Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
ния. Его возможности чрезвычайно расширились. Доступными для исследования стали объекты, описываемые обширными системами алгебраических уравнений, обыкновенными дифференциальными уравнениями высокого порядка,
уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями. Стал возможным анализ широкого круга случайных явлений.
Заметно изменились и проблемы, сопутствующие процессу моделирова-
ния. При физическом моделировании и применении моделей прямой аналогии
главными задачами были подбор подходящих моделей и проведение на них
точных экспериментов. Использование АВМ требовало постановки задачи моделирования в форме задачи Коши. При моделировании на ЭЦВМ первостепенную важность приобрели проблемы адекватного математического описания
оригинала, выбора численных методов решения, дающих необходимую точность и быстродействие, а также создания соответствующего программного
обеспечения.
Роль численных методов при моделировании на ЭЦВМ настолько значи-
тельна, что порой трудно провести четкую границу между моделированием и
вычислительной процедурой, реализующей тот или иной метод численного
анализа. По-видимому, различия все-таки существуют.
Часть из них не носит принципиального характера и возникает вследствие
того, что моделирование обычно ориентировано на конкретный оригинал, а вычислительная процедура – на абстрактный математический объект, такой, например, как дифференциальное уравнение. В модели ввод исходных данных и
представление результатов организуют так, чтобы обеспечить удобство и
наглядность сопоставления с оригиналом. В результате модель в демонстрационном плане приобретает черты экспериментальной установки. Операциям с
такой моделью хорошо соответствует встречающийся в научной лексике термин
«вычислительный эксперимент». Как и в случае физического эксперимента, результаты вычислительного эксперимента (или серии экспериментов) обычно
носят частный характер и требуют последующего обобщения.
Наиболее существенное отличие от вычислительных процедур, реализу-
ющих численные методы анализа, обнаруживают так называемые имитацион-
ные модели1. Они непосредственно воспроизводят процесс функционирования
оригинала в соответствии с простыми алгоритмами, не использующими традиционных схем численных методов, таких как решение алгебраических и дифференциальных уравнений, приближенное интегрирование и т. п. К их числу
относятся многие производственно-экономические модели, модели систем массового обслуживания, модели игровых (конфликтных) ситуаций. В наиболее
выраженной и завершенной форме такие модели встречаются в области стати-
1
Название трудно признать удачным, так как понятия «имитация» и «моделирова-
ние» очень близки по смыслу.
11
стического моделирования, явно учитывающего случайный характер происходящих в оригинале явлений1.
Конечной целью моделирования часто бывает поиск оптимальных реше-
ний (выбор наилучших параметров, конструкций, условий для проведения технологических процессов и т. п.). Поэтому в тесной связи с задачами моделирования наряду с численными методами анализа находятся и методы численного решения проблем оптимизации, к которым относятся задачи математического программирования, теории расписаний, оптимального управления и другие,
обычно объединяемые термином «исследование операций» [2].
Область приложений методов математического моделирования чрезвы-
чайно широка. В первую очередь – это, безусловно, естественные науки и инженерно-технические исследования. В естественно-научной области известны,
например, такие крупномасштабные разработки, как математическая реставрация Тунгусского феномена или модель климатических последствий ядерных
бомбардировок («Ядерная зима») [7]. В то же время существует много примеров полезных математических моделей и в таких сферах человеческой деятельности, как экономика, социология, военная наука и даже исторические изыскания.
В настоящем пособии рассмотрены модели только объектов производствен-
ного характера. В качестве технических средств моделирования предполагаются
исключительно компьютеры, что и предопределило его название. Основное содержание пособия составляет серия примеров различного физического содержания и прикладной направленности, более или менее тесно связанных с
технологическими или экономическими процессами. Некоторые из них относятся к легкой промышленности.
Главной целью анализа примеров является выявление общих принципов
построения и типов получающихся математических моделей, понимаемых в узком смысле (как математические описания). Часть примеров сопровождаются
аналитическими решениями соответствующих уравнений, поскольку аналитические выводы всегда имеют большое значение для частичного предсказания и
контроля результатов, получаемых на моделях. Они способствуют и избежанию
ошибок при моделировании. По отношению к ряду примеров обсуждаются перспективы применения численных методов и компьютерных программ. Устройства и процессы в некоторых примерах комментируются как объекты
управления. Моделям технических систем управления и управления производством посвящены и специальные главы. Отдельные примеры непосредственно
связаны с проблемами оптимизации.
