Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
( ) ( ) ( )
t
m Vt V f l dl n V d
( ) ( ) ( )
m t V f l dl n d
V p
p V
M p V p
N p p V
t l
0 - /V
или с учетом (2.111)
t
. (2.114)
t l V
A A
0 - /
Это и есть математическая модель движущейся ленты. Она устанавливает
связь между текущим (в момент t) числом волокон в плоскости А, с одной стороны, и плотностью концов в сечениях, находящихся в А в интервале времени
[t–l/V, t], а также плотностью распределения волокон по длине с другой.
Как и в случае неподвижной ленты, модель можно записать в изображениях. Применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям (2.114), получим
( ) ( ) ( ) ( )
M p V f l dl L n d L n d
A A A
V V
N p f l dl N p f l e dl
p p
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
A A
0 0
t t l V
- /
p
-
l
V
откуда
( ) ( ) 1
M p N p F
A A
. (2.115)
Можно ввести и передаточную функцию
A
W F
nm
A
A
( )
1
( )
. (2.116)
Сравнивая формулы (2.115), (2.116) и (2.100), (2.102) находим отличия:
появление множителя V и изменение аргумента с p на p/V в изображении f(l).
Вместо (2.114) можно предложить приближенную формулу, подобную
(2.83) и основанную на тех же предположениях: длина волокон фактически
ограничена небольшим значением и на интервале интегрирования (в данном
случае он не более lm/V, что соответствует времени прохождения через А волокон максимальной длины) nA практически не меняется. Вывод этой формулы
совершенно аналогичен выводу (2.83) и дает такой же результат:
mA(t)nA(t)lср. (2.117)
71
Следует признать, что модели ленты во всех рассмотренных пока их мо-
2
1
V
V
дификациях мало что непосредственно дают для практики. Однако их польза
становится несомненной, если они выступают как инструмент для решения других, более насыщенных практическим содержанием задач. Одна из них будет
изучена в следующем параграфе.
§ 2.11. Модель вытяжного прибора
Вытяжные приборы (ВП) применяются в основном на чесальных и ленточных машинах в целях уменьшения линейной плотности (говорят «утонения»)
ленты, а также дополнительной параллелизации и распрямления волокон. В модели будет учтена только процедура утонения. Несмотря на это ограничение,
модель может иметь существенную практическую значимость, например, для
описания ВП как объекта управления при построении регуляторов линейной
плотности ленты.
На рис. 2.13 показана схема ВП. Лента 1 поступает во впускную пару валиков 2, имеющих в точке контакта с лентой линейную скорость V1, а затем в
выпускную пару валиков 3, имеющих в точке контакта с лентой скорость V2 >
V1. Направления скоростей показаны стрелками. Они противоположны тому,
что на рис. 2.12. Противоположно направлена и ось x (не изображена), а передние концы волокон расположены справа, как показано для одного из них в зоне
между парами валиков.
Предполагается, что проскальзывания ленты относительно валиков нет1.
В результате лента вытягивается в отношении
E
,
(2.118)
которое называется вытяжкой.
Между плоскостями, проходящими через оси вращения валиков и захватывающими точки контакта с лентой, выдержано расстояние R, составляющее
величину порядка нескольких сантиметров и называемое разводкой. Поставим
задачу найти в качестве математической модели зависимость между линейными
плотностями ленты на входе и выходе ВП. Фактически вместо линейной плотности будем использовать, как и ранее, число волокон m.
1
Это предположение требует дополнительной оговорки, что не существует волокон с
длиной, превосходящей расстояние между плоскостями осей валиков 2 и 3, что обычно и
имеет место на практике.
72
1
V
R
2
V
1
V
2
V
2 3
1
0 z
Рис. 2.13. Схема вытяжного прибора и эпюра скоростей
Свяжем с ВП координатную ось z, поместив ее начало в плоскость контакта ленты с валиками 2 и направив ее ось параллельно оси ленты в сторону
движения. В точке контакта ленты с выпускной парой валиков zR.
Обозначим m1(t) число волокон на входе, т. е. в плоскости z0 в момент
времени t, а m2(t) число волокон на выходе, т. е. в плоскости zR в тот же момент. Аналогично обозначим n1(t) и n2(t) плотности передних концов волокон.
Время будем отсчитывать от момента поступления ленты во впускную пару валиков.
