Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
dt
В
R
( )
Q f P P P
P
2
К
1
Пневматическая
емкость
P
Рис. 4.9. К системе регулирования давления
Перечисленные устройства входят в состав объекта управления. Запишем
его уравнения. Уравнение материального баланса имеет вид
dm
)()(
tQtQ
, (4.59)
1
где m – масса воздуха в емкости на момент времени t, кг;
Q1(t) – массовый расход воздуха через дроссель, кг∙с-1;
Q(t) – массовый расход воздуха в магистрали, кг∙с-1.
Уравнение состояния газа в емкости
PV mRВT, (4.60)
где V – объем емкости, м3;
286,7 Дж∙кг-1∙K-1 – удельная газовая постоянная воздуха;
T – абсолютная температура воздуха, которая всюду далее считается пос-
тоянной и равной 288 ºК (15 ºС).
Предполагая, что используется дроссель турбулентного типа в докритическом режиме истечения, воспользуемся упрощенной формулой для массового
расхода воздуха через него1
2
1 К
R T
В
, (4.61)
где 0 < ε < 1 – коэффициент расхода, учитывающий снижение расхода в реаль-
ной конструкции дросселя;
f – площадь проходного сечения дросселя, м2.
Используя (4.59)–(4.61), получим уравнение относительно давления в емкости
1
Формула заимствована из книги Залманзон А. А. Проточные элементы пневматиче-
ских приборов контроля и управления. М.: Изд-во АН СССР, 1961.
121
dP f R T
R TP P P Q
dt V V
. (4.62)
МС
k
( )
P P
i
dt
2 ( )
B К
B
Помимо объекта система содержит датчик давления с измерительной
схемой и регулятор с исполнительным механизмом. Датчик представляет собой
сильфон, подвижное донышко которого перемещает движок потенциометра,
включенного в одно из плеч мостовой измерительной схемы, которая одновременно выполняет функции сравнения сигнала датчика и задающего сигнала.
Последний создается путем перемещения движка еще одного потенциометра
(задающего), включенного в другое плечо схемы. Если пренебречь инерционностью датчика, то при надлежащем выборе сопротивлений плеч мостовой схемы
и для небольших отклонений величин давлений от номинальных значений
напряжение UМС на ее выходе становится пропорциональным разности заданного и фактического давлений в емкости с коэффициентом
, В·Па-1:
UМС kМС (PЗ – P). (4.63)
Регулятор образован электронным усилителем с коэффициентом усиления
kУ. В состав исполнительного механизма входит двигатель постоянного тока с
постоянной времени TД и коэффициентом передачи kД, а также понижающий
редуктор с передаточным отношением i. Входным напряжением усилителя является UМС, а его выходное напряжение поступает на якорную обмотку двигателя. Воспользуемся уравнением (4.15), которое после изменения обозначений
и исключения с помощью (4.63) переменной UМС приобретает вид
k k k
У Д МС
З
. (4.64)
d
dt T T
1
Д Д
Уравнение редуктора запишем в виде
d 1
, (4.65)
где ω – угловая скорость двигателя, рад·с-1;
φ − угол поворота выходного вала редуктора, рад.
Вращение выходного вала редуктора вызывает перемещение управляющего элемента (заслонки) дросселя и изменение площади его проходного сечения, пропорциональное φ с коэффициентом kР:
122
f kРφ . (4.66)
Это соотношение позволяет исключить в дальнейшем величину f из уравнения
Н
i
x
Н
i
x
dt
X
(4.62).
В уравнениях (4.62), (4.64)–(4.66) могут быть функциями времени следующие переменные: P, PЗ, PК, Q, ω, φ, f. Остальные величины представляют собой постоянные коэффициенты. Уравнения допускают частичное
аналитическое исследование, подобное тому, что было сделано в § 4.2, а также
могут быть решены численными методами, как это обычно предусмотрено программами моделирования.
