Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
1 2
( )
H k T T
. (1.65)
k
(0, ) ( ) , (0, ) ( )
T t f t T t f t
k
Коэффициент
называют тепловой проводимостью, Дж·с-1·м-2·К-1.
Температуры теплоносителей на входе в теплообменник будем считать
известными функциями f1(t) и f2(t). Пользуясь выражениями (1.64), можно записать
1 1 2 2
. (1.66)
Обозначим также
,
– плотности теплоносителей соответственно во внешней и внутрен-
1
2
ней трубах, кг/м3;
с1, с2 – их удельные теплоемкости, Дж·кг-1·К-1;
r, R – радиусы внутренней и внешней труб, м.
Составим уравнения теплового баланса для двух элементарных объемов,
заключенных между двумя поперечными сечениями теплообменника, имеющими координаты x и x+dx (см. рис. 1.8, а). Аксонометрическое изображение
этих объемов показано на рис. 1.8, б.
Величина первого объема (относящегося к внешней трубе) составляет
S1dx , где S
(R2 – r2), (1.67)
1
а второго (для внутренней трубы)
S2dx, где S2 = r2. (1.68)
Уравнение теплового баланса для первого объема имеет вид
1с1S1
dxdT1
+
1с1V1S1T1
2 rdx [T
(x,t)dt
(x,t) T
2
1с1V1S1T1
(x,t)] dt. (1.69)
1
(x + dx,t)dt +
В левой части этого равенства – приращение количества тепла в объеме за
счет изменения температуры на dT1 за время dt. Первое слагаемое правой части
– количество тепла, вносимое в объем движущейся жидкостью через сечение x
за то же время, второе слагаемое – количество тепла, уносимое потоком через
сечение x+dx. При этом произведение V1S1 представляет собой объемный расход, ранее фигурировавший в аналогичном выражении (1.1). Третье слагаемое –
приращение количества тепла в объеме за счет теплопередачи через стенку, соответствующее формуле (1.65). Здесь 2rdx – площадь элементарной поверхности, через которую распространяется удельный тепловой поток H (на рис. 1.8, б
эта поверхность заштрихована).
1
Термин «тонкая» подчеркивает здесь, что распределение температуры поперек
стенки несущественно, а имеет значение только перепад температур на сторонах стенки.
31
Разделив уравнение (1.69) на
( , ) ( , )
V a T x t T x t
t x
k
x
( , ) – ( , )
V a T x t T x t
t x
( , ) ( , )
V a T x t T x t
t x
k
T T x x t T x t
1 1 1
( + , ) – ( , )
1 1 2 1
1с1S1
dxdt справа и слева, получим
(1.70)
где а1
2r/
1c1S1
.
Отношение в правой части при бесконечно малом приращении dx пред-
T
ставляет собой
1
. Пользуясь этим и переходя везде к символам частных
производных, приведем уравнение (1.70) к виду
( , ) ( , )
T x t T x t
1 1
1 1 2 1
. (1.71)
Совершенно аналогично выводится второе уравнение из условия баланса
тепла для элементарного объема внутренней трубы
( , ) ( , )
T x t T x t
где a2
2r/
2 2
2 c2 S2
2 2 2 1
.
, (1.72)
Таким образом, математическая модель теплообменника описывается системой двух дифференциальных уравнений (1.71) и (1.72) в частных производных первого порядка по x и t каждое. Для однозначности описания уравнения
должны быть дополнены начальными и граничными условиями. Граничные
условия по существу уже заданы формулами (1.66). Начальные условия имеют
вид
T1(x,0) f3(x), T2(x,0) f4(x), (1.73)
где f3(x) и f4(x) – функции x, описывающие начальное распределение температур
по x внутри труб теплообменника. Эти функции должны быть известны.
В качестве основного результата исследования этой модели обычно представляют интерес температуры T1(l, t) и Т2(l, t) на выходе теплообменника, получающиеся подстановкой x l в общие решения T1(x, t) и Т2(x, t).
§ 1.6. Процесс диффузии
Диффузия – это один из многих массообменных процессов, заключающийся в проникновении частиц одного вещества (молекул, атомов, ионов или
более крупных образований) в структуру другого. Среди прочих явлений массообмена могут быть названы дистилляция, растворение, испарение. Диффузия
составляет основу многих химико-технологических процессов (диффузионная
металлизация, ректификация, крашение и др.).
