Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
платформ, на которых укреплены обрабатываемые изделия, суппортов с режущим инструментом, схватов манипуляторов и т. п.
Гидравлические исполнительные механизмы имеют в ряде случаев преимущества перед электрическими благодаря своему большому быстродействию
и большой мощности, развиваемой на единицу массы конструкции механизмов.
На рис. 4.5 представлена упрощенная схема следящей системы. Исполнительным механизмом является гидроцилиндр 1 с поршнем и штоком 2. К штоку
присоединен рабочий орган (на рисунке не показан). Разность давлений (Р2 –
Р1) в камерах гидроцилиндра создается золотником 3, к которому подведены
трубки для подачи рабочей жидкости под давлением Р0 и ее слива. Управление
золотником производится путем перемещения его штока с помощью тяги от
якоря электромагнита 4. Электромагнит управляется напряжением U2 электронного усилителя 5, на вход которого подается напряжение U1, снимаемое с потенциометра 6, снабженного двумя движками.
Ввод программы движения рабочего органа осуществляется путем перемещения задающего движка 7 действиями оператора или программного устройства. Его текущее положение отмечено на рис. 4.5 точкой e. Второй движок
закреплен на рычаге abcd и контактирует с потенциометром в точке a. Потенциометр, усилитель, электромагнит и золотник составляют электрогидравлический преобразователь.
Напряжение U1 составляет часть питающего потенциометр напряжения
U0, пропорциональную рассогласованию x в положениях движков. На рисунке
изображено отрицательное рассогласование: x < 0, когда точка e правее a. Рычаг является частью устройства обратной связи, в которое входит также пружина и демпфер. Рычаг подвешен с возможностью поворота на штоке
гидроцилиндра вокруг оси, проходящей через точку с, и связан со штоком пружиной 8, закрепленной на рычаге в точке b. Пружина оказывает сопротивление
отклонению рычага от вертикального положения.
К нижнему концу рычага на оси, проходящей через точку d, прикреплен
шток демпфера 9, выполненный заодно с поршнем. При движении поршень испытывает сопротивление из-за того, что заполняющая полость демпфера жидкость перетекает через узкий канал 10.
111
2
1
Слив
e
x
•
U0
U
4
1
a
8
5
P
0
3
U
2
7
6
•
P
1
P
2
●
b
y
c
10
9
К рабочему
органу
●
d
Рис. 4.5. Схема электрогидравлической следящей системы
Выходным сигналом устройства обратной связи является рассогласование
x в положении движков, а входным – перемещение y точки с штока с рабочим
органом относительно положения задающего движка (точки е). Именно величина y характеризует рассогласование между требуемым и фактическим положением штока с рабочим органом. Отсчет значений y ведется так же, как для x:
y < 0, когда точка e правее с. Обе переменные считаются функциями времени t.
Совпадение x и y возможно только в определенных условиях (на рисунке изображен как раз такой момент).
Рассмотрим примерный характер поведения системы в процессе отработки ею заданного положения. Пусть в некоторый момент достигается заданное
положение, при котором y0, а рычаг занимает вертикальное положение,
вследствие чего x 0 тоже (точки e, a, c находятся на одной вертикали). Пусть
далее движок 7 меняет положение (например, переходит в точку е, как показано
на рис. 4.5).
Возникает сигнал U1, который усиливается усилителем 5 до значения U2.
112
Под воздействием напряжения U2 достаточной величины якорь электромагнита
dt
dt
перебрасывает поршень золотника в одно из крайних положений (влево, если x
< 0). При этом создается разность давлений в полостях гидроцилиндра, обеспечивающая перемещение поршня гидроцилиндра в сторону уменьшения рассогласования положений движков (если x < 0, то Р1 > Р2).
При движении поршня точка d рычага abcd тормозится из-за сопротивления демпфера, рычаг поворачивается по часовой стрелке, и его конец a перемещается быстрее центра поворота с. Этим обеспечивается опережение в изменении x по сравнению с y (коррекция по скорости: чем больше скорость изменения y, тем больше опережение), направленное на компенсацию инерционного
выбега штока гидроцилиндра после перехода точки y 0. По мере дости-жения
согласованного положения пружина 8 возвращает рычаг в вертикальное положение, и восстанавливается равенство yx0. При этом ожидается уменьшение перерегулирования и числа колебаний в переходном процессе.