Единые обозначения в пособии не используются. Символы сохраняют
свой смысл в пределах одной главы, а иногда и параграфа. Из контекста этот
1
В связи с затронутыми вопросами терминологии целесообразно упомянуть англо-
язычные эквиваленты термина «моделирование»; их два. Modelling (американский вариант –
modeling) означает разработку модели. Simulation (или simulating) означает ее использование, работу с ней.
12
смысл должен быть ясен. Предполагается использование единиц международной системы СИ. В случае исключений даны пояснения. Нумерация формул и
рисунков – сквозная внутри каждой главы.
13
ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
3
§ 1.1. Теплообменник смешения
Рассматриваемый теплообменник представляет собой теплоизолирован-
ную от внешней среды емкость 1, к которой подведены две трубы 2, 3 для подачи смешиваемых жидкостей (теплоносителей). Имеется труба 4 для отвода
смеси к потребителю (рис. 1.1).
Q2, T
Q1, T
1
2
2
1
V, T
4
Q,T
Рис. 1.1. Теплообменник смешения
Введем обозначения:
Q1(t), Q2(t), Q(t) – объемный расход теплоносителей на входах и их смеси
на выходе, м3·с-1;
T1(t), T2(t), T(t) – их температуры, K;
V(t) – объем смеси в теплообменнике, м3.
Все эти показатели будем считать функциями времени t, что и отражено в
обозначениях выше.
Поставим задачу получить математическое описание теплообменника в
форме уравнений, связывающих введенные показатели. При этом основной целью будем считать установление зависимости температуры Т смеси на выходе
от Q1, Q2, Q, Т1 и Т2. Такое описание может служить моделью смесителя как
объекта управления, если, например, требуется поддерживать независимо от
потребления Q заданную температуру на выходе посредством изменения Q1 и
Q2 (а возможно, Т1 и Т2) как управляющих воздействий. При этом объем V(t)
может не представлять непосредственного интереса, но, как будет видно из
дальнейшего, эта величина оказывается тесно связанной с остальными и подобно Т до решения уравнений остается неизвестной при известных остальных показателях.
Вообще говоря, в случае двух различных теплоносителей с плотностями
,
, кг·м-3, и удельными теплоемкостями с1, с2, Дж·кг-1·К-1, соответствующие
1
2
показатели смеси тоже вошли бы в число неизвестных. Однако в целях упроще-
14
ния задачи предположим, что
dV
c V dV T dT cVT cQ T dt cQ T dt cQTdt
cdt
.
T V Q T Q T QT
dt dt
dt
1
и с
2
с
1
с, чем обеспечивается сохра-
2
нение этих значений и для смеси1.
Еще одно упрощающее предположение касается характера процесса сме-
шивания: смеситель будем считать идеальным, вследствие чего во всех точках
внутри смесителя (и на его выходе) параметры смеси и в том числе температура
одинаковы.
При этих предположениях для получения уравнений достаточно исполь-
зовать только условия баланса количества теплоты и объема теплоносителей
(при постоянной плотности эквивалентное условию баланса масс). Отметим,
что вывод уравнений на основе баланса энергии, вещества и прочих «законов
сохранения» составляет один из основных подходов при получении математических моделей (в узком смысле). Встретится он и в последующих примерах.
Рассмотрим малый интервал времени продолжительности dt, следующий
непосредственно за моментом t, и введем dT – малое приращение температуры
смеси за время dt, а также
– малое приращение ее объема. Уравнение ба-
ланса количества теплоты в смесителе примет вид
( )( )
1 1 2 2
. (1.1)
Его левая часть представляет собой количество теплоты, приобретенное (может
быть, потерянное) смесью за время dt, а правая – количество теплоты, внесенное поступающими в смеситель потоками теплоносителя за вычетом количества
теплоты, унесенного вследствие отбора смеси потребителем. Пренебрегая произведением малых величин, разделив обе части уравнения на
и выполнив
сокращение, получим
dV dT
(1.2)
1 1 2 2
Условие баланса объемов приводит к уравнению
dV Q1dt + Q2dt – Qdt, (1.3)
в правой части которого стоит алгебраическая сумма объемов, поступивших в
смеситель и отобранных из него.
Из этого уравнения следует
dV
Q1 + Q2 Q. (1.4)
1
Для этого необходима еще и независимость плотности и теплоемкости от темпера-
туры, что обычно и имеет место при небольшом диапазоне изменения последней.
