Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
1
q
t c x y z c
1
a T q
t c
2 2 2
x y z
T(x)
n
T2
T
1
0 l
Рис. 1.3. Стационарное распределение Рис. 1.4. К формулировке
температуры внутри стенки граничного условия
§ 1.3. Общая задача теплопроводности
Уравнение (1.12), обобщенное на трехмерный случай, учитывающее возможное наличие внутренних источников тепла и приводимое здесь без вывода,
имеет следующий вид:
T k T T T
x
2 2 2
2 2 2
, (1.21)
где x, y, z – декартовы координаты, связанные с трехмерным физическим объектом, в котором протекает процесс теплопроводности. Температура считается
функцией четырех переменных TT(x, y, z, t).
Зависящая от этих же переменных величина qq(x, y, z, t) характеризует
внутренние источники тепла и представляет собой количество тепла за единицу
времени в единице объема, выделяемое источником, расположенным в точке с
координатами x, y, z, в момент времени t. Размерность q – Дж·с-1·м-3. Физической причиной выделения тепла может быть, например, протекание электрического тока.
Уравнение (1.21) часто записывают в символической форме с применением обозначения (1.13):
T
+
, (1.22)
2 2 2
где
– оператор Лапласа.
Если рассматривается задача о стационарном распределении температуры, то уравнение (1.22) приобретает вид
21
0.
q
k
( , ) ( , )
0
( )
С
H k T T
k
П
T
n
T
(1.23)
В общей теории дифференциальных уравнений его называют уравнением Пуассона.
В отсутствие источников тепла q0, и (1.23) переходит в уравнение Лапласа
Т 0. (1.24)
В случае, когда температура не зависит от одной из пространственных координат, например, от z, т. е. Т Т(x, y), уравнение (1.24) принимает в исходной (не
символической) записи вид
2 2
T x y T x y
2 2
x y
. (1.25)
Этот случай называют плоской задачей теплопроводности. Пример такой задачи будет рассмотрен в следующем параграфе.
Обратимся теперь к обобщениям, касающимся граничных условий. Кроме
теплопроводности существуют еще два механизма теплообмена, которые могут
проявляться при взаимодействии нагретого твердого тела с окружающей средой
(жидкостью, газом). Это – конвекция (передача тепла через соприкосновение) и
тепловое излучение. Рассмотрим здесь только случай конвекции.
Для конвекции обычно считают применимой формулу Ньютона
К П
, (1.26)
где HК – конвективный удельный тепловой поток в направлении внешней
нормали к поверхности тела;
ТП – температура поверхности;
ТС – температура внешней среды.
Коэффициент теплоотдачи
имеет размерность Дж·с-1·м-2·К-1 и обычно
определяется опытным путем.
стью плоскости, и построим к ней внешнюю нормаль n (рис. 1.4). Удельный
тепловой поток за счет теплопроводности изнутри тела к этой площадке составляет
22
Выделим на поверхности малую площадку , которую можно считать ча-
H k
Т
. (1.27)
Эта формула аналогична формуле (1.9) с заменой x на n. В правой части
П
Tkn
( )
С
k T T
k
k
–СT T
П
T
n
k
С
T T
П C
T T
после множителя kстоит производная по направлению нормали, взятая в точке
поверхности, на что указывает символ П.
Из условия баланса тепла следует HК HТ или
П
. (1.28)
Это и есть граничное условие, сформулированное для малого участка поверхности тела. Для тел простой геометрической формы условие (1.28) можно распространить на всю поверхность или на ее большие части.
Можно выделить два частных случая, соответствующие малым и большим значениям координаты теплоотдачи
. При очень малых
в правой части равенства (1.28) фигурирует величина, близкая к нулю, поскольку разность
(
П
) не может принимать больших значений в реальных физических усло-
виях. Отсюда после идеализации этого положения вытекает
0
.
(1.29)
По существу это – граничное условие для случая, когда тело идеально теплоизолировано от внешней среды.
При очень интенсивном теплообмене на поверхности значение
велико,
что при ограниченной величине произведения в правой части (1.28) влечет за
собой приближенное равенство
П
0. Заменяя его точным, получаем гра-
ничное условие в виде
, (1.30)
т. е. температура поверхности совпадает с температурой внешней среды. Такое
условие было использовано выше при анализе стационарного распределения
температуры в стенке.