Некоторые из стандартных программ используют предварительный переход от описания системы в форме дифференциальных уравнений ее элементов к
описанию в так называемой нормальной форме или (второе название) в пространстве состояний. Применительно к линейным стационарным системам описание в пространстве состояний дается системой n линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
dx
dt
n
i
j
m
jij
k
11
(i 1, 2,…, n) (4.67)
ubxa
kik
и системой r линейных алгебраических уравнений
n
j
m
jsjs
k
11
(s 1, 2,…, r). (4.68)
udxcy
ksk
Уравнения (4.67) связывают между собой n переменных xi, характеризующих
состояние системы (их так и называют переменными состояния), и m входных
воздействий uk. Это основная часть описания, отражающая суть протекающих в
системе процессов. Переменные состояния и входные воздействия в общем
случае являются функциями времени xi(t) и uk(t). Уравнения (4.67) сопровожда-
ются начальными условиями – значениями
переменных состояния в началь-
ный момент времени t0 (обычно t0 0):
xi(t0)
(i 1, 2, …, n). (4.69)
Соотношения (4.68) устанавливают связь r выходных переменных ys(t) (тоже
функций времени) с переменными состояния и входными воздействиями. Коэффициенты a
, b
ij
, csj и dsk называются параметрами системы.
ik
Уравнения (4.67) и (4.68) часто записывают в матричной форме:
d
AX + BU, (4.70)
Y CX + DU. (4.71)
123
1
2
...nxxx
1
2
...muuu
1
2
...ryyy
Н1НН2
Н
...
n
x
x
x
1, 2,...,
j n
1, 2,...,
k
0 0 0 0 0 0
, , , , , ,
0 0 0
З З З К К К
, , ,
, , .
P P P P P P P P P
2 ( )
dt V
( 2 )
k P
Р К
k P
Q
V
( )
P P
Здесь X, U и Y – векторы (матрицы-столбцы) переменных состояния, входных
воздействий и выходных переменных. Начальные значения также образуют
матрицу-столбец XН.
X
,
U
,
Y
,
X . (4.72)
Элементами матрицы A размерности nn являются коэффициенты aij
(
), матрицы B размерности nm – коэффициенты bik (
m),
матрицы C размерности rn – коэффициенты csj и матрицы D размерности rm
– коэффициенты dsk.
Получим описание рассматриваемой системы в пространстве состояний.
Переменные P, PК и f входят в уравнение (4.62) нелинейно из-за операций извлечения квадратного корня и умножения. Поэтому предусмотрим линеаризацию этого уравнения, считая малыми отклонения всех переменных от их
номинальных значений
P P P Q
К З
отмеченных символом «0» ввер-
ху. Переменная f в этот перечень не включена, поскольку, как указано выше,
подлежит исключению.
Введем отклонения переменных от номинальных значений, отметив их
символом «∆» в обозначениях:
Q Q Q
0 0 0
Исключив f, проведя линеаризацию уравнения (4.62) (подробности опустим) и записывая все уравнения в отклонениях, получим
d P
0
0 0 0
R TP
B
0 0
2( )
P P
К
k R TP P P
Р В К
+
V
+
0
–
V
R T
Р
B
R T P P
0
B К
0 0 0
2 ( )
P P P
, (4.74)
k k k
У Д МС
З
, (4.75)
d
dt T T
1
Д Д
(4.73)
0 0
+
К
124
i
dt
d 1
Р 11
,
k a
0 0 0
2 ( )
k R TP P P
V
21
,
a
32
,
a
i
Р 12
,
k b
13
,
Q b
V
21
b
2
r
. (4.76)
В этой системе уравнений ∆P x1, ∆ω x2 и ∆φ x3 суть переменные
состояния. Здесь им присвоены дополнительные обозначения согласно символике, принятой в (4.70) при n 3.
Внешними воздействиями являются ∆PЗ u1, ∆PК u2 и ∆Q u3. Эти
величины здесь тоже получили дополнительные обозначения согласно уравнениям (4.67), (4.68) при m 3. Среди них воздействие u1 является управляющим,
а остальные два – возмущающими.
Выражения, стоящие при отклонениях в правых частях уравнений (4.74)–
(4.76), представляют собой параметры системы и тоже могут быть обозначены
согласно принятой в уравнениях (4.67) символике, а именно
0 0
( 2 )
V
R T P P
0
B К
2 ( )
P P P
0 0 0
К
Р В К
k k k
У Д МС
T
Д
a13, (4.77)
1
и
B
0 0
P P
К
.
0
V
R T
B
(4.78)
k k k
У Д МС
T
Д
R TP
0
2( )
Остальные параметры в построенной по (4.74)–(4.76) системе (4.70) – нулевые.
Каковы коэффициенты уравнений (4.71) для рассматриваемой системы,
зависит от выбора выходных переменных. Возьмем, например, две переменные
(
): y1 – отклонение расхода ∆Q и y2 – отклонение регулируемого давления
∆P. Тогда d13 = 1, c21 = 1, а остальные параметры в (4.71) – нулевые.
Начальные условия в (4.72) можно выбрать заранее или изменять по мере
надобности в процессе моделирования.