15
Объединяя уравнения (1.2) и (1.4) в систему и восстанавливая в обозначе-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
V t Q t Q t T t Q t T t Q t T t
dt
ниях аргумент t, найдем
( )
dT t
(1.5)
1 2 1 1 2 2
dV tdt( )
Q1(t) + Q2(t) – Q(t). (1.6)
Это система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка относительно неизвестных T(t) и V(t), первое из которых нелинейно изза наличия множителя V у производной T. Впрочем, второе уравнение может
быть решено независимо от первого, после чего первое уравнение будет содержать V(t) уже как известную функцию времени и может рассматриваться как
линейное неоднородное уравнение с переменными коэффициентами относительно T(t)1.
Для получения однозначного решения системы (1.5), (1.6) необходимо
дополнить ее начальными условиями значениями температуры T
и объема V0
0
в некоторый момент времени, например, t0:
T(0) T0; V(0) V0. (1.7)
Система (1.5), (1.6) с условиями (1.7) и представляет собой математиче-
скую модель смесителя (в узком смысле). Как известно, часто встречающуюся
задачу интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений с
начальными условиями называют задачей Коши. Отметим это, имея в виду
проблемы классификации моделей в дальнейшем.
Отметим также, что для решения этой задачи известен широкий набор
численных методов, в частности, метод Рунге-Кутта и его модификации.
§ 1.2. Нестационарный процесс теплопроводности
Рассмотрим этот процесс применительно к объекту, представляющему
собой толстую стенку (или слой материала), имеющую толщину l и неограниченные размеры в остальных двух направлениях (рис. 1.2). Термин «толстая»
применен здесь для того, чтобы подчеркнуть, что толщина стенки достаточно
велика, чтобы зависимость температуры T от координаты x (см. рис. 1.2) пред-
1
Уравнение (1.5) сохраняется при выборе температурной шкалы с любым началом
отсчета (Кельвина, Цельсия), поскольку наряду с производной температуры в нем фигурируют только разности температур. Это остоятельство характерно и для других тепловых
объектов.
16
ставляла интерес для исследования. Как видно из заголовка, зависимость тем-
dx S
пературы от времени t также будет учтена.
В качестве производственного прототипа такого объекта может выступать
стенка экструдера, топки, сушильной камеры и т. п.
l x 0 x x+dx
a б в
Рис. 1.2. Схема моделируемого объекта (а); стержень, «вырезанный»
из стенки (б); параллелепипед элементарного объема (в)
В направлениях, перпендикулярных оси x, температуру будем считать
неизменной, что естественно согласуется с предположением о неограниченных
размерах стенки в этих направлениях. Таким образом, температура рассматривается как функция двух переменных T(x, t).
Заметим, что такая задача математически эквивалентна задаче о распре-
делении температуры вдоль тонкого стержня длины l, теплоизолированного по
всей боковой поверхности (его можно «вырезать» в любом месте параллельно
оси x, как на рис. 1.2, б). Именно в такой трактовке можно встретить в литературе решение рассматриваемой задачи.
Выделим в теле стенки параллелепипед малой толщины dx, ограниченный
перпендикулярными оси x сечениями с координатами x и x+dx, а также двумя
парами параллельных друг другу и оси x плоскостей. Плоскости одной пары
перпендикулярны плоскостям другой. Аксонометрическое изображение показано на рис. 1.2, в.
В силу предполагаемой неизменности температуры в направлениях, пер-
пендикулярных оси x, расположение параллелепипеда относительно оси x (как
и самой оси x) в этих направлениях безразлично. Например, это расположение
может отвечать показанному на рис. 1.2, а. Как будет видно из ближайшего
рассмотрения, для окончательных выводов не играет роли также форма и конкретная величина площади S боковых граней параллелепипеда.
Составим уравнение баланса количества теплоты для этого параллелепи-
педа, имеющего объем Sdx. Единственный механизм переноса тепла в рассматриваемом случае – это теплопроводность через грани с координатами x и x+dx.