Для иллюстрации применения граничных условий (1.29) и (1.30) обратимся еще раз к случаю стенки. Пусть на поверхности стенки при x 0 имеет место интенсивный теплообмен, т. е. условие (1.30) или, как и ранее,
Т(0) Т1. (1.31)
Поверхность стенки при x l теперь будем считать идеально теплоизолированной. Роль нормали в данном случае играет ось x, поэтому согласно (1.29)
23
0.
dT
y
x
1
r
r
2
r
(1.32)
dx
x l
Применен символ обыкновенной производной, поскольку Т может зависеть
только от одной перемененной x. Согласно формулам (1.18), (1.31) и (1.32)
Т Т1, (1.33)
т. е. стенка при таких условиях оказывается равномерно прогретой до температуры внешней среды. Этот простой результат очевиден и из физических соображений.
§ 1.4. Обогреваемый цилиндр
Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности для полого цилиндра, обогреваемого изнутри с помощью электрических нагревателей или потоком пара (рис. 1.5, а). Технологическими прообразами таких объектов являются
каландры для сушки ткани, нагретые валы для термообработки химических волокон и т. п.
Пар
y
z
а б
Рис. 1.5. Обогреваемый цилиндр (а) и его сечение (б)
В реальных условиях температура вдоль оси z, параллельной образующей
цилиндра, меняется мало, главным образом, только вблизи торцевых сечений.
Поэтому в срединных сечениях, перпендикулярных оси z, картина распределения температуры соответствует плоской задаче теплопроводности.
Рассмотрим одно из таких сечений и свяжем с ним систему декартовых
координат x, y (рис. 1.5, б). Пусть r1 – радиус внутренней, а r2 – внешней поверхности цилиндра. Будем считать, что температура среды (например, пара)
внутри цилиндра постоянна (не зависит от x, y и времени) и равна Т1, а снаружи
также постоянна и равна Т2.
24
В координатах x, y уравнение Лапласа для плоской задачи теплопровод-
2 2
x y
y
x
x y
x y
2 2
y
x x
sin
x r
ности имеет вид (1.25). Очевидно, что в силу неизменности внутренней и
наружной температур температура внутри цилиндра может изменяться только
вдоль радиусов цилиндра, оставаясь неизменной для всех точек любой окружности с центром на оси z. Иными словами, температура является функцией
единственной переменной r (см. рис. 1.5).
Однако это существенное обстоятельство мало поможет решению уравнения (1.25), поскольку в декартовых координатах и в этом случае сохраняется
зависимость температуры и от x, и от y. Поэтому целесообразно перейти от декартовой x, y к полярной системе координат r, и записать уравнение Лапласа в
этой системе1. Согласно рис. 1.5, б
x r cos , (1.34)
y r sin , (1.35)
r
tg
. (1.37)
Отсюда следует
2
2
2
2 2
2
2 2
r x
x
r y
y
Дифференцируя (1.37) по x слева и справа, получим
1
cos
откуда на основании (1.34) и (1.35)
, (1.36)
cos , (1.38)
sin . (1.39)
, (1.40)
нение можно найти в готовом виде в литературе (например, [1]).
. (1.41)
Аналогично при дифференцировании (1.37) по y получим
1
Выполним этот переход для расширения навыков преобразований, хотя такое урав-
25
cos
y r
x r x x
0
cos
x r
T
y
sin
x r x x x x
T
x
cos sin .
r r r
По правилам дифференцирования сложной функции нескольких переменных имеем
Заметим, что в декартовой системе T T(x, y), а в полярной T T(r) и не
зависит от . Поэтому
T T r T
T
и согласно формуле (1.38)
T T
. (1.42)
. (1.43)
. (1.44)
Составляя по тем же правилам производную
T T r T T
y r y y r
. (1.45)
Имея в виду, что в уравнение Лапласа входят вторые производные, продолжим дифференцирование в (1.44):
2
T T r T
2
Теперь второе слагаемое нужно сохранить, поскольку
следовательно,
2 2
T T T
2 2
x r r r
cos cos + sin
2
T T
2 2
2
1
(1.47)
, получим
. (1.46)
зависит и от r, и от ,
sin
26
Аналогично
y r y y y y
r r r
sin + cos
r r r
2
T
x
2
T
y
0
r r r
0
dr
2 2
[ ( ) ]
k k T r T
2
T T r T
2
2
T T
sin sin + cos
2
cos
2
T T
2
1
2 2
. (1.48)
2
Подставляя окончательные выражения
и
2
в уравнение (1.25), получим
2
1
T T
2
. (1.49)
Это и есть уравнение Лапласа в полярных координатах для случая, когда
T T(r). Заметим, что в общем случае, когда Т зависит и от r, и от
, это урав-
нение имело бы вид
2
T
1 1
T T
2 2 2
r r r r
2
. (1.50)
Совместно с граничными условиями уравнение (1.49) описывает математическую модель обогреваемого цилиндра. При этом уравнение (1.49) может
быть записано как обыкновенное дифференциальное, поскольку производные
берутся только по r:
2
d T
1
2
rdTdr
0 . (1.51)
Что касается граничных условий, то будем считать, что на внутренней поверхности (при r r1) имеет место интенсивный теплообмен со средой, т. е.
