Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
1
k
– коэффициент передачи датчика, В·ктекс-1;
0
y
0
U
д
U
д у 0 у
у 1 у
, ,
( )
, .
R dt
R
U
1
– номинальное (заданное) значение линейной плотности на выходе вы-
тяжного прибора, ктекс;
– напряжение на выходе датчика при номинальной линейной плотно-
сти, В.
Регулятор. Регулятор построен по схеме, показанной на рис. 4.2.
i
4
i
3
C
U
-U
R
1
д
R
0
i
2
i
i
1
2
U
у
у
Усилитель
мощности
U
р
Рис. 4.2. Схема регулятора
Он состоит из преобразователя на основе операционного усилителя (ОУ),
охваченного обратной связью, содержащей резистор с сопротивлением R и конденсатор с емкостью С, а также из усилителя мощности. На вход ОУ поданы
напряжения
и (–U0) через резисторы с сопротивлениями R1 и R2. Использо-
ваны также следующие обозначения:
Uу, U1, Up – напряжения непосредственно на входе ОУ, на его выходе и на
выходе всего регулятора (все напряжения отсчитываются относительно общей
точки – «земли»);
i1, i2, i3, i4, iy – токи, протекающие через резисторы R1, R2, R, через конден-
сатор С, и входной ток ОУ.
Составим уравнения преобразователя. Согласно правилам Кирхгофа
i1+i2+i3+i4=iy. (4.4)
Выражения для токов имеют вид
Одним из свойств ОУ является его высокое (порядка сопротивления изо-
U U U U
i
1
i i
3 4
R R
1 2
U U U U
1
i
2
C
(4.5)
d
101
ляции) входное сопротивление, вследствие чего практически
оу у
U k U
0.
д 0
T U k U U
dt
2 1
/
k R R
1 2
R R
р 4 д 0
T U k U U
dt
i
0. (4.6)
y
Входное и выходное напряжения ОУ связаны через его коэффициент усиления kоу зависимостью
1
. (4.7)
Она учитывает, что ОУ меняет знак входного напряжения. Подставляя
(4.5)(4.7) в (4.4), получим
U
д
R R R R R R
1 1 2 2 2оу оу оу
UU U U U
01 1 1 1
k k k
dU dU
C
dt dt
C
1 1
k
оу
(4.8)
Еще одно свойство ОУ заключается в высоком (до 108) значении его коэффициента усиления, вследствие чего в уравнении (4.8) можно пренебречь
слагаемыми, содержащими kоу в знаменателе, откуда
dU
1
1 1 2
,
(4.9)
где T1 RC – постоянная времени регулятора, с;
– коэффициент усиления преобразователя (здесь и далее счита-
ется
).
Усилитель мощности можно считать безынерционным с коэффициентом
усиления по напряжению k3:
U
Объединяя уравнения (4.9) и (4.10), получим
где k
k2k3 – коэффициент передачи регулятора.
4
Таким образом, согласно терминологии теории автоматического управления, регулятор является апериодическим звеном первого порядка с постоянной
102
1
k
p
dU
р
, (4.11)
. (4.10)
3U1
времени T1 и коэффициентом передачи k4, на входе которого фигурирует откло-
dt
р
U
2
в
в
1
нение сигнала датчика от значения, отвечающего номинальной линейной плотности.
Исполнительный механизм. В состав исполнительного механизма входит
двигатель постоянного тока и механический дифференциал. Управление двигателем постоянного тока в рассматриваемой системе осуществляется путем подачи выходного напряжения регулятора Up на якорную обмотку при
неизменном напряжении возбуждения Uв, создающем постоянный поток возбуждения Фв.
Из теории электрических машин известно, что при таком способе управления явления индукции играют второстепенную роль, а ток в цепи якоря iя, А,
поток возбуждения Фв, В·с, угловая скорость ротора , с-1, противоэлектродвижущая сила Еп, В, и вращающий момент M, Нм, связаны соотношениями
МСmФвiя,
Е
СеФ
п
, (4.12)
в
U
iяRя+Еп,
p
где Се и Сm – постоянные безразмерные параметры двигателя;
Rя – активное сопротивление обмотки якоря, Ом.
Уравнение движения двигателя при пренебрежимо малых трении и моменте сопротивления на его валу (в условиях работы совместно с дифференциалом) имеет вид
d
J
M
, (4.13)
где J – момент инерции ротора двигателя и связанных с ним вращающихся
масс, приведенный к его оси, кг·м2.