Таким образом, описанная конструкция устройства обратной связи должна, предположительно, улучшить динамические характеристики системы. Задача моделирования может состоять в том, чтобы выяснить, при каком выборе
параметров системы это действительно возможно, и какими особенностями обладают происходящие в ней процессы.
Заметим, что некоторые элементы рассмотренной системы с инженерной
точки зрения не выдерживают критики. Это, например, поворачивающийся (качающийся) рычаг, который следовало бы заменить, скажем, зубчатой передачей. Однако в плане исследования динамики эти элементы ничего не меняют,
зато способствуют выразительности и наглядности описания.
Рассмотрим уравнения входящих в систему устройств, чтобы на их основе
провести затем предварительный анализ ее свойств. Вывод уравнений делается
в предположении, что на рассматриваемых интервалах времени положение задающего движка может быть любым, но сохраняет неизменное значение.
Гидроцилиндр с рабочим органом. Уравнение гидроцилиндра с присоединенным к его штоку рабочим органом согласно закону Ньютона имеет вид
2
PS
M
yd
2
N
dy
, (4.34)
где M – масса движущихся частей гидроцилиндра, присоединенных к нему
деталей и рабочего органа, кг;
N – коэффициент сопротивления, зависящий от трения, сопротивления
движению жидкости в трубопроводах и сопротивления движению ра-
бочего органа, Н·с·м-1;
S – площадь рабочей поверхности поршня, м2;
ΔP (Р2 –Р1) – перепад давления в камерах гидроцилиндра, создаваемый
золотником, Па.
Первое слагаемое в правой части (4.34) представляет собой силу сопро-
113
тивления движению поршня, второе – силу, обусловленную перепадом давле-
0
x
ac
ния. Силы, приложенные со стороны рычага, будем считать пренебрежимо малыми.
Приведем уравнение (4.34) к виду
2
yd
2
dy
1
dt
Tdt
1
Pk
, (4.35)
где T
M/N – постоянная времени гидроцилиндра, с;
1
k S/M – его коэффициент передачи, м2·кг-1.
Входным сигналом гидроцилиндра является ΔP, а выходным y – смеще-
ние штока относительно заданного положения.
Электрогидравлический преобразователь. Все элементы преобразователя
можно считать практически безынерционными по сравнению с деталями гидроцилиндра. Рассмотрим в качестве входного сигнала преобразователя рассогласование x, а в качестве выходного – перепад давлений ΔP. В крайних
положениях золотника и при отсутствии потерь в трубопроводах перепад по абсолютной величине равен давлению на входе золотника Р0 и только меняет знак
(давление в точке слива считаем равным нулю).
Будем считать коэффициент усиления усилителя 4 настолько большим,
что при малейшем отличии от 0 значения x, а вслед за тем и напряжения U1
напряжение U2 сразу достигает величины, достаточной для переброски якоря
электромагнита и поршня золотника в одно из крайних положений. Никакие
промежуточные положения поршня сохраняться не будут. Тогда зависимостью
ΔP от x окажется характеристика идеального реле:
0,
xP
0
0
, (4.36)
0,
xP
ΔP
в которой точку
можно не учитывать или включить знак равенства в одно
из неравенств.
Устройство обратной связи. Смещение x конца рычага можно предста-
вить в виде суммы смещения у точки с и дополнительного смещения за счет поворота рычага на некоторый угол :
x = у +
. (4.37)
Угол здесь отсчитывается по часовой стрелке и считается малым; ac – расстояние между точками a и c (аналогично обозначаются размеры и дальше).
Уравнение для имеет вид
114
2
J C bc cd cd D
dt dt dt
dt
dt
0
x
0
x
0x
d d dy
2
( )
2
, (4.38)
где J – момент инерции относительно точки с рычага с учетом массы поршня
демпфера, кг·м2;
C – жесткость пружины, Н·м-1;
D – коэффициент сопротивления демпфера, Н·с·м-1.
В правой части уравнения (4.38) стоит сумма моментов сил, развиваемых
пружиной и демпфером, с учетом их знаков. В скобках записана скорость точки
d относительно неподвижного корпуса демпфера. Будем считать, что параметры
выбраны таким образом, что можно пренебречь инерционным членом в левой
части уравнения и первым слагаемым в скобках. Тогда
C
bc
)(
, (4.39)
2
dt
dy
cd
D
а вслед за тем с учетом (4.37)
x у +
D
C
accd
dy
, (4.40)
2
)(bc
где величина
D
T
2
C
accd
(4.41)
2
)(bc
имеет размерность времени и может быть названа постоянной времени устройства обратной связи.
