Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
( ) ( )
n y dyf l dl
( ) ( )
f l dl n y dy
2
§ 2.6. Модель неподвижной волокнистой ленты (уравнения)
На рис. 2.9 показаны три поперечных сечения ленты с координатами x, y и
y + dy. Определению подлежит число волокон m(x) в сечении x. Число передних
концов, заключенных в интервале от y до (y + dy), согласно (2.66) равно n(y)dy.
Каждый из концов принадлежит волокну определенной длины. Выделим среди
них пока только те, у которых длина лежит в интервале от l до (l + dl). Доля таких волокон составляет согласно (2.68) f(l)dl, а произведение
(2.77)
равно числу волокон, имеющих длину от l до (l+dl) и передние концы, расположенные в интервале от у до (у+dу).
1
1
3
0 y y+dy x
Рис. 2.9. К модели волокнистой ленты
Среди волокон этой категории лишь часть окажется в сечении x. Такие
волокна обозначены на рис. 2.9 цифрой 1. Их передние концы располагаются
левее сечения x на расстояниях, не превосходящих l. Волокна, передние концы
которых расположены правее координаты x, т. е. для которых y > x (одно из них
обозначено цифрой 2), а также передние концы которых расположены левее x
далее, чем на длину волокна l, т. е. y < x– l (цифра 3), в сечение x не попадут.
Некоторые поправки в эти рассуждения может внести разница между y и (y+dy),
между l и (l+dl), однако при бесконечно малых dy и dl эти поправки исчезают.
Таким образом, условием попадания в сечение х волокон рассматриваемой категории является двойное неравенство
x – l y x. (2.78)
Интегрируя выражение (2.77) по всем значениям y, удовлетворяющим условию
(2.78), получим
x
x l
-
. (2.79)
61
Это – число волокон, имеющих длину от l до (l+dl) и попадающих в сечение x
( ) ( ) ( )
m x f l dl n y dy
( ) ( ) ( )
m x f l dl n x dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
m x f l dl n x dx n x lf l dl
теперь уже безотносительно к конкретному расположению их передних концов.
Интегрируя (2.79) по всем возможным длинам волокон, т. е. в общем случае по l от 0 до бесконечности, найдем общее, не связанное с ограничением на
длину количество волокон в сечении x, т. е. m(x):
x
. (2.80)
x l
0 -
Эта формула и отражает искомую зависимость между показателями ленты – ее
модель. В случае сложных зависимостей n(x) и f(l) интегрирование в (2.81)
можно выполнять численными методами с использованием ЭВМ.
При некоторых дополнительных предложениях формула (2.80) существенно упрощается. Полагая, что волокна ограничены по длине, на основании
(2.74) получим
lm x
0 -
. (2.81)
x l
Ограниченность длины означает, что и во внутреннем интеграле формулы
(2.81) ширина области интегрирования не более lm. Обычно рассматриваются
участки ленты порядка десятков – сотен метров, и диапазон изменения x весьма
велик по сравнению с lm , составляющей несколько сантиметров. Поэтому внутри интервала [x – l, x] плотность концов можно считать примерно постоянной и
равной своему значению на верхнем пределе n(x). Вынося эту величину за знак
интеграла, найдем
lm lm
0 0-
x l
. (2.82)
Отсюда на основании (2.76)
m(x) n(x) lср. (2.83)
Приближенная формула (2.83) значительно проще общей (2.80).
Рассмотрим теперь пример, позволяющий, в частности, получить предтавление о том, каковы погрешности, возникающие при использовании (2.83).
62
§ 2.7. Пример модели ленты
, >0;
0, 0.
x
, ;
( )
, .
vydy l x
vydy l x
( )
n x
( )
m x
0
l
2
0
2
vl
Пусть плотность концов нарастает от начала ленты (при x0) линейно в
зависимости от x с коэффициентом пропорциональности , м-2 (рис. 2.10, а)
vx
( )
n x
x
(2.84)
0
0
x
а б
Рис. 2.10. Графики линейной зависимости n(x) (a)
и соответствующей m(x) (б)
При этом толщина ленты неограниченно увеличивается с ростом x. Это не характерно для реальных лент, но допустимо в рамках демонстрационного примера.