17
Через остальные грани тепло не распространяется вследствие неизменности
dx
dt
1
c
( + ) ( )
H x dx H x
dx
dT dH
dt c dx
( , ) ( , )
T x t k T x t
температуры в соответствующих направлениях. Поэтому
сSdxdT Sdt[ H(x) – H(x + dx) ] . (1.8)
В левой части этого уравнения – количество теплоты, накопленное в рас-
сматриваемом объеме за счет приращения температуры на величину dT за время dt ( и с – плотность и удельная теплоемкость материала стенки). В правой –
количество теплоты, приобретенное этим объемом за то же время вследствие
явлений теплопроводности. При этом H(x) и H(x+dx) представляют собой
удельные тепловые потоки (количество тепла, переносимого через единичную
площадь в единицу времени) через соответствующие грани параллелепипеда,
Дж·с
-1.м-2
). Потоки считаются положительными, если их направление совпадает
с положительным направлением оси x. Знак «минус» перед H(x+dx) учитывает,
что этот поток при своем положительном значении приводит в отличие от H(x)
к оттоку тепла из объема.
Согласно общим положениям термодинамики для одномерного (только в
одном направлении x) процесса теплопроводности
dT
H(x)
k
, (1.9)
где k – коэффициент теплопроводности материала стенки, Дж·с-1·м-1·К-1. Знак
«минус» учитывает, что поток направлен в сторону уменьшения температуры.
Разделив уравнение (1.8) на сSdtdx, получим
dT
, (1.10)
что при переходе к пределу при dx 0 дает
1
(1.11)
и согласно (1.9)
t x
2
. (1.12)
c
2
В последнем уравнении применены символы частных производных, поскольку температура является функцией двух переменных x и t, что также отражено в ее обозначении.
18
Уравнение (1.12) является искомым уравнением однородного нестацио-
kac
T
t
нарного процесса теплопроводности, отражающим изменение температуры со
временем и в зависимости от значения x. Параметр
(1.13)
называют коэффициентом температуропроводности (измеряется в м2·с-1).
Таким образом, математическая модель процесса описывается уравнением (1.12) в частных производных первого порядка по t и второго порядка по x,
которое относится к так называемому параболическому типу. Это уравнение
для однозначного решения, имеющего конкретный физический смысл, требует
задания начального и граничных условий, что свидетельствует о необходимости
внесения уточнений в первоначальную постановку задачи.
Начальное условие должно быть задано в виде
T(x,0) f1(x), (1.14)
где f1(x) – известная функция x, имеющая смысл начального (при t0) распределения температуры по толщине стенки.
Граничные условия допускают различную формулировку в зависимости
от характера теплового взаимодействия стенки с окружающей средой. Этот вопрос еще будет подробнее обсуждаться в следующем параграфе.
Один из типов взаимодействия – такой, при котором температура на поверхностях стенки (при x0 и xl) совпадает с температурой окружающей их
среды, которая может быть постоянной или зависеть от времени. Тогда граничные условия приобретают вид
T(0, t) f2(t), T(l, t) f3(t), (1.15)
где f2 и f3 – известные функции времени.
Совместно с этими граничными и начальным условием (1.14) уравнение
(1.12) и образует математическую модель рассмотренного объекта.
При сложном характере функций f1, f2 и f3 дальнейший анализ требует моделирования на ЭВМ, т. е. применения численных методов и их реализации
программными средствами. В простых случаях возможно получение и аналитических решений.
Для примера рассмотрим стационарное (установившееся, не зависящее от
t) решение уравнения (1.12) при постоянных температурах T1 и T2 на границах
стенки. При этом T(x, t) T(x),
0, и уравнение (1.12) становится обыкно-
венным дифференциальным уравнением второго порядка:
19
dx
2
dx
l
d T x
( )
2
0
. (1.16)
От начальных условий решение не зависит, а граничные приобретают вид
T(0) T1, T(l) T2 . (1.17)
Таким образом, получилась задача интегрирования уравнения (1.16) с условиями (1.17), наложенными на искомую функцию при двух значениях аргумента (в
отличие от задачи Коши). Это частный случай так называемой двухточечной
краевой (значения берутся на краях промежутка, где ищется решение) задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения1.
Непосредственное интегрирование (1.16) дает
dT x
( )
A
и T(x)
Ax + B , (1.18)
где А и В – постоянные интегрирования. Они определяются из граничных условий при подстановке x0 и xl в последнее выражение
B T1, Al + B T2 . (1.19)
После нахождения отсюда А и В окончательно имеем
T T
-
T(x)
2 1
x T
+ . (1.20)
1
Это решение свидетельствует, что температура внутри стенки изменяется
линейно по x от значения T1 к Т2 (рис. 1.3).
1 Краевая задача в общем случае может ставиться для уравнения, имеющего порядок и
количество условий, большие двух.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]