Объединим теперь уравнения (4.35), (4.36) и (4.40) в систему
2
yd
2
2
yd
2
x у + T
1
dy
kP
, x < 0, (4.42)
dt
Tdt
1
1
dy
dt
Tdt
1
0
kP
, x > 0, (4.43)
0
dy
(4.44)
2
.
В каждой из областей, где
1
Случай
устойчивых положения. Для определенности можно включить знак равенства в одно из неравенств (4.42) или (4.43); в дальнейших выкладках это ничего не изменит.
можно не принимать в расчет, поскольку реле имеет только два
или
1
движение описывается урав-
115
нениями относительно
,
y
0
P
dt
0
kP
T
dy
0
0
0
0 1 0
в которые переменная x не входит и которые отли-
чаются друг от друга только знаком при
. Удобно исследовать эти уравнения
на фазовой плоскости (y, ), где
dy
. (4.45)
Перепишем уравнение (4.42) в виде (игнорируя пока условие x < 0)
1d
(4.46)
dt
1
и разделим его на (4.45)
d
dy
1
T
1
kP
0
. (4.47)
Это дифференциальное уравнение, описывающее фазовые траектории.
Разделяя переменные, получим
T d
1
T kP
1 0
, (4.48)
а после интегрирования
y = AT
kP
1
2
T
ln(
0
1
+ kP0T1). (4.49)
Постоянную интегрирования A определим из условия прохождения траектории
через заданную точку фазовой плоскости y0,
:
y
= AT
0
kP
1
2
T
ln(
0
1
+ kP0T1), (4.50)
после чего уравнение траектории примет вид
kP T
y y T kP T
( ) ln
0 1 0 0 1
2
kP T
0 1
. (4.51)
На рис. 4.6, а изображен фазовый портрет (количество траекторий можно
увеличить), который в соответствии с уравнением (4.42) получился бы при сохранении условия x < 0. Назовем его семейством траекторий «а». На рис. 4.6, б
– аналогичный портрет для уравнения (4.43) при x > 0, образуемый поворотом
116
kP0T
1
−kP0T
1
y
kP0T
1
−kP0T
1
y
а б
Рис. 4.6. Семейства фазовых траекторий
первого изображения на 180º (семейство «б»). Оба портрета показаны в полосе
(–kP0T
) << kP
1
, за границы которой скорость, считается, на практике не
0T1
выходит.
На самом деле x необязательно сохраняет знак, поэтому изображающая
точка может переходить с траекторий одного семейства на траектории другого.
Этот переход происходит при перемене знака x, т. е. в тех точках плоскости, где
x 0. Согласно (4.44) и (4.45) эти точки удовлетворяют уравнению
у + T
2
0, (4.52)
которое описывает прямую линию L, располагающуюся на фазовой плоскости
примерно так, как показано на рис. 4.7. Назовем ее линией переключений. Левее и ниже этой линии располагаются траектории семейства «а», правее и выше
– семейства «б».
На рис. 4.7, а (масштаб по сравнению с рис. 4.6 увеличен) показана воз-
можная фазовая траектория. Она начинается отрезком траектории семейства
«а», после пересечения линии переключений продолжается траекторией семейства «б», после следующего переключения – снова «а» и т. д. (продолжение не
показано). В результате изображающая точка движется по ломаной спирали,
постепенно приближаясь к началу координат. Такому движению соответствуют
затухающие колебания по координате у с постепенным уменьшением рассогласования.
Однако вблизи начала координат картина меняется: существует отрезок
линии переключений, на котором траектории семейств направлены встречно,
что видно из рис. 4.7, б, изображающего в еще более крупном масштабе фазовую плоскость вокруг начала координат.
117
A ●
0
L
y
●1 ●2
0
y
● B
L
а б
Рис. 4.7. Фазовые траектории вдали от начала координат (а)
и вблизи от него (б)
Траектория, проходящая через точку 1, еще имеет продолжение в виде
трактории того же направления из семейства «б», но траектория, проходящая
через точку 2, уже встречает на линии L траекторию другого семейства противоположного направления.
