Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
т. е. разность предельных концентраций CА и СВ совпадает с разностью их кон-
D
C
A A B B
C C C C
C
A
C
A
( ),
kC k xy C yC
d V
2
A
kC
2, B
A A
q qC
VkC VkC
центраций на входе. Вслед за тем из (3.22) вытекает
, (3.27)
т. е. предельная концентрация продукта реакции равна разности входной и предельной концентраций одного из исходных веществ.
Стехиометрическое уравнение (3.10) совсем не обязательно требует ссылки на процесс мерсеризации и может относиться к очень разным по химической
сути, скорости протекания и реальным значениям концентраций реакциям. Параметры реактора V и q также могут меняться в широких пределах. В то же
время уравнения (3.17) остаются структурно неизменными от одной практической ситуации к другой, претерпевая только изменения входящих в них числовых параметров. Такие изменения могут быть весьма велики. По этой причине
целесообразно привести уравнения к форме, по возможности мало зависящей от
количественных показателей. Это – безразмерная форма уравнений.
Введем безразмерные концентрации x, y, z и безразмерное время по
формулам
x
CA , y
CB , z
CD ,
t. (3.28)
Масштабные множители , , и имеют размерность, обратную концентрации, а – обратную времени. Их можно выбрать по-разному, например,
так
1/
, k
. (3.29)
Заменяя в уравнениях (3.17) переменные согласно (3.28), (3.29), получим
dx q
d V
dy q
d V
dz q
2 2
kC kC xy C xC
A A A A
2
A B A
2 2
k k xy zC
C C
A A
C
2
A
.
A
(3.30)
Выполняя сокращение на
и вводя обозначения
, (3.31)
91
найдем
d
(0) (0) (0)
(0) , (0) , (0) .
,
A B
C C
и
A B
C C
и
A B
C C
dx
d
xy x
,
d
xy y
,
(3.32)
dz
dy
xy z
.
Это и есть безразмерная форма уравнений (3.17), которая должна сопровождаться начальными условиями
C C C
x y z
A B D
C C C
A A A
Уравнения (3.32) обладают перед (3.17) очевидными преимуществами.
Значения безразмерных концентраций располагаются в диапазоне 01 (или,
возможно, немного более широком), а вместо пяти числовых параметров, фигурирующих в (3.17), в уравнения (3.32) входят только два. Пользуясь этими преимуществами, с безразмерными уравнениями легче оперировать. По получении
результатов для x, y, z можно вернуться к исходным переменным с помощью
формул (3.28), (3.29).
Заметим, что переход к безразмерным переменным и уравнениям может
быть полезен не только по отношению к моделям реакторов, но и во всех случаях, когда он возможен.
Полученная модель реактора пригодна для его исследования как объекта
управления. В качестве управляющих воздействий могут выступать концентрации веществ
на входе в реактор, а также объемный расход q реакционной
смеси через него. Одна из задач управления может состоять в автомати-ческом
поддержании на заданных уровнях (стабилизации) значений
. Неслож-
ный анализ полученных выше уравнений показывает, что эти уровни должны
совпадать, чтобы избежать ненужных потерь исходных веществ (это видно хотя
бы из «симметрии» вхождения
в уравнения (3.17). Точность автомати-
ческой стабилизации заранее неизвестна, но может быть определена на основе
вычислительных экспериментов с моделью.
Другая задача связана с выбором расхода q, который также может стать
предметом стабилизации. При малых q снижается производительность реактора,
но возрастает степень завершенности реакции; при бодьших q – наоборот. Модель
дает возможности обоснованного назначения q.
92
§ 3.3. Модель периодического реактора (реакция полимеризации)
1
k
R
1
и
k
р
k
о
k
Полимеризацией называют процесс соединения большого числа молекул
мономера между собой с образованием полимера, не сопровождающийся выделением каких-либо побочных продуктов. Этот процесс широко применяется в
производстве ряда полимеров – полиэтилена, поливинилхлорида и многих других, используемых для получения синтетических волокон, пластмасс и синтетических каучуков.
Полимеризацию обычно проводят в реакторах периодического действия,
в которых процессы переноса вещества не играют сколько-нибудь заметной роли, и основное значение имеют химические превращения.
Реакции полимеризации подразделяют на ряд типов, из которых ниже будет рассмотрен один – радикальная полимеризация. Реакцию радикальной цепной полимеризации можно отобразить следующими схемами.
I+M
R M R
1 2
R M R
2 3
R M R
n n
R R P
1 1 2
R R P
1 2
...
