Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование основных задач классической механики. Учебное пособие
.pdf
Рис. 4.11. Модули переносного центростремительного и вращательного ускорений точки М
Рис. 4.12. Выбор направлений составляющих переносного ускорения
Рис. 4.13. Модули относительного нормального и тангенциального ускорений точки
51
Рис. 4.14. Выбор направлений составляющих относительного ускорения
Рис. 4.15. Модуль кориолисова ускорения
Рис. 4.16. Выбор направления ускорения Кориолиса
52
,м/с5.2cosasinaaa
,м/с5.2aaa
,0sinacosaa
2n
rr
ц
ez
2в
ecy
n
rrx
,м/с535.3aaaa
2
2
z
2
y
2
x
),Ox(,
v
)t(y
sin,
v
)t(x
cos
r
r
1
r
1
v
Рис. 4.17. Составляющие абсолютного ускорения
Используя метод проекций, несложно подсчитать составляющие абсо-
лютного ускорения в системе координат Oxyz:
а затем – и абсолютное значение ускорения:
.
Рис. 4.18. Вектор абсолютного ускорения точки М в Oxyz
53
Координаты
M, м
Скорости, м/с
Ускорения,
2
с/м
x
y
z
v
e
v
r
v
a
ц
e
a
вр
e
a
r
a
n
r
a
c
a
0 0 1.5
2.69585
1.5
2.24
3.53553
1.5
4.5
0.447214
0.894427
2
Рис. 4.19. Абсолютное ускорение точки
Итогом выполнения работы является сводная таблица 4.1.
Таблица 4.1
Выводы по работе
Принципиальным качественным результатом работы является осознание
студентами принципа относительности в механике: любое движение наблюдается только по отношению к некоторой системе координат.
тические характеристики движущегося объекта по отношению к выделенной
системе координат, чему отвечает практическая часть работы.
ческие эффекты, вынужденно порождаемые «привязанностью» к системе координат, связанной с земным шаром: изменение русла рек, износ железнодорожных рельсов и др.
Инженерная практика требует умения количественно оценивать кинема-
Важным аспектом является умение обучающегося оценивать кинемати-
54
Контрольные вопросы
1. Кинематические характеристики движения точки.
2. Что понимается под сложным движением точки?
3. Что такое абсолютное движение точки?
4. Что такое относительное движение точки?
5. Что такое переносное движение точки?
6. Понятие переносного тела.
7. Виды движения переносного тела.
8. Кинематические характеристики вращательного движения тела.
9. Скорость точки при вращательном движении.
10. Ускорение точки при вращательном движении и его составляющие.
11. Вращательное ускорение точки.
12. Центростремительное ускорение точки.
13. Правила выделения составляющих абсолютного движения точки при
сложном движении.
14. Теорема сложения скоростей.
15. Теорема Кориолиса.
16. Теорема сложения ускорений при переносном поступательном дви-
жении.
17. Кориолисово ускорение.
18. Правило Н.Е. Жуковского.
19. Метод проекций.
55
5. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
txx
tyy
tzz
..
xmX
..
ymY
..
zmZ
222
ZYXP
P
X
)cos( iP,
P
Y
)cos( jP,
P
Z
)cos( kP,
0
r
0
v
.,,tfz
,,,tfy
,,,tfx
003
002
001
vr
vr
vr
Целью работы является формирование материалистического мировоззрения на процесс механического движения. В работе устанавливаются кинематические характеристики движения точки под действием переменных сил. Практическая часть работы выполняется под контролем программы, реализованной
в системе Mathematica 7.0. Сопровождается иллюстрацией всех действий. Завершается формированием траектории движения точки и основных выводов.
5.1. Теоретическая часть
Основные задачи динамики точки подразделяются на два класса: первая и
вторая.
Первая задача динамики точки: по уравнениям движения точки массой m
,
установить причину движения: силу, приложенную к точке, вызывающую
именно это движение:
,
,
Вторая задача. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу
m, а также начальное положение точки
лить закон движения точки.
После интегрирования дифференциальных уравнений и подстановки
начальных условий уравнения движения имеют вид:
и ее начальную скорость
,
,
,
,
(5.1)
, (5.2)
.