125
Посмотрим теперь, как может выглядеть процедура моделирования рас-
Д
T
Д
k
МС
k
У
k
Р
k
0, 6
0
P
0
З
P
0
К
P
2 1 -1 1 3 1 2 1
Па рад с ; 9 10 Па c ; 10 c ;
2 1 5 1 2 3 1 2
м с ; 9 10 Па с .
1; 1,
З
u P
К
u P
u Q
50 c
t
1
c
сматриваемой системы на основе программы Simulink, входящей в состав пакета Matlab. Для этого зададимся конкретными числовыми значениями
0,1с;
0,9 В-1∙рад∙с-1;
10-4 В∙Па-1;
10;
1,3∙10-6 м2∙рад-1;
i 50;
0
ω
0; φ
0
15,1 рад.
; V0,1 м3;
1,5∙105 Па;
2∙105 Па; Q
0
0,005 кг∙с-1;
После их подстановки в (4.77), (4.78) получим
a a a a
11 13 21 22
a b b b
2,76 10 c ; 274
0,02; 4,14 10 c ; 8,26 10
32 12 13 21
Эти параметры, ранее введенные
d c
13 21
а также остальные (нуле-
вые) параметры используются при настройке блок-схемы программы (рис.
4.10). Ее основу составляет блок State-Space c векторными входом U и выходом
Y, в котором сосредоточена почти вся информация о системе: матрицы A, B, C
и D. Предусмотрены три блока формирования внешних воздействий. Воздействия
1
нулевые константы. Предполагается, что отклонение
нала происходит скачком в момент
и
2
считаются отсутствующими и воспроизводятся как
3
до значения 0,0005 кг
расхода от номи-
, для чего
применяется блок Step. Конечно, можно использовать и иные предположения
относи-тельно воздействий с применением других блоков.
Рис. 4.10. Блок-схема модели регулятора давления
126
Предусмотрены блоки Mux для формирования векторного входного сигнала блока State-Space и Demux для выделения компонентов y1 и y2 в его выходном сигнале. Эти компоненты подаются на входы осциллографа с двумя
координатными системами.
а б
Рис. 4.11. Окна редактирования блоков Step (а) и State-Space (б)
Рис. 4.12. Возмущающее воздействие и переходный процесс
127
На рис. 4.11 показаны окна редактировании блоков Step и State-Space в
соответствии с перечисленными выше числовыми значениями параметров при
нулевых начальных условиях. На рис. 4.12 приведены графики отклонения от
номинала расхода воздуха в магистрали как возмущающего воздействия и соответствующей реакции – отклонения регулируемого давления (переходный процесс) для времени моделирования 500 с.
ГЛАВА 5. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ
§ 5.1. Общая характеристика моделей
В составе любого производства можно выделить две взаимосвязанные системы: материально-техническую и информационно-управляющую. Назначение
первой из них непосредственная обработка сырья и полуфабрикатов и выпуск
продукции. Назначение второй обеспечение связи между элементами материально-технической системы, а также между производством в целом и структурами, внешними по отношению к нему (поставщики, заказчики,
контролирующие органы и т. п.).
Проблемы управления могут возникать в рамках обеих систем. Системы
автоматического регулирования, безусловно, относятся к материально-технической сфере, равно как и другие рассмотренные выше модели процессов и
устройств, являющихся потенциальными объектами управления. Однако, говоря о процессах управления производством, обычно имеют в виду только вторую
систему информационно-управляющую (что нашло отражение и в ее наименовании). В этой области задачи приобретают ярко выраженную экономическую направленность.
Управление производством как обобщающее понятие может включать в
себя организацию производства, планирование, принятие решений с их реализацией и контролем. Все эти компоненты имеют конечной целью достижение
максимальной экономической эффективности производства, а в частных случаях сбережение тех или иных ресурсов (сырья, энергии, времени и т. п.). Поэтому задачи управления производством формулируются преимущественно как
задачи оптимизации выбора решений и управляющих воздействий, обеспечивающих экстремум (максимум или минимум зависит от сути процесса) некоторого показателя (критерия оптимизации) при соблюдении условий
физического, технического, экономического или организационного характера,
ограничивающих этот выбор. Этим же целям обычно служат и сами модели,
призванные адекватно отражать связь между управляющими воздействиями,
возможными ограничениями, помехами и критерием оптимизации.