Рассмотрим внутренний интеграл в точной формуле (2.80) после подстановки в него (2.84)
x
(2.85)
x
n y dy
-
x l
-
x l
x
0
Разные выражения для интеграла получаются из-за того, что n(x) (а значит, и
n(y)) описывается разными аналитическими формулами при положительных и
отрицательных значениях аргумента. Если l > x, то нижний предел интегрирования слева в формуле (2.85) отрицателен, а n(y)0 в части области интегрирования от (x – l) до 0. Поэтому интегрировать можно от 0 до x, что и отражено
нижним выражением справа в (2.85).
Продолжая интегрирование, получим
63
2 2 2 2
– – , ;
vxl vxl l x
( , ]
x
( ) ( ) – + ( )
m x f l vxl dl f l dl
( ) ( ) – + ( )
m x f l vxl dl f l dl
( ) ( ) – ( ) ( ) – ( )
m x vx lf l dl l f l dl vx lf l dl l f l dl
( ) ( )
m x vxl l f l dl
( )
f l dl
vx vx vl vl
x
( )
n y dy
-
x l
2 2 2 2
2
vx
, .
2
l x
(2.86)
После разбиения области интегрирования по l в формуле (2.80) на части [0, x],
и подстановки выражений (2.86) формула для m(x) примет вид
x
0
2 2
vl vx
2 2
. (2.87)
x
Верхний предел во втором слагаемом можно заменить на lm , учитывая,
что практически всегда соблюдается свойство (2.74). Тогда
x lm
0
2 2
vl vx
2 2
. (2.88)
x
Эта формула нужна для описания только начальной части ленты – при x < lm .
При x l
второй интеграл в формуле (2.88) обращается в 0, и m(x) при-
m
обретает вид
x x lm lm
0 0 0 0
v v
2 2
2 2
, (2.89)
или согласно (2.76)
lm
v
cp
2
2
0
. (2.90)
Первое слагаемое в (2.90) – это выражение, которое получится по приближенной формуле (2.83) после подстановки в нее (2.84).
По сравнению с приближенной точная формула вносит две поправки. Одна из них существует только при малых x и, как можно показать с помощью
формулы (2.88), имеет вид
v
2
lm
( )
x
l x
2
. (2.91)
Ей можно дать название «начальный эффект» из-за того, что она действует
только в начале ленты на отрезке не более lm .
64
Вторая поправка существует для всех x и составляет постоянную величи-
( )
l f l dl
( ) ( – ) + ( – )
m x l l vxl dl l l dl
2
2
vx
m x vxl l l l dl
2
0
2
vl
0
m x vxl
/ 2
ну
lm
v
2
2
0
. (2.92)
Более подробно разницу между точной и приближенной формулами можно
описать, только имея зависимость f(l).
Пусть все волокна имеют одинаковую длину l0, т. е. f(l) описывается формулой (2.72), а l
ср
l
l0. Тогда при x < l0 cогласно (2.88)
m
l
02 2
. (2.93)
x
x
0
0 0
v l vx
2 2
Первый интеграл в правой части равен 0 в силу формулы (А.5) для -функции, а
второй 1 в силу (А.4) (см. приложение А).
Итак,
( )
m x при x < l
. (2.94)
0
При x l
в соответствии с (2.90)
0
l
0
( ) ( – )
0 0
2
0
v
2
, (2.95)
причем интеграл здесь равен l
2
согласно (А.5). Таким образом,
0
( )
m x vxl при x
0
l0 . (2.96)
На рис. 2.10, б сплошной линией показан график зависимости, даваемой
формулами (2.94) и (2.96), а штрихпунктирной – график зависимости
( )
согласно приближенной формуле (2.83).