В зоне вытягивания, т. е. между плоскостями z0 и zR происходят процессы сдвига волокон друг относительно друга и ускорения каждого волокна,
образующие достаточно сложную картину. Примем сразу упрощающее предположение: переход каждого волокна со скорости V1 на скорость V2 происходит
скачком, когда его передний конец достигает некоторой координаты z, как показано на эпюре внизу рис. 2.13. Однако при этом координату z точки перехода
не будем считать обязательно одинаковой для всех волокон, особенно с разной
длиной.
Выделим волокна с длиной от l до (l + dl). Их доля от общего числа составляет согласно (2.68)
f(l)dl.
(2.119)
Введем новый показатель, характеризующий взаимодействие ленты и ВП.
Это C(z, z + dz, l) – доля волокон в уже выделенной группе с координатой точки
перехода, располагающейся в интервале от z до (z + dz). Подобно (2.66) и (2.68)
этот показатель можно записать в виде
73
( , + , )
C z z dz l
dz
– z
V V
С(z, z + dz, l) h(z, l) dz, (2.120)
где функция
( , ) lim
h z l
(2.121)
0
dz
может быть названа плотностью распределения волокон по точке перехода переднего конца со скорости V1 на V2 (сокращенно, плотность по точке перехода).
В отличие от f и n эта функция зависит от двух переменных. Понятно также, что
h(z, l) 0 при z < 0 или z > R, (2.122)
так как точка перехода не может располагаться вне зоны вытягивания.
Выделим теперь категорию волокон, отвечающих обоим признакам, т. е.
имеющих длину от l до (l + dl) и координату точки перехода от z до (z + dz). Их
доля от общего числа составляет согласно (2.119) и (2.120)
h(z, l) f(l)dzdl. (2.123)
Время прохождения переднего конца каждого из таких волокон через
зону вытягивания равно
z R
. (2.124)
1 2
Ограничимся в ближайших выкладках задачей выяснения связи между
плотностями концов на входе и выходе n1(t) и n2(t). Временно введем обозначения n1(t| z, l) и n2(t| z, l) – плотности передних концов волокон выделенной категории и составим уравнение баланса их количества на входе и выходе за
бесконечно малый интервал времени dt, непосредственно следующий за моментом t. Малый отрезок dx1 ленты, прошедший за dt через впускные валики, равен
dx1 V1dt, (2.125)
а соответствующий отрезок на выходе
dx2 V2dt. (2.126)
Уравнение баланса с учетом запаздывания на время прохождения волокон
и на основании (2.125), (2.126) имеет вид
74
n1(t| z, l)V1dt n2(t+| z, l)V2dt. (2.127)
– ( , ) ( )
n t h z l f l dz dl
0
z
R
( ) ( , ) ( ) –
n t dl h z l f l n t dz
N p dl h z l f l N p p dz
( ) exp ( ) ( , )exp .
N p f l dl h z l zp dz
Учитывая произвол в выборе t, можно заменить t на (t–) и получить
иную, но по существу эквивалентную (2.127) формулу
n2(t| z, l)V2dt n1(t–| z, l)V1dt. (2.128)
Число передних концов n1(t| z, l) волокон рассматриваемой категории на
входе в соответствии с (2.123) связано с общим их числом на входе равенством
n1(t| z, l) n1(t)h(z, l)f(l)dzdl. (2.129)
После подстановки (2.129), (2.124) в (2.128) и сокращения на dt получим
n2(t| z, l)
V z R z
1
1
V V V
2 1 2
–
. (2.130)
Теперь можно распространить выкладки на все волокна, а не только на
выделенную ранее категорию. Для этого достаточно проинтегрировать (2.130)
по всем возможным l и z (возможные значения z лежат, очевидно, в диапазоне
, определяющем зону вытяжки):
R
V z R z
1
2 1
V V V
2 1 2
0 0
–
. (2.131)
Эта формула дает ответ на временно поставленную задачу о связи между
n1(t) и n2(t). В принципе от нее можно перейти и к зависимости между m1 и m2,
используя формулу (2.114), но в результате получилась бы труднообозримая
последовательность интегралов.