а на внешней (при r r2) соблюдается условие общего вида (1.28), которое для
данного случая записывается в форме
Т(r1) T1 , (1.52)
dT
–
dr
r r
. (1.53)
2
27
Таким образом, первоначальная проблема решения уравнения Лапласа
dT
dr
0
dr r
C
r
( ) ( ) + ln +
T r Z r dr D C r D
dr
r
1 2
k k T C T
свелась к двухточечной краевой задаче для обыкновенного дифференциального
уравнения, уже встречавшейся в § 1.2.
Вследствие простоты исходных предположений, приведших к уравнению
(1.51) с условиями (1.52) и (1.53), возможно получение аналитического решения
для T(r).
В уравнение (1.51) входят только производные, но не сама T(r). Поэтому
можно положить
( )
Z r
(1.54)
и записать уравнение для Z
1
dZ
Z
. (1.55)
Это – линейное уравнение первого порядка с переменным коэффициентом при Z, которое имеет хорошо известное решение
- 1/
r dr
( ) e e
Z r C C
-ln
r
, (1.56)
где С – произвольная постоянная.
На основании (1.54)
, (1.57)
где D – вторая произвольная постоянная. Постоянные определяются из условий
(1.52) и (1.53). Из (1.52) следует
C ln r1 + DT1, DT1 – C ln r1 , (1.58)
и значит,
T(r) T1 + C ln r/r1 . (1.59)
Подставляя (1.59) в условие (1.53) и имея в виду, что
dT
, найдем
C
Z
28
C r
r r
2 1
ln
2
, (1.60)
откуда
1 2
2
2 1
( )
ln
k T T
k r
r r
1
( ) ln
r
r
2
1
( ) ln
r
r
( )
T r
1 1
T r T
2
( )
T r
0
r
r r
C
Окончательно
T r T
1
Примерный график этой зависимости изображен на рис. 1.6 (обычно Т1 > T2).
Температура внешней поверхности равна
T r T
2 1
и отличается от температуры среды Т2.
k
k T T
1 2
k r
ln
k
r r
2 1
k T T
1 2
k r
ln
k
r r
2 1
. (1.61)
. (1.62)
2
(1.63)
2
( )
Рис. 1.6. Распределение температуры Рис. 1.7. Пример расположения
по радиусу цилиндра нагревателей по сечению цилиндра
Подчеркнем в заключение, что возможность аналитического решения
возникла только благодаря допущенным упрощениям в постановке задачи. Реальная картина обычно сложнее. Например, на внешней поверхности теплообмен может сопровождаться явлениями испарения (при сушке), что приводит к
иной формулировке граничных условий. Возможно появление зависимости
температуры от из-за расположения нагревателей не только в центре цилиндра (как на рис. 1.7, где они обозначены затемненными кругами), а также дру-
29
гие осложнения. В результате возникает необходимость реализации модели на
1
( , )
T x t
( , )
T x t
r R
1
V
2
V
ЭВМ.
§ 1.5. Трубчатый теплообменник
Теплообменник предназначен для нагрева одного теплоносителя за счет
другого. Он представляет собой аппарат, составленный из двух соосных труб,
из которых наружная теплоизолирована от окружающей среды.
2
0 x x+dx l
dx dx
а б
Рис. 1.8. Трубчатый теплообменник: схема (а)
и элементарные объемы в трубах (б)
На рис. 1.8, а показана половина продольного разреза теплообменника.
Ось x совпадает с общей осью труб, ее начало расположено на входе в теплообменник. Длина теплообменника равна l.
Один из теплоносителей движется с линейной скоростью V1, м·c-1, по
внешней трубе, а другой – со скоростью V2 по внутренней1.
Температура Т1 во внешней трубе и Т2 во внутренней зависит от координаты x и от времени t:
T
T
1
(x, t) , T
1
T
2
(x, t) . (1.64)
2
Считается, что температура в обеих трубах остается постоянной во всех
направлениях, перпендикулярных оси x, вследствие интенсивного перемешивания потоков в этих направлениях.
Теплообмен происходит путем передачи тепла через тонкую стенку внутренней трубы1. Обычно полагают, что удельный тепловой поток, направленный
внутрь этой трубы, описывается выражением, подобным (1.26):
1
На рис. 1.8 показаны скорости одного направления. Это случай так называемого
прямотока. Возможен и случай противотока, когда скорости противоположны по направлению.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]