После подстановки выражений (4.12) уравнение (4.13) приобретает вид
JR d
я
C C dt C
m e e
2
в в
1
, (4.14)
а после введения обозначений
JR
C C
m e
C
e
я
– постоянная времени двигателя, с;
– коэффициент передачи двигателя, В-1·с-1,
103
T
2
k
5
р
T k U
dt
( )
t
р
T V V k U
dt
р 0
( ) [ ( ) ],
( ) ( ),
U t y t y
( )
U t
( )
V t
( )
V t
2 5
. (4.15)
Дифференциал представляет собой механическое устройство, в котором
угловая скорость выходного вала равна сумме угловых скоростей двух его
входных валов. Выходной вал приводит в движение выпускную пару валиков
вытяжного прибора. Один из входных валов вращается с постоянной угловой
скоростью от главного привода чесальной машины, несет основную нагрузку по
перемещению чесальной ленты и обеспечивает ее линейную скорость V20 на
выходе вытяжного прибора. Второй входной вал приводится в движение от
электродвигателя с угловой скоростью , чем обеспечивается изменение ли-
d
нейной скорости ленты на выходе на величину k
, в которой коэффициент k6,
6
м, определяется диаметром ведущего валика выпускной пары и передаточными
числами в цепи двигатель – валик.
Таким образом, линейная скорость на выходе вытяжного прибора равна
V2(t)V20 + k
6
. (4.16)
Считая выходной переменной исполнительного механизма V2, а входной
U
, получим его уравнение на основе (4.15) и (4.16)
p
dV
2
2 2 20 7
, (4.17)
где k
k5k6 – коэффициент передачи исполнительного механизма, В-1·м·с-1.
7
Как и регулятор, двигатель представляет собой апериодическое звено первого
порядка.
Исключая из уравнения (4.11) Uд c помощью (4.3) и объединяя его с (4.1)
и (4.17), получим описание системы регулирования в виде системы уравнений
( )
dU t
р
dt T T
1
1 1
k k
1 4
относительно переменных y(t),
x(t). Первые два из этих уравнений дифференциальные (одно из них осложне-
но наличием запаздывания в аргументе y), а третье нелинейное алгебраическое. Нелинейность обусловлена наличием переменной
104
( ) 1 1
dV t k
2 7
dt T T T
x t
( )
y t V
V t
2
р
V t V U t
2 20 р
2 2 2
( )
1
( )
,
, зависящих от входного воздействия
2
(4.18)
в знаменателе
2
правой части.
1
20
.
V
V
0 0
р 2 20
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( ), ( ) ( ) .
y t y t y x t x t x
U t U t V t V t V
( ) (1 ( ) / )
( ) .
( ) (1 ( ) / )
x x t V x x t x
20
1 / .
V V
( ) ( ) ( ).
y t y x t V t
Уравнения (4.18) доступны для решения численными методами на ЭВМ.
Целесообразно проводить их моделирование при различных x(t), представляющих собой реализации случайных процессов, описывающих изменение линейной плотности реальных чесальных лент.
Полученная математическая модель допускает и дальнейшее аналитическое исследование, результаты которого могут быть полезны для контроля процесса моделирования на ЭВМ, а также могут представлять самостоятельный
интерес. Дело в том, что при малых отклонениях x от номинальных значений
последнее из уравнений (4.18) позволяет провести его линеаризацию и последующий анализ системы традиционными средствами теории автоматического
управления.
В режиме, когда переменные системы сохраняют номинальные значения
yy0, xx0, выходной сигнал регулятора отсутствует (U
p
0), V
V20 и остается
2
неизменным соотношение
Введем отклонения переменных системы от номинальных значений
Последнее уравнение системы (4.18) в этих обозначениях примет вид
y t y V
Считая отношения x/x0 и V/V
ложим в ряд по степеням V/V
первыми двумя членами ряда:
Пренебрегая в правой части (4.21) произведением упомянутых отношений, получим
(4.22)
Выполнив в (4.22) сокращения на основании (4.19) и объединив результат
y x
(4.19)
0 0
(4.20)
0 1
20
0 1 0 0
V V t V V t V
20 20 20
малыми по сравнению с единицей, раз-
20
один из сомножителей в (4.21), ограничиваясь
(4.21)
1
1 /
V V
V x V V x
0
20
1 0 1 1 0
V V V
20 20 20
2
105
с первыми двумя уравнениями (4.18), в которых проведена замена согласно
( ) ( ),
( 1)( 1)
( ) ,
( 1)( 1)
1 4 7
.