Часть линии переключений, где это происходит, представляет собой отре-
зок, примерное расположение концов которого обозначено буквами А и В (на
концах отрезка фазовые траектории одного из семейств касаются линии переключений). Изображающая точка, попав на этот отрезок, уже не может с него
сойти. Не может она и остановиться где-либо, кроме начала координат, так как
в остальных случаях скорость
0. В результате изображающая точка движется «скользит» вдоль АВ к началу координат. Такой режим работы системы
называют скользящим, а АВ отрезком скользящего режима.
На практике вследствие неизбежной инерционности элементов системы
изображающая точка все-таки пересекает отрезок АВ на небольшое расстояние,
сейчас же возвращается на другую его сторону и т. д. Получается движение,
сопровождаемое малыми высокочастотными колебаниями относительно отрезка скользящего режима, которые не прекращаются и в начале координат (в согласованном положении). Этим колебаниям физически соответствуют частые
переключения преобразователя. Характер такого движения показан на рис. 4.8,
а. На рис. 4.8, б представлен примерный вид зависимости yот времени (пере-
ходного процесса) при достаточно большом начальном рассогласовании. Сначала характер процесса колебательный, а после входа в скользящий режим (в
точке с) – апериодический (если игнорировать малые колебания).
118
2
1ddy T
1 2
1 1
T T
1 2
1 2
T TkPT T
B
B
y
B
2
1 2
T T
T T
1 2
.
T T
y
B
y
• A
y
• B
0
c
t
а б
Рис. 4.8. Скользящий режим при наличии инерционности (а)
и примерный вид переходного процесса (б)
Положение концов A и B отрезка можно уточнить. Так, в точке В траектория семейства «а» касается линии y + T
B
а на основании (4.47)
kP
или
B 0
0. Условие касания имеет вид
2
, (4.53)
0
B
, (4.54)
, (4.55)
где
условия пересечения линии
ний (4.55), (4.56) видно что при Т
а при увеличении Т2 возрастают его размеры и угол наклона к оси .
– координата точки В по оси . Координату
с прямой y + T
2
по оси y можно найти из
0:
y kP
B 0
1 2
. (4.56)
Во всех проведенных выкладках считается, что выдержано условие
Координаты точки А отличаются от
0 отрезок скользящего режима отсутствует,
2
и yВ только знаком. Из выраже-
В
119
Для количественного описания процесса y(t) приведенных выше рассуж-
З
P
К
P
дений недостаточно: необходимо интегрировать уравнения (4.42), (4.43) с учетом (4.44). Сами уравнения не представляют трудностей для аналитического
интегрирования, но их решения необходимо «сшивать», сообразуясь с условием
(4.44). Поэтому предпочтительнее моделирование на ЭВМ.
При этом возможны по крайней мере два подхода. Согласно первому
уравнения (4.42), (4.43) интегрируются одним из численных методов. Если
начальные значения y0 и
удовлетворяют условию y0 + T
0
> 0, то сначала
20
интегрируется уравнение (4.42), а по достижении момента t1, при котором y(t1)
+ T
начальные, и т. д. При y0 + T
(t1)
2
0, уравнение (4.43), для которого y(t
< 0 первым интегрируется уравнение (4.43), а
20
) и (t1) рассматриваются как
1
остальные действия аналогичны только что изложенным.
Согласно второму подходу непосредственно используются аналитические
решения, имеющие вид
t T
/
y C C e kP T t
1 2 0 1
1
, (4.57)
t / T
y C C e kP T t
3 4 0 1
1
, (4.58)
соответственно для уравнений (4.42) и (4.43), где С1, С2, С3, С
произвольные
4
постоянные, определяемые из начальных условий или из условий сопряжения
решений в момент изменения знака выражения (y + T
). По-видимому, рацио-
2
нальнее использовать этот подход, поскольку он не обременен накоплением
ошибок, возможным при численном интегрировании.
Наличие упомянутых выше высокочастотных переключений преобразователя весьма нежелательно с практической точки зрения, поскольку способствует его быстрому износу. Средствами моделирования можно выяснить, как
влияет на процессы в системе отличие характеристик преобразователя от идеального реле и можно ли избежать многократных переключений.
§ 4.4. Система регулирования давления
Система предназначена для поддержания заданной величины
давления
P в пневматической емкости (рис. 4.9), в которую поступает сжатый воздух от
компрессора под давлением
и отбирается с переменным расходом на произ-
водственные нужды в магистраль 2. Можно считать, что этот расход включает в
себя и паразитные утечки. В подводящем трубопроводе располагается дроссель
1, выполняющий функции регулирующего органа. Давление везде далее исчисляется в паскалях, а время в секундах.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]