, опреде-
(5.3)
56
Решение второй основной задачи опирается на теорию обыкновенных
tP"x
tsin"x
1
Ctcosdttsin'x
211
CtCtsindt)Ct(cosx
0xq'xp"x
0qkpk
2
2
k
1
k
2
k
1
x
2
x
2211
xСxСx
1
k
2
k
tk
2
tk
1
21
eСeСtx
дифференциальных уравнений второго порядка. Методология решения «классических» уравнений коротко обозначена ниже.
Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка
1. Уравнение вида
интегрированием. Пример:
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами имеют вид
где p и q – постоянные коэффициенты.
Составляется и решается характеристическое уравнение
соответствующее данному дифференциальному уравнению, при помощи заме-
ны "x –
, 'x – k, x– через 1. Находятся корни
решается последовательным n-кратным
;
,
и
;
.
, устанавливается ха-
,
рактер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и
определяется соответствующая этим корням фундаментальная система
решений
Обшее решение ОДУ (однородного дифференциального уравнения)
зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае
будет являться квадратным уравнением. Существуют следующие случаи:
а) дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения
вительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
,
; составляется общее решение:
.
и
,
дейст-
57
где
1
С
2
С
1
k
tk
21
1
eСtСtx
ik
1
ik
2
tsinСtcosСetx
21
t
tfxc'xb"xa
tf
*
о
xxx
о
x
*
x
о
x
tf
*
x
0aatatаtf
201
2
2
и
− произвольные действительные числа, опрделеляющиеся из на-
чальных условий;
б) дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что
существует один корень
однородного дифференциального уравнения имеет вид:
второго порядка кратности. Общее решение
;
в) дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
,
. Общее решение записывается в виде
.
3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с
постоянными коэффициентами имеет вид:
,
где a, b, c –постоянные коэффициенты,
– некоторая функция.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
,
где
– общее решение однородного уравнения, а
– любое частное
решение неоднородного уравнения.
Общее решение
ищется с помощью методики, указанной выше.
Частное решение уравнения со специальной правой частью зависит от
вида функции
решения
линейного неоднородного уравнения с различными вариантами
. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного
правых частей: А, Б, В.
А.
.
58
Если
0q
01
2
2
*
AtAtAx
012
A,A,A
12
*
AtA2'x
2
*
A2"x
01
2
201212
2
2
atatаqApAA2tqApA2tqA
.aqApAA2
;аqApA2
;aqA
0012
112
22
0q
012
A,A,A
*
x
0q
)AtAtA(tx
01
2
2
*
)AtAtA(tx
01
2
2
2*
tf
0aeatf
tb
tb*
eAx
tb*
ebA'x
tb2*
ebA"x
, то частное решение неоднородного уравнения ищем также в
форме квадратного трехчлена:
,
где
– неопределенные коэффициенты. Отсюда
,
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество
.
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях независимой
переменной приводит к системе линйеных алгебраических уравнений
Так как
, то из последней системы для коэффициентов
получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение
вполне определено.
Если
, то частное решение y* ищется в виде
, когда один из корней характеристического
уравнения равен нулю, и в виде
, когда оба корня
характеристического уравнения – нули. Аналогично обстоит дело, если
многочлен P(t) произвольной степени.
Б.
Частное решение ищется в виде
.
, где A – неопределенный
коэффициент. Отсюда получается:
,
.
–
59
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на
tb
e
aqbpbA
2
qbpb
ea
x
2
tb
*
tb*
exAx
tb*
etPx
tb
etPtf
tsinbtcosatf
0ba
22
*
x
tsinBtcosAx
*
tcosBtsinA'x
*
tsinBtcosA"x
22*
.tsinbtcosa
tsinqBpABtcosqApBA
22
.bqBpA
;apBqA
2
2
2
q,0p
i
tsinBtcosAxx
*
будем иметь
.
Если b не является корнем характеристического уравнения, то
.
В противном случае частное решение ищется в виде
b – однократный корень, и в виде
Аналогично поступаем в случае
В.
В этом случае частное решение
тригонометрического двучлена
деленные коэффициенты. Отсюда
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим
,
,
, если b – двукратный корень.
, где P(t) – многочлен.
.
ищется также в форме
, где A и B – неопре-
, если
.
Сравнение коэффициентов дает:
Эти уравнения определяют коэффициенты A и B при усовии, что
(или когда
последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде
– корни характеристического уравнения). В
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]