k k k k
1 4
1
k k
T p
e
p
1kT p
0
20
x
V
1
20
V
V
y
U
V
(4.20), получим линейную систему уравнений в отклонениях
T U t k k y t
1 1 4
dt
d V t
T V t k U t
2 7
( ) ( ) ( ).
y t x t V t
( )
( ) ( ),
dt
V V x
1 1 0
V V
20 20
(4.23)
2
( )
d U t
Соответствующая этой системе уравнений структурная схема с указанными на ней передаточными функциями звеньев приведена на рис. 4.3. По ней нетрудно составить передаточные функции разомкнутой
p
e
( )
W p
р
k
T p T p
1 2
(4.24)
и замкнутой системы
/
V V
1 20
T p T p
1 2
p
e
k
(4.25)
где
V x
1 0
2
V
20
W p
з
1
106
-
1
7
2
Рис. 4.3. Структурная схема, соответствующая
линеаризованной системе
107
Cогласно (4.25) статическая ошибка на выходе системы при постоянном
ст ст
y x
ст ст
0 0
.1y x
y k x
0,5 c.
( 1)
( )
W p
( ) ,
( 1)
c
( ) 1 ( 1).
1kT
отклонении входной линейной плотности x
составит
ст
1
V
1
V k
20
1
(4.26)
или в относительных единицах (с учетом (4.19))
1
(4.27)
Для достижения достаточного эффекта регулирования линейной плотности при длительных постоянных ее отклонениях от номинала на входе (говорят:
«регулирование номера ленты») значения k должны составлять 510.
В то же время если остановиться на таком выборе k, то необходимо подбором других параметров обеспечить условия устойчивости, которые в данном
случае ужесточаются из-за наличия запаздывания. Один из остающихся для выбора параметров постоянная времени двигателя T2 определяется его конструкцией и почти не доступна для изменения в сколько-нибудь заметных
пределах. Обычно T2 составляет несколько десятых долей секунд. Примем для
определенности в ближайших расчетах
T
2
Постоянная времени регулятора T1, напротив, допускает варьирование в
широком диапазоне. Примем предположение (оно вскоре подтвердится), что эта
постоянная должна быть существенно больше T2. Пренебрегая на этом основании множителем
ное выражение для
T p
2
в знаменателе выражения (4.24), найдем приближен-
р
а затем частоту среза
характеристики
Получим
108
p
e
W p
р
k
T p
1
(4.28)
из условия равенства единице амплитудной частотной
k
W i i
р c
2 2
T
1 c
2
2
c
1
2
1
(4.29)
или, учитывая рассматриваемые значения k и пренебрегая по сравнению с k2
1
.kT
/ arctg .
arctg
k
6.
единицей в числителе,
(4.30)
c
Согласно критерию устойчивости Найквиста, значение фазовой частотной
характеристики на частоте среза должно быть больше (–)
arg ( ) arctgW i T
p c c 1 c
или
k T k
1
(4.31)
Отсюда
k
T
1
. (4.32)
Запаздывание при характерных для многих чесальных машин параметрах l1,5 м, V
1,5 м·с-1 (см. формулу (4.2)) составит примерно 1 с. Принимая
20
k10, из (4.32) получим
10
T
1
1, 47
(4.33)
Таким образом, подтверждается, что для обеспечения устойчивости постоянная времени регулятора должна быть достаточно велика и, в частности,
превосходить T2 более чем в 10 раз.
109
( )
( ),
дБ
рад
/ 2
3 / 2
A
L
20
20
0
-20
Ψ( ),
0,1 1 10
B
Рис. 4.4. Логарифмические частотные характеристики
разомкнутой системы
Для иллюстрации найденных заключений на рис. 4.4 показаны логарифмические частотные характеристики – амплитудная L() и фазовая
разомкнутой системы при 1 c, T
2
0,5 c, T
10 c. В целях улучшения усло-
1
– для
вий устойчивости коэффициент усиления регулятора уменьшен до значения
k8. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе обозначены отрезками А и В.
Полученные аналитические результаты, хотя и являются приближенными,
могут служить отправными точками при выборе параметров системы в процессе моделирования по более точной нелинейной системе уравнений (4.18).
§ 4.3. Электрогидравлическая следящая система
Электрогидравлические следящие системы находят применение, например, в станках-автоматах, в роботах и манипуляторах и служат для автоматического перемещения по заданной программе рабочих органов: столов и
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]