Приближенная формула дает значения m(x), завышенные по сравнению с
точными на величину, не превосходящую
2
vl . При этом относительная по-
0
грешность с ростом x неограниченно убывает. Этот пример позволяет надеяться
на успех применения приближенной формулы и в других случаях.
65
§ 2.8. Модель ленты в изображениях
M p f l dl L n y dy n y dy
( ) – ( ) ( ) ( – ) ( ) – ( )
L n y dy n y dy L n x L n x l N p e N p
M p f l dl f l e dl
Мощный аппарат преобразования Лапласа позволяет достигнуть существенных упрощений при многих операциях с моделью ленты. В дальнейшем
будем придерживаться следующих правил: показатели ленты m(x), n(x), f(l) будем называть согласно общепринятой терминологии оригиналами1, а результат
их преобразований Лапласа – изображениями и обозначать соответствующими
прописными буквами M(p), N(p), F(p). Буквой p традиционно обозначим переменную преобразования Лапласа.
Необходимые сведения из теории преобразования Лапласа приведены в
приложении Б, на которое при дальнейшем изложении будут делаться ссылки.
Применим к левой и правой частям основной зависимости (2.80) преобразование Лапласа (Б.1)
( ) ( ) ( ) + ( )
0 - 0
0
x l
x
. (2.97)
Поскольку переменной оригинала в (2.80) является x, преобразование Лапласа в
правой части применено только ко второму интегралу. При этом промежуток
интегрирования разбит на два участка для удобства использования в дальнейшем теорем из теории преобразования Лапласа.
Рассматривая отдельно выражение под символом L в (2.97), получим согласно (Б.10)
x x l
0 0
-
1 1 1 1
-
lp
. (2.98)
p p p p
Последнее равенство следует из (Б.6). Заметим, что в преобразованиях фактически использовано свойство (Б.5). В дальнейшем будем применять его без ссылок.
Подстановка выражения (2.98) в (2.97) дает
( ) ( ) ( )
p p
0 0
N p N p
-
lp
. (2.99)
( ) ( )
Первый интеграл здесь равен 1 в силу (2.69), а второй представляет собой преобразование Лапласа функции f(l), т. е. F(p).
Окончательно имеем
1
Термин «оригинал», фигурирующий в теории преобразования Лапласа, разумеется,
имеет другой смысл, нежели тот, что придается ему при сопоставлении с «моделью».
66
( ) 1 – ( )
M p F p
( )
( )nmM p
N p
1 – ( )
F p
p
( )
N p
. (2.100)
p
Эта формула устанавливает связь между изображениями функций m(x), n(x), f(l)
и может быть названа моделью ленты в изображениях.
В теории автоматического управления, а также при изучении других динамических систем успешно используют понятие передаточной функции. Это
отношение изображения выходной переменной к изображению входной переменной динамической системы.
Воспользуемся и здесь этим понятием, хотя у ленты нет «входа» и «выхода». Однако условно можно считать n(x) входным, а m(x) – выходным показателями. Тогда передаточная функция Wnm ленты будет представлять собой
отношение M(p) к N(p):
( )
W p
(2.101)
и согласно (2.100)
( )
W p
nm
. (2.102)
Отсюда ясно, что передаточная функция не зависит от конкретного вида
M(p) или N(p) (а значит, и от m(x) или n(x)) и определяется только характером
распределения волокон по длине через изображение F(p) функции f(l), фигурирующее в (2.102).
§ 2.9. Пример модели ленты в изображениях
Эффективность методов преобразования Лапласа позволяет рассматривать более сложные примеры, чем в § 2.7, заодно приближая описание n(x) к
реальности.
На рис. 2.11, а показан график зависимости n(x), когда плотность передних концов сначала линейно нарастает, а после достижения координатой x значения X сохраняет постоянную величину.