R R P
n m n m
и
инициирование, (3.33, a)
k
р
k
р
...
k
р
рост цепи, (3.33, б)
...
k
о
k
о
3
обрыв цепи (3.33, в)
k
о
...
где I – молекула инициатора; М – молекула мономера; Ri – радикал, состоящий
из i молекул мономера и присоединенного к ним свободного радикала; Pj – молекула полимера, содержащая j молекул мономера. Константы скорости реакций инициирования, роста и обрыва цепи обозначены
,
и
. В разных
строках схем (3.33, б) и (3.33, в) константы, вообще говоря, отличаются (например, из-за разной подвижности молекул, отличающихся числом мономерных
звеньев), но для упрощения записи в обозначениях это не отражено.
93
Инициирование заключается в присоединении к молекуле мономера сво-
р
k
о
k
,,,kI M R
R M R
R R P
( )IC t
( )MC t
( )RC t
( )PC t
бодного радикала, возникающего в результате распада инициатора1.
В процессе роста цепи происходит увеличение количества молекул мономера, входящих в состав радикалов, за счет присоединения к каждому из них
молекулы мономера с сохранением свободного радикала.
Этот процесс прерывается, если возникает рекомбинация – объединение
двух радикалов в молекулу полимера, содержащую число молекул мономера,
равную сумме этих чисел в радикалах. Полимер теряет способность к дальнейшему росту из-за потери свободных радикалов происходит обрыв цепи.
Число превращений по схеме роста цепи может быть весьма большим, в
результате чего образуются радикалы, а затем полимерные молекулы с числом
молекул мономера, измеряемым тысячами, десятками тысяч и более. Попытка
составить уравнения для концентраций непосредственно по схемам (3.33, а, б и
в) привела бы к системе из тысяч уравнений, а после математической идеализации даже к системе бесконечной размерности. Заметим, что существуют методы анализа и таких систем, например, с помощью так называемых
производящих функций. Однако если отказаться от некоторых подробностей в
описании процесса, то можно построить существенно более простую модель.
Далее не будем делать различия между радикалами или полимерными
молекулами с разным числом мономерных звеньев и воспользуемся предположением, уже отраженным на схемах (3.33, б и в), что все реакции роста цепи
характеризуются одинаковой константой
. Общая константа
и у всех реак-
ций обрыва. Тогда можно ввести упрощенную схему, содержащую три стадии
и
k
р
k
о
(3.34)
где R – молекула любого радикала;
Р – молекула любого полимера.
Вводя концентрации инициатора
и полимера
, рассматривая (3.34) как стехиометрические уравнения и
, мономера
, радикалов
формально пользуясь изложенной в § 3.1 методикой, получим следующие уравнения:
термический, фотохимический, радиационный.
94
1
Здесь предполагается химический способ инициирования; возможны и другие –
,
2 ,
I M M R
k C C k C C
dt
0 0 0 0
(0) , (0) , (0) , (0) .
I I M M R R P P
C C C C C C C C
0.
и
k
р
k
о
k
2
,
2 ,
xy yz
xy z
d
dC
I
dt
dC
M
dt
dC
R
dt
I M
,
k C C
и
и р
k C C k C
и о
I M R
2
dC
P
k C
о
2
.
R
(3.35)
Это система из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно четырех неизвестных концентраций, первые три из которых могут быть
решены независимо от четвертого. Для однозначного и адекватного реальности
решения необходимо задать начальные условия вида
(3.36)
Довольно естественно считать
C C
0 0
R P
Таким образом, математическая мо-
дель свелась к уже ожидаемой задаче Коши. Обнаруживаются и особенности,
упоминавшиеся ранее: нелинейности типа произведений, выделение из системы
одного из уравнений.
Новая особенность уравнений (3.35) может проявиться при их численном
интегрировании. Из-за большой разницы в количественных значениях констант
,
и
в составе решений могут присутствовать сильно различающиеся по
скорости изменения быстрые и медленные компоненты. Такие системы
уравнений называют «жесткими». Их численное решение обычно вызывает
трудности, связанные с выбором шага интегрирования.