Гораздо удобнее получить искомую зависимость в изображениях. Применим преобразование Лапласа к формуле (2.131):
R
V z R z
( ) ( , ) ( ) ( )exp
2 1
1
V V V
2 1 2
0 0
V R V V
1
V V p VV
1 2 1
2 2 1 2
0 0
R
Предел интегрирования во внутреннем интеграле (2.132) может быть
расширен до бесконечности в силу (2.122), после чего его можно рассматривать
(2.132)
75
как преобразование Лапласа от функции h(z, l), в котором аргументом вместо p
( , , ) , ( )
D V V p H p l f l dl
W p
( ) exp ( , , )
W p p D V V p
( ) ( )
M p
N p
( ) ( )
M p
N p
V V
является
2 1
V V
1 2
h z l
p
, а l играет роль параметра:
0
V V
2 1
V V
1 2
zp dz H
V V
2 1
V V
1 2
p l( , ) ,exp( )
. (2.133)
Двойной интеграл в выражении (2.132) примет вид
1 2
V V
0
2 1
VV
1 2
, (2.134)
и его можно трактовать как среднее по параметру l значение изображения
функции h(z, l). Впрочем, суть не в трактовке. Важно, что этот интеграл не зависит от n и m, и его можно в принципе вычислить, если известны функции f(l) и
h(z, l).
Для функции f(l) можно предложить ряд теоретических выражений (см.
§ 2.5), а также, хотя и не без трудностей, определить ее экспериментально. А
вот функцию h(z, l) опытным путем определить чрезвычайно трудно, и теоретические схемы для нее слабо разработаны. Достаточно конструктивный метод
состоит в том, чтобы для некоторых гипотез о зависимостях h(z, l) провести исследования получаемых моделей и проследить, как вид h(z, l) влияет на картину
процесса вытягивания. Такой подход будет продемонстрирован ниже. А сейчас
доведем до конца вывод модели ВП в изображениях.
Введем передаточную функцию
n n
1 2
, которая согласно (2.132) и (2.134)
описывается выражением
n n
1 2
( )
N p V R
2 1
( )
N p V V
1 2 2
1 2
. (2.135)
Вводя также передаточные функции
W
1
и
n m
1 1
1
W
n m
2 2
2
, (2.136)
2
где M1(p) и M2(p) – изображения числа волокон m1(t) и m2(t) на входе и выходе
ВП, составим цепочку равенств
76
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M p N p W p N p W p W p
( ) ( )
( ) .
W p W p
W p
( ) ( ) exp ( , , )
M p M p p D V V p
W p
exp ( , , )
W p D V V p
H p l Rp
2 2 1
n n n m
M p
(2.137)
1
1 2 2 2
W p
n m
n m n n n m
2 2 1 2 2 2
( )
1 1
Выражение для
n n
1 2
известно из (2.135), а для остальных передаточ-
ных функций следует использовать (2.116) при непринципиальном изменении
обозначений.
В результате получим
F p V
2 1 1 2
1 – /
F p V V
2
1 2
R
, (2.138)
1 – /
а для передаточной функции вытяжного прибора
m m
1 2
( ) 1 – ( / )
M p F p V R
m m
1 2
2 2
( ) 1 – ( / )
M p F p V V
1 1 2
1 2
. (2.139)
Формула (2.138) или (2.139) совместно с (2.134) и представляет собой модель вытяжного прибора в изображениях.
Дальнейший анализ требует знания H и F (или оригиналов h, f). Используя упомянутый выше подход, выдвинем гипотезу относительно h(z, l).
Наиболее известны две гипотезы. Одна из них (так называемая первая
предельная схема) гласит, что каждое волокно независимо от его длины переходит со скорости V1 на V2 в момент попадания его переднего конца в выпускную пару валиков, т. е. при zR. Другая – вторая предельная схема – предполагает, что этот переход происходит в момент выхода волокна из впускной пары, т. е. когда его передний конец имеет координату l.
Остановимся на первой предельной схеме, для которой h(z, l) математически оформляется в виде
h(z, l) (z– R). (2.140)
Из формул (2.133) и (А.5) следует
–
V V V V
2 1 2 1
VV V V
1 2 1 2
, exp
Как видно, H теперь не зависит от l, поэтому после подстановки (2.141) в
(2.134) получим
. (2.141)
77
D V V p Rp f l dl Rp
W p
W p p
N p N p p Rp N p p
2 1
V R
V V
( ) 0
2 1 1
– , .