67
( ) , 0 ;
, > .
n x vx x X
( )
f l
0
( ).
l l
1 – e
Xp
0
( ) e
l p
- - -( + )
( ) (1 e )(1 e ) e e e .
l p l p l X p
( )
n x
( )
m x
0
l
X
2
0
2
vl
0
Xl
0 X
0
X X+l0
а б
Рис. 2.11. Графики кусочно-линейной зависимости n(x) (a)
и соответствующей m(x) (б)
Аналитическое описание n(x) имеет вид
0, <0;
x
vX x X
(2.103)
Относительно f(l) сохраним предположение предыдущего примера:
При этом будем считать, что l0 < X.
Из таблицы преобразований Лапласа приложения Б (пункты 7 и 1) находим
-
( )
N p v
, (2.104)
2
p
F p
. (2.105)
Подставляя (2.104) и (2.105) в (2.100), получим
M p v
68
3 3 3 3 3
p p p p p
1
- -
Xp Xp
0 0 0
v v v v
(2.106)
нала
0
, + .
x X l
0 0
( ) – , < + ;
vx l X X x X l
Используя упомянутую таблицу и теорему смещения, найдем для ориги-
0, < ;
x l
( )
m x
2
vx
2
0
( – )
x l
v l x X
( – ) ( – )
v x l v x X
2
0
, < ;
2
0
2 2
0
, < + ;
X x X l
2 2
( – ) ( – ) ( – – )
v x l v x X v x X
2 2 2
0
2 2 2
(2.107)
0
l
0
После преобразований в (2.107) m(x) запишется в виде
2
vx
, < ;
x l
0
2
vl
0
, < ;
2
2 2 2
vx v l X
( )
0
2 2
, + .
(2.108)
( )
m x
2
vxl l x X
0 0
vl X x X l
0 0
Соответствующий график показан на рис. 2.11, б сплошной линией. Штрих-
пунктирной линией показан график, изображающий зависимость m(x), получаемую для этого случая по формуле (2.83). Эти графики частично повторяют показанную на рис. 2.10, б картину, а затем сближаются и, начиная с x = X+l0,
совпадают. Таким образом, данный пример тоже подтверждает предположение
о возможности использования приближенной формулы (2.83).
§ 2.10. Модель движущейся ленты
Целесообразность рассмотрения движущейся ленты определяется тем,
что технологические операции над ней осуществляются при ее непрерывном
перемещении. Выделим неподвижную плоскость А, перпендикулярную направлению движения ленты, и будем рассматривать число волокон mA(t) в сечении
ленты, находящемся в этой плоскости в момент t. Индекс «A» подчеркивает, что
показатель mA(t) в общем случае не совпадает с ранее введенным m(x), поскольку у них разные аргументы. Для конкретного выбора плоскости А могут существовать какие-то практические соображения, например, она может быть
привязана к датчику линейной плотности, но с точки зрения математической
модели этот выбор безразличен.
69
На рис. 2.12 изображена плоскость А, лента и связанная с ней ось x. Ши-
( ) ( ) ( )
m Vt f l dl n y dy
0
x
V
рокой стрелкой показано направление движения ленты с постоянной скоростью
V.
А
Рис. 2.12. К модели движущейся ленты
Введем плотность концов nА(t), вновь подчеркнув в обозначении отличие
от n(x). Отсчет времени для mА и nА будем начинать с того момента, когда начало ленты находится в плоскости А, т. е.
t0 при x0. (2.109)
Как и ранее, введем f(l) – плотность распределения волокон по длине.
Этот показатель относится к составу ленты в целом, не зависит от x и от t, а потому не нуждается в изменении обозначения.
Вследствие предполагаемого постоянства скорости V и согласно (2.109)
между переменными x и t существует очевидная связь
x Vt, (2.110)
которая позволяет указать и связь между m и mА, n и nА:
mА(t) m(Vt), nА(t) n(Vt). (2.111)
Воспользуемся теперь формулой (2.80), подставив в нее x Vt:
Vt
. (2.112)
Vt l
0 -
Проведем в (2.112) замену переменной интегрирования y на согласно
формулам
yV, dyVd, (2.113)
в результате чего получим
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]