Вопрос о выборе критерия является одним из основных при постановке
задач оптимизации. С одной стороны, этот выбор должен соответствовать практическим требованиям, касающимся наилучшего способа управления. С другой
стороны, нужна такая математическая формулировка критерия, которая позволяет получить решение в обозримом виде и за приемлемое время. Последнее
128
особенно важно, если управление ведется в режиме реального времени, когда
X
X
продолжительность принятия решений диктуется темпом протекания производственного процесса.
Вид критерия, тип условий-ограничений и характер возмущающих воздействий составляют основу для классификации математических моделей. Всеобъемлющей и общепринятой схемы классификации пока не существует,
поэтому остановимся лишь на некоторых категориях моделей. Задачи (и модели) управления подразделяются на статические и динамические. Первые формулируются так, что требуют однократного принятия решения. Это, впрочем,
не исключает многократного (возможно, периодического) повторения единожды принятого решения всякий раз, когда в реальных условиях складываются необходимые предпосылки.
Динамические модели функционируют в изменяющихся обстоятельствах,
что вызывает необходимость корректировать с течением времени и соответствующие управленческие решения. Такие модели обнаруживают как внешние,
так и принципиальные признаки сходства с техническими системами автоматического управления. К числу принципиальных моментов относится, в частности, использование концепции обратной связи.
В зависимости от того, учитывается случайный характер воздействий или
случайные факторы считаются отсутствующими, различают вероятностные
(стохастические) и детерминированные модели. В последующих параграфах
этой главы приведены почти исключительно примеры детерминированных статических моделей.
Среди моделей этой категории занимают важное место и наиболее изучены те, что соответствуют постановке задачи математического программирования1: найти вектор X с составляющими x1, x2, ... xn, обеспечивающий экстремум
функции F(X)
F(X) extr (5.1)
при выполнении m ограничений типа равенств или неравенств, наложенных на
некоторые функции
i
(i1, 2, ... , m)
i
0. (5.2)
Знак должен быть заменен одним из знаков ,
или . Кроме условий
типа (5.2) могут быть наложены и иные требования, например, целочисленности всех или некоторых составляющих вектора X.
1
Термин «программирование» не имеет здесь отношения к разработке программ для
ЭВМ. В русскую научную литературу он перешел непосредственно из англоязычных источников. Возможно, лучшей заменой ему было бы «планирование».
129
Методы решения задач математического программирования (и соответствующие операции с моделью) обычно сводятся к последовательным приближениям к результату. Их можно квалифицировать также как методы поиска в
пространстве переменных x1, x2, ... xn. Часто поиск сводится к перебору и выделению наилучшего среди конечного (возможно, очень большого) числа вариантов. Такая схема характерна не только для математического программирования,
но и для других задач исследования операций уже упоминавшегося во введении раздела прикладной математики, посвященного решению задач оптимизации.
Перебор вариантов задача обычно легко формализуемая и нуждающаяся лишь в простом программном обеспечении для ЭВМ, а потому «благодарная» для моделирования. Однако полный перебор вариантов даже в несложных
задачах порой требует числа вычислительных операций, для которого эпитет
«астрономическое» покажется слишком слабым1. Тем не менее, вычислительный эксперимент на моделях, охватывающий даже небольшую часть вариантов,
может давать полезную информацию в процессе поиска.
Большинство методов оптимизации для моделей, входящих в сферу исследования операций, следует идее направленного поиска, когда отбрасываются заведомо бесперспективные варианты и сохраняются «подозрительные на
оптимальность». Необходимое для поиска время при этом резко сокращается.
Среди этих методов известны метод ветвей и границ, метод отсечений, метод
динамического программирования, симплекс-метод для задач линейного программирования и ряд других. Их описание можно найти, например, в [2], [5].
Заметим, что существуют и задачи управления, которым соответствуют
модели более «классического» типа, например, описываемые дифференциальными уравнениями. Одна из таких моделей рассмотрена далее в числе других
примеров.
§ 5.2. Управление запасами
Управление запасами одна из первых проблем, породивших в дальнейшем целый ряд математических моделей в управлении производством. Это
вполне объяснимо, поскольку запасы сырья, полуфабрикатов и готовой продукции являются существенными элементами любого производственного процесса,
а их пополнение, хранение и использование влияет на экономические показатели предприятия. Например, в прядильном производстве при его нормальном
функционировании всегда имеются запасы хлопка на складах сырья, запасы
ленты на переходах между чесальными, ленточными, ровничными машинами и
т. п. Существуют сферы деятельности, скажем, оптовая торговля, для которых
управление запасами первоочередная задача.
1
Оценка количества вычислительных операций и времени вычислений для одной из
несложных задач приведена ниже в § 5.4.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]