V R R
V V V
V V V V
( , , ) exp ( ) exp
1 2
2 1 2 1
VV VV
1 2 1 2
0
. (2.142)
Передаточная функция
m m
1 2
W
(p) согласно (2.139) примет вид
m1m2
m m
1 2
( ) 1 – ( / )
M p F p V R
2 2
( ) 1 – ( / )
M p F p V V
1 1 1
exp
, (2.143)
и для получения с ее помощью конкретных выводов относительно связи между
m1 и m2 нужно знать F. Однако некоторые полезные заключения можно сделать
и независимо от F.
Для этого воспользуемся формулами (2.135) и (2.142):
( ) ( ) exp exp ( ) exp
V R V V V R
2 1 1
V V V V V V
1 2 1 1
2 2 1 2 2 1
. (2.144)
Перейдя к оригиналам, найдем с помощью (Б.8)
( ) –
n t n t
2 1
1
при t > R/V1. (2.145)
Последняя формула означает, что плотность передних концов на выходе
уменьшается по сравнению с плотностью на входе в ЕV2/V1 раз и запаздывает
относительно нее на постоянную величину, равную времени прохождения зоны
вытягивания со скоростью V1. Интервал [0, R/V1] этой формулой не охвачен, но
он и не представляет интереса, поскольку на его протяжении вытягивания не
происходит (можно считать, что осуществляется заправка ВП). Положим на
этом интервале
n t
2
, как того формально требует теорема смещения. Это не
составит противоречия физическому смыслу.
Вспомним теперь, что существует приближенная формула (2.83) и ее модификация (2.117), для использования которых ранее были приведены достаточно веские доводы. Применяя (2.117) после непринципиального изменения
обозначений, получим
R
t
V
1
1
m t t
1
(2.146)
( )
m t
2
0, ,
78
Заметим еще, что при выводе приближенных формул фигурировало пред-
1
/
t R V
n t n t
( ) ( )
m t m t
положение о малом изменении плотности передних концов на отрезках ленты
порядка максимальной длины волокна. Такой же порядок имеет и разводка R,
поэтому в рамках того же предположения можно считать при
R
1 1
V
1
,
после чего упрощается и формула (2.146):
V
2 1
1
. (2.147)
V
2
Это соотношение можно было получить и без подробного вывода на основе элементарного баланса масс:
в m1
(t)V
1
(t)V2 . (2.148)
в m2
Слева здесь стоит масса волокон, поступающих за единицу времени в вытяжной прибор, а справа – выходящих за единицу времени из вытяжного прибора.
Могут возникнуть сомнения, стоило ли вообще проводить долгие и кропотливые выкладки, если приемлемый результат (2.147) мог быть получен столь
простым способом. Пожалуй, стоило. Во-первых, все приближенные формулы,
включая (2.151), получили достаточное обоснование, а также обозначились границы их применимости. Во-вторых, получены точные результаты, которые при
необходимости могут быть развиты и использованы для более тонких исследований. Например, можно дать количественную оценку точности формулы
(2.147), что и будет сделано в следующем параграфе.
§ 2.12. Пример модели вытяжного прибора
Пусть входная линейная плотность, измеряемая числом волокон m1(t) в
сечении z0, изменяется скачком от 0 до постоянного значения m0 (рис. 2.14).
79
0
m
p
1
l p
M p p
0
m
0
2
m
1
( )
m t
( )
m t
2
0 0,1 0,2
Рис. 2.14. Зависимость от времени количества волокон на входе
и выходе вытяжного прибора
Найдем соответствующую функцию времени m2(t) на выходе ВП (при
zR). В терминах теории автоматического управления m2(t) представляет собой
в этом случае реакцию ВП на скачок входного воздействия.
Предположим, что по-прежнему справедлива первая предельная схема, а
плотность распределения волокон по длине отвечает формуле (2.73). Зададимся
также конкретными числовыми значениями V
1 м·с-1, V
1
2 м·с-1, l
2
ср
0,04 м,
R0,1 м.
Используя таблицу приложения Б, найдем
откуда на основании (2.143)
m RV
( ) exp
2
( )
M p
1
( )
F p
, (2.150)
, (2.149)
1+
cp
1
1 –
l
cp
1+
0
p V
1 –
1+
l
V
p
2
1
cp
p
1
. (2.151)
1
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]