32
В количественном плане процесс диффузии может быть описан концен-
dC
dx
трацией С(x, y, z, t) – количеством структурных элементов диффундирующего
вещества в единице объема в момент t в точке с пространственными координатами x, y, z. Примем моль·м-3 в качестве единицы измерения концентрации1.
Основным законом диффузии является 1-й закон Фика, который в одномерном случае (диффузия происходит только в одном направлении – по оси x)
имеет вид
p D
, (1.74)
где p – плотность диффузионного потока, моль·м-2·с-1, т. е. количество структурных элементов, перемещающихся через перпендикулярное оси x сечение
единичной площади в единицу времени;
D – коэффициент диффузии, м2·с-1, который обычно определяется экспе-
риментально (имеются и теоретические формулы для D).
Знак «минус» в (1.74) указывает, что положительный диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации.
Рассмотрим процесс диффузии некоторого вещества (например, красителя) в плоском слое материала, имеющего толщину l и неограниченные размеры
в других направлениях (рис. 1.9, а).
Концентрацию будем считать зависящей от времени t (нестационарный
процесс) и неизменной во всех направлениях, кроме x: CC(x, t).
0
l x 0 x x+dx
D1 D2 D3 D
а б
Рис. 1.9. К модели процесса диффузии: элементарный объем в слое (а)
и разбиение слоя на участки (б)
1
Моль – это количество вещества системы, которая содержит 6,022140857·10
ло Авогадро) специфицированных структурных единиц (атомов, молекул и др.). Такое определение принято на 26 генеральной конференции по мерам и весам 13–16 ноября 2018 года.
Вступило в действие 20.05.2019 г.
4
l x
23
(чис-
33
Выделим в слое элементарный объем (на рис. 1.9, а он обозначен штри-
( ) ( + )
SdxdC Sp x dt Sp x dx dt
( + ) ( )
dC p x dx p x
dt dx
dx
( , ) ( , )
C x t C x t
t x
ховкой) в форме параллелепипеда с площадью боковой грани S, ограниченного
сечениями с координатами x и x+dx и четырьмя плоскостями, параллельными
оси x подобно тому, как это было сделано в § 1.2. Заметим, что сходство между
объектами, а также между формулами (1.9) и (1.74) обещает обнаружение тесной аналогии между процессами теплопроводности и диффузии, что скоро и
подтвердится.
Составим уравнение баланса количества структурных единиц вещества
для выделенного объема и некоторого малого интервала времени dt
. (1.75)
В левой части равенства – приращение количества структурных элементов в
объеме Sdx за счет изменения концентрации на dC, в правой – разность между
количеством структурных элементов, вошедших в этот объем с потоком плотности p(x) через сечение x и вышедших из объема с потоком плотности p(x+dx)
через сечение x+dx.
Разделив равенство (1.75) на Sdxdt, получим
. (1.76)
dp
При бесконечно малом dx отношение в правой части (1.76) равно
, от-
куда, используя (1.74) и переходя в (1.76) к символам частных производных,
получим
D
2
. (1.77)
2
Это – уравнение одномерного нестационарного процесса диффузии. С математической точки зрения оно отличается от уравнения процесса теплопроводности (1.13) только обозначениями. Тем самым подтверждено ожидавшееся
сходство между математическими моделями процессов. Эти процессы дополняют примеры аналогий, приведенные во введении.
Уравнение (1.77) должно сопровождаться начальным условием
С(х,0) f1(х), (1.78)
которое определяет распределение концентрации по оси х при t0 как известную функцию f1(x), а также граничными условиями. Последние в простейшем
варианте имеют вид
34
C(0, t) f2(t) , C(l, t) f3(t) , (1.79)
( ) ( )
t
t D d
( )dD t
dt
( )
D t
t dt
2
C C
x
( )
t
где f2(t) и f3(t) – концентрация вещества в момент t в средах, граничащих с поверхностью слоя слева и справа. Возможны и другие формулировки граничных
условий.
Наряду со сходством можно отметить и различия между процессами теплопроводности и диффузии. Одно из них состоит в том, что коэффициент D в
(1.77) обычно более изменчив, чем a в (1.13). Рассмотрим в связи с этим три
случая.