Как и в предыдущем параграфе, система (3.35) может быть представлена
в безразмерном виде, приводимом ниже без подробностей вывода
dx
,
xy
d
dy
d
(3.37)
dz
d
du
2
,
z
где
95
р 0
, , , , ,
C C C C
и о
р р
, .
k k
k k
ср
L
0
P
CLC
P
C
t
x y z u tk С
I M R P
(3.38)
C C C C
0 0 0 0
M M M M
M
(3.39)
Решение уравнений реактора и в таком их серьезно упрощенном виде сулит определенную пользу. Так, может быть дана оценка средней длины
по-
лимерных цепей, измеряемой числом мономерных звеньев, как отношения
первоначального числа молекул мономера к числу их соединений в виде молекул полимера. Выраженное через концентрации это отношение имеет вид
M
, (3.40)
ср
где
– предельное (при
) значение концентрации полимера, получае-
мое из уравнений (3.35) с условиями (3.36).
96
ГЛАВА 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
§ 4.1. Предварительные замечания
Теория и практика разработки систем автоматического управления (САУ)
дают пример области инженерных наук, в которой математическое моделирование имеет давние традиции и значительные результаты. В качестве технического средства моделирования САУ на протяжении многих лет активно
использовались аналоговые вычислительные машины, сменившиеся в последние десятилетия цифровыми.
Успешное применение моделирования САУ во многом обусловлено тем,
что эти системы в подавляющем большинстве допускают определенные стандарты описания. Чаще всего это описание сводится к представлению системы
как объединения отдельных ее элементов (звеньев), заданию характеристик
этих элементов и схемы их взаимодействия (структурной схемы системы). Характеристики элементов (объектов управления, датчиков, усилителей, исполнительных механизмов и т. д.) обычно удается оформить в виде обыкновенных
дифференциальных (иногда алгебраических) уравнений, устанавливающих
связь между входными и выходными переменными звеньев. После учета схемы
взаимодействия между элементами описание САУ получается в форме системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающей выходные показатели (регулируемые величины) с действующими на САУ возмущающими и
управляющими воздействиями. Эта система естественным образом сопровождается начальными условиями (которые во многих случаях получаются нулевыми), в результате чего проблема моделирования сводится к задаче Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Стандартизации математического описания САУ способствует часто возникающая возможность отнесения реальных элементов системы к одной из категорий, входящих в состав немногочисленного набора так называемых
типовых звеньев. Эти звенья имеют специальные наименования и описываются
линейными уравнениями 1-го и 2-го порядков с постоянными коэффициентами,
а также прямой пропорциональной зависимостью между входной и выходной
переменными (усилительное звено). Существует и набор типовых нелинейных
зависимостей, свойства которых могут быть приписаны тому или иному реальному элементу. Отдельно рассматривают звено чистого запаздывания.
Элементы, описание которых требует дифференциальных уравнений порядка выше второго, обычно могут быть представлены блоком из нескольких
типовых звеньев, после чего этот блок включается в общую структурную схему.
Из элементов САУ чаще всего требуют специального анализа и, возмож-
97
но, нестандартного описания объекты управления1. Например, модель процесса
регулирования температуры сушильного барабана требует учета его свойств как
системы с распределенными параметрами. Это в свою очередь приводит, вообще говоря, к необходимости описания барабана дифференциальным уравнением в частных производных, что и было сделано в § 1.4. Чтобы при составлении
математической модели САУ остаться в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений, приходится прибегать к упрощениям, рассматривая
барабан как систему с сосредоточенными параметрами, содержащую звено чистого запаздывания, которое в определенной мере учитывает реальный процесс
распространения тепла.
Наиболее широко стандартные приемы описания используются применительно к стационарным линейным системам автоматического управления. Если
описание системы дается на языке дифференциальных уравнений, то после
надлежащих преобразований их часто приводят к системе уравнений 1-го порядка, возможно дополненной группой алгебраических уравнений, которая связывает входные и выходные переменные системы с так называемыми
переменными состояния. Число последних совпадает с числом уравнений. Такое описание называют описанием в нормальной форме или в пространстве состояний.
Наряду с дифференциальными уравнениями широкое распространение
получил операторный метод анализа линейных систем. При этом описание системы осуществляется с помощью передаточных функций или частотных характеристик. Возможно также использование весовых и переходных функций.
Характеристики линейных систем между собою тесно связаны и допускают переход от дифференциальных уравнений к передаточной функции, от передаточной функции к весовой и т. д. При аналитическом исследовании
линейных САУ широко используются все характеристики, причем для решения
каждой конкретной задачи может оказаться предпочтительным выбор той или
иной из них. Так, при исследовании устойчивости и при определении установившейся реакции на гармоническое возмущение эффективное применение
находят частотные характеристики, а установившуюся реакцию на полиномиальное воздействие удобно определять с помощью передаточной функции.
