт «4. Начальные условия»
В пункте «5. Колебательный процесс (решение ДУ при НУ)» выписывается частное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка; выполняется графическое сопоставление с высокоточным вариантом, полученным компьютером (точки).
Рис. 6.11. Пункт «5. Колебательный процесс (решение ДУ при НУ)»:
закон изменения координаты x от t как результат решения задачи Коши
79
0
0
10
0
1.0
Рис. 6.12. Пункт «5. Колебательный процесс (решение ДУ при НУ)»:
сравнения решения с точным
В пункте «6. Амплитудно-частотная характеристика» автоматически
строится набор амплитудно-частотных характеристик при номинальной и десятикратных значениях параметра вязкости, отличающегося от номинального в
обе стороны.
Рис. 6.13. Пункт «6. Амплитудно-частотная характеристика»:
0-при номинальном значении
1 -
, 2 -
соответствует резонансной частоте
коэффициента вязкости;
; вертикальный пунктир
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]