1. DD(t), т. е. коэффициент диффузии зависит от времени, если, например, в ходе диффузионного процесса меняется со временем температура. Этот
случай при известном законе изменения D(t) почти не представляет дополнительных трудностей при решении уравнения (1.77). Действительно, введем
формальное «время» , зависящее от реального t согласно формуле
и измеряемое в м2.
По правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним преде-
лом1
Согласно правилу дифференцирования сложной функции
Подстановка этого выражения в (1.77) после сокращения на D дает
0
. (1.81)
C C d C
(1.80)
. (1.82)
2
. (1.83)
Это уравнение даже проще, чем (1.77). После нахождения отсюда C(x, )
можно, сопоставляя по формуле (1.80) каждому значению соответствующее t,
найти и C(x, t). Зависимость
лицы.
1
равна подынтегральной функции при верхнем пределе.
можно предварительно оформить в виде таб-
Производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу
35
2. DD(x), т. е. по существу материал, в котором происходит диффузия,
2
C C
t x
неоднороден вдоль оси x. В этом случае можно разбить промежуток [0, l] на
участки, внутри которых коэффициент диффузии D приблизительно постоянен
(подобно тому, как показано на рис. 1.9, б для четырех участков).
Вместо одного уравнения (1.77) придется иметь дело с несколькими (для
концентраций С1(x, t), С2(x, t)... на отдельных участках), зато в каждом из них
будет фигурировать свое постоянное значение коэффициента диффузии D1,
D2,... Граничные условия для каждого участка формулируются при этом так,
чтобы на плоскостях их соприкосновения концентрации и их производные по х
совпадали.
3. DD(С), т. е. коэффициент диффузии зависит от достигнутой концентрации. Это, по-видимому, самый неприятный для анализа случай, поскольку
уравнение (1.77) становится нелинейным
2
( )
D C
. (1.84)
Впрочем, моделирование на ЭВМ в принципе позволяет справиться и с
этой трудностью.
36
ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОЙ
F x
1
2
3
8 10
ТЕХНОЛОГИИ
§ 2.1. Измеритель натяжения
Измерители натяжения находят применение в технологических процессах
выработки нитей, проволоки, различных рулонных материалов. Они могут входить в состав систем автоматического регулирования натяжения в качестве датчиков. Упрощенная схема такой системы показана на рис. 2.1. Она не привязана
к какому-либо процессу, но для определенности будем считать, что регулированию подвергается натяжение нити в процессе ее перемотки.
F
5 4
7
Рис. 2.1. Схема регулятора натяжения нити
С подающего вала 1 нить 2, огибая направляющие ролики 3, перематывается на приемный вал 4, вращающийся с постоянной частотой в направлении,
указанном широкой стрелкой. При этом она огибает еще и подвижный измерительный ролик 5. Натяжение нити F, действующее на ролик со стороны двух
охватывающих его ветвей (показано стрелками), создает силу 2F, стремящуюся
переместить ролик вверх. Этому препятствует демпфер 6 и пружина 7, в результате чего при каждом постоянном значении натяжения ось ролика занимает
определенное положение. Условимся сопоставлять ему координату x, отсчитываемую вверх от положения, при котором натяжение отсутствует.
Если по какой-либо причине (например, при изменении трения на оси вала 1) натяжение меняется, то сопутствующее ему механическое перемещение
ролика преобразуется устройством 8 (например, сельсином) в электрический
сигнал. В регуляторе 9 он подвергается дальнейшим преобразованиям и с по-
6
37
мощью тормозной муфты 10 воздействует на подающий вал. При уменьшении
d x dx
m F cx n
dt dt
m
c
n
2 ( ) ( )
b x t f t
dt dt
m
2
c
m
2
F
m
0
x
натяжения по отношению к заданному значению торможение вала увеличивается, и натяжение возрастает. При увеличении – наоборот.
Заметим сразу, что описание системы регулирования приведено здесь
лишь для сведений о возможных применениях измерителя, и подробнее будет
далее рассмотрена только его механическая часть.
Непосредственно на основании закона Ньютона имеем
2
2
, (2.1)
2
где
– масса измерительного ролика, кг;
– жесткость пружины, H·м-1;
– коэффициент демпфирования, H·c·м-1 (т. е. коэффициент пропорцио-
нальности в выражении для силы сопротивления демпфера, пропорциональной скорости ролика).