При моделировании на цифровых вычислительных машинах, напротив,
почти исключительно используется описание на языке дифференциальных
уравнений в нормальной форме, поскольку именно на такие уравнения ориентировано большинство численных методов. Практически недоступными для
непосредственной реализации на цифровых машинах оказываются передаточные функции и частотные характеристики, если целью моделирования является
1
В частности, по этой причине процессам и устройствам, которые могут фигуриро-
вать как объекты управления, уделено места в пособии больше, нежели самим САУ. К тому
же модели объектов могут представлять интерес и вне связи с задачами управления.
98
определение выходных реакций системы1. В результате большинство проблем
1
моделирования САУ сводится к задаче Коши.
Обширная литература по теории автоматического управления (например,
[6]) содержит много образцов стандартных описаний линейных систем, что позволяет ограничиться далее только примерами нелинейных систем, обычно требующих индивидуального подхода при их математическом анализе.
§ 4.2. Система регулирования линейной плотности волокнистой
ленты
Схема автоматизации процесса вытягивания ленты в вытяжном приборе
чесальной машины показана на рис. 4.1. Частично он повторяет детали рис.
2.13.
2 3
L
x(t)
1-3
y(t)
GC
1-2
GE
1-1
Рис. 4.1. Схема автоматизации процесса вытягивания
В ходе вытягивания пара впускных валиков 2 вытяжного прибора вращается с постоянной частотой, обеспечивая постоянную линейную скорость V1
ленты 1. Пара выпускных валиков 3 в номинальном режиме обеспечивает линейную скорость ленты V20, в результате чего создается вытяжка EV20/V1.
Система регулирования предназначена для стабилизации линейной плотности ленты на выходе y(t) в случае отклонения режима работы от номинального. Основной причиной этих отклонений (и единственным учитываемым далее
возмущающим воздействием) является изменение линейной плотности ленты
на входе x(t) в зависимости от времени t. Система состоит из вытяжного прибора (объект регулирования), датчика линейной плотности 1-1, регулятора 1-2 и
1
Некоторые программы, например Simulink, допускают использование передаточных
функций на определенных этапах моделирования, но не при решении уравнений.
99
исполнительного механизма 1-3. Датчик преобразует отклонения линейной
20
/
l V
( )
U t
( )
U t
плотности от номинальных значений в электрический сигнал, который подвергается дальнейшим преобразованиям в регуляторе и после усиления поступает
на исполнительный механизм. Исполнительный механизм увеличивает угловую
скорость валиков 2 и линейную скорость ленты на выходе при положительных
и уменьшает при отрицательных отклонениях линейной плотности от номинала.
Рассмотрим уравнения элементов системы.
Вытяжной прибор. Воспользуемся результатами § 2.11, согласно кото-
рым в рамках упрощающих предположений числа волокон в поперечном сечении, а значит и линейные плотности на входе и выходе вытяжного прибора
связаны уравнением
x(t)V1 y(t)V2(t), (4.1)
где V2(t) – переменная скорость ленты, создаваемая выпускными валиками в
процессе регулирования.
Как отмечалось ранее, уравнение (4.1) описывает процесс вытягивания
приближенно, исходя из предположения о малом изменении параметров ленты
на отрезках порядка длины волокна и величины разводки в вытяжном приборе.
Поэтому уравнение (4.1) и все дальнейшие результаты не относятся к встречающейся в практике ситуации, когда присутствует так называемая коротковолновая неровнота ленты – изменения её линейной плотности, заметные на длине,
меньшей или немного большей указанных отрезков.
Датчик. Датчик линейной плотности в силу конструктивных особенностей чесальной машины обычно располагается не непосредственно за вытяжным прибором, а на некотором расстоянии l от него, отсчитываемом вдоль
ленты. Поэтому вместо регулируемой линейной плотности y(t) датчик измеряет
ее значение у(t – ), где – время прохождения ленты от выпускной пары до
датчика. Это время запаздывания в процессе работы может несколько меняться
вследствие изменения V2(t), составляя в среднем величину
. (4.2)
В дальнейшем будем считать запаздывание сигнала датчика постоянным
и равным (4.2).
Датчик может быть построен в соответствии с различными принципами
(фотоэлектрическим, емкостным и др.), но независимо от этого в системе его
можно считать практически безынерционным (по сравнению с другими элементами системы) звеном, описываемым линейным уравнением
k1 [y(t–) – y0] + U0, (4.3)
д
где
100
– выходной сигнал датчика, В;
д
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]