Уравнение (2.1) приведем к виду
2
( ) ( )
d x t dx t
, (2.2)
2
2
c
где b
n
,
2
c
,
f
.
В такой форме это уравнение обычно фигурирует в литературе по механике (например, [3]) под названием уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы. Его общее решение в принципе можно
получить, задав начальные условия
dx
x(0)x0 ,
dt
0t
. (2.3)
Таким образом, математическая модель измерителя сводится к уже встречавшемуся случаю задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Из общей теории линейных уравнений, к которым принадлежит и (2.2),
известно, что их решение состоит из двух слагаемых x(t) = xc(t) + xв(t), первое из
которых описывает «собственное движение» системы, зависящее от начальных
условий, а второе – «вынужденное движение» под действием силы F.
В практическом плане для систем рассматриваемого типа представляет
интерес их поведение (зависимость x(t)) при длительном воздействии силы F(t).
При этом собственное движение xc(t) успевает затухнуть, и зависимость x(t) от
начальных условий (2.3) исчезает.
38
Остается второе слагаемое решения xв(t), которое определяется характе-
( )
x t
( )
x t
m
ром изменения F(t). Во многих случаях можно предполагать это изменение
близким к периодическому, что после соответствующей идеализации позволяет
считать силу F(t) изменяющейся по гармоническому закону
F(t) F0 cost, (2.4)
где F0 – амплитуда вынуждающей силы F, Н;
– ее частота, рад·с-1.
Известно, что при этом система также совершает колебания с той же частотой и постоянной амплитудой Aпо закону
xв(t) Аcos(t+). (2.5)
Если фазовый сдвиг пренебрежимо мал, а амплитуда не зависит от частоты, то имеет место равенство
A
F t0( ) , (2.6)
F
т. е. перемещение измерительного ролика прямо пропорционально натяжению в
любой момент времени, что соответствует предъявляемым к измерителю требованиям.
В действительности амплитуда А и фазовый сдвиг от частоты зависят.
Представляют интерес обе зависимости, но наиболее конструктивные выводы
следуют из анализа зависимости А(). Несколько заимствованных из [3] графиков функции А() при различных значениях коэффициента демпфирования n
приведены на рис. 2.2.
Часто их именуют резонансными кривыми. По оси абсцисс отложено безразмерное отношение /
, где
с
с
c
(2.7)
частота собственных колебаний в отсутствие демпфирования (собственная
частота измерителя). По оси ординат отношение амплитуды А перемещения
ролика к амплитуде F0 вынуждающей силы, измеряемое в м·Н-1 и выраженное
через жесткость пружины.
39
cm
cm
cm
n cm
n cm
n cm
A/F0
5/c
4/c
3/c
2/c
1/c
0
0,5 1,0 1,5
2,0
0,4
2
Рис. 2.2. Резонансные кривые для измерителя натяжения
Из рис. 2.2 видно, что при постоянном натяжении ( 0) перемещение
измерительного ролика A тем больше, чем меньше жесткость пружины. С этой
точки зрения желательно уменьшать с.
В то же время обнаруживается резкая зависимость амплитуды перемещения от частоты, особенно заметная для кривой при n0,4
(резонансная область). Эта зависимость крайне нежелательна, поскольку
с
в области, где
она искажает показания измерителя, которые должны соответствовать формуле
(2.6). Только в области частот, не превосходящих примерно 0,25
(обозна-чена на
с
оси частот крупными точками), зависимость А от слабо проявляется. Эта область может быть названа рабочей – той областью, где частота изменения натяжения F еще не слишком искажает вид зависимости (2.6). Естественно, что эту
область желательно по возможности расширить, для чего необходимо увеличить
.
с
В свою очередь, согласно (2.7) увеличение
требует уменьшения массы
с
m до допустимых конструкцией пределов, а также увеличения с. Таким обра-
зом, значение с должно выбираться на основе компромисса между предъявляемыми к нему противоречивыми требованиями.
Имеет значение и выбор коэффициента демпфирования n. Например, из
представленных на рис. 2.2 кривых наилучшую рабочую область обеспечивает
кривая при n
(n 2
соответствует случаю так называемого крити-
ческого затухания, когда резонансного пика вообще нет).
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]