Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели объектов и систем управления. Учебное пособие
.pdf
0 1
2 3 4 5 6
4
3
2
1
64 52 40 30 20 10
62 54 45 35 25 17 9
63 56 49 42 34 26 18
71 63 56 49 42 35 28
80 72 65 57 50 44 38
Рис. 5.11. Результат поиска оптимального решения
Снова требуется сравнить два числа: затраты на переход в узел (4, 4) плюс
число, присвоенное этому узлу, и затраты на переход в узел (5, 3) плюс число,
присвоенное ему. Эти две суммы равны (7 + 20)27 и (8 + 17)25, так что
предпочтение следует отдать переходу в узел (5, 3), а узлу (4, 3) присвоить число 25 сумму затрат при оптимальном переходе из него в (6, 4).
Для узла (5, 2) сравниваются числа 9 + 1726 и 9 + 1827, определяется,
что УОТ должна проходить через узел (5, 3) и т. д. Окончательный результат
представлен на рис. 5.11. Траектория, начинающаяся в узле (0, 0), является оптимальной для задачи в целом. Она помечена стрелками, а соответствующие ей
затраты равны 80.
При любом m и n требуется сравнивать по два варианта траекторий для
каждого узла сетки, за исключением тех, что расположены на верхней и правой
границах сетки, из которых траектории могут быть продолжены единственным
образом. Таким образом, число сравнений равно mn, что для рассмотренного
примера составляет всего 24. При полном переборе вариантов потребовалось
бы 209 операций сравнения. С ростом m и n разница между подобными числами стремительно возрастает.
Отметим полезный побочный эффект вычислительной схемы метода динамического программирования. Если по какой-либо причине оптимальный
график не удается выдержать, то промежуточные результаты дают возможность
указать продолжение графика с момента нарушения, влекущее минимальные
потери. Например, если в рассмотренном примере на втором шаге вместо станка типа 1 введен станок типа 2 (переход в узел (0, 2)), то наилучшее продолжение дает траектория, проходящая через узлы (1, 2), (2, 2), (3, 2) и далее по
151
оптимальной траектории. Сумма затрат составит 81 вместо 80.
dt
dt
Как нетрудно убедиться, при небольших количествах станков вычисления
легко выполнить даже вручную. При больших m и n потребуется помощь ЭВМ,
но в силу алгоритмической простоты метода составление программы не представляет трудностей.
Существует большое количество разнообразных прикладных задач, успешно
решаемых методом динамического программирования.
§ 5.6. Модель рекламной кампании
Предположим, что фирма начинает рекламировать среди потребителей свой
товар или услугу. Желательно иметь прогноз относительно эффективности рекламной кампании, которая определяется соотношением между затратами на
рекламу и полученными доходами.
Пусть число потенциальных потребителей (объем рынка) составляет N, а
число потребителей, совершивших покупку в результате рекламных мероприятий, (назовем их клиентами) равно n(t)1. Время t отсчитывается от начала рекламной кампании, и в момент t0 клиентов еще нет
n(0) 0. (5.32)
Будем считать, что скорость роста числа клиентов пропорциональна с некоторым коэффициентом а1 количеству потребителей, еще не совершивших покупку, т. е. (N – n):
dn
a N n
( ) . (5.33)
1
Обычно действует еще один, вторичный механизм рекламы через клиентов, удовлетворенных покупкой и распространяющих сведения об этом среди
оставшейся части потребителей. Скорость роста числа клиентов при действии
такого механизма пропорциональна числу контактов между этими категориями
потребителей, которое можно считать в свою очередь пропорциональным произведению n(N – n). В результате
dn
a n N n
( ) , (5.34)
2
где а2 – еще один коэффициент пропорциональности. В случае привлекательной
и добросовестной рекламы оба коэффициента положительны.
1
Число клиентов предполагается достаточно большим, чтобы рассматривать его как
непрерывную величину и применять операцию дифференцирования.
152
Объединив правые части в (5.33) и (5.34), получим уравнение, учитываю-
dt
dt
mdmM
m
1 2
exp( ) .
/
M m M a a
щее оба механизма1,
dn
a a n N n ( )( )
1 2
Начальным условием для него является (5.32).
Для интегрирования нелинейного уравнения (5.35) введем новую переменную m по формуле
m a1/a2 + n (5.36)
и обозначим
M a1/a2 + N. (5.37)
Уравнение (5.35) примет вид
dm
a m M m
( ) . (5.38)
2
. (5.35)
Разделяя переменные, получим
dm
а после интегрирования
lnm – ln(M–m) Ma2t + C. (5.40)
Постоянная интегрирования C определится из начального условия m(0) =
a1/a2, которое следует из (5.32) и (5.36)
C ln(a1/a2) – ln(M –a1/a2), (5.41)
после чего из (5.40) получим
m a a
Ma t
2
Ma dt
, (5.39)
2
/
1 2
(5.42)
1
Это уравнение дает повод снова вспомнить о сходстве математических моделей
различных по своей природе явлений: с его помощью можно описать развитие эпидемии
или распространение слухов.
153
Возвращаясь к исходным обозначениям на основании (5.36), (5.37),
найдем
n t a N
( )
1
exp( ( ) )
1
a a N a a N t
1 2 1 2
a a N t
1 2
exp( ( ) )
. (5.43)
Согласно этой формуле, число клиентов нарастает от 0 при t0, асимптотически при t приближаясь к предельному значению N. Этот результат, а
также поведение n(t) при промежуточных значениях t позволяет судить об экономической эффективности рекламы.
Введем показатель р доход от продажи товара или услуги одному клиенту, тогда общий доход Р на момент t составит
P(t) pn(t). (5.44)
Пусть затраты на рекламу в единицу времени равны s, тогда к моменту t
общие затраты S составят
S(t) st. (5.45)
Разность QP – S определяет прибыль от рекламы на некоторый момент
времени и может служить критерием для принятия решения о проведении, прекращении или изменении условий рекламной кампании.
Примерный характер поведения P и S показан на рис. 5.12. Кривая 1 изображает зависимость от времени дохода P(t) согласно формулам (5.43) и (5.44).
Прямые 2, 3 и 4 зависимости (5.45) затрат S(t) на рекламу при различных величинах s.
Если затраты малы (прямая 3), то прибыль (разность между ординатами
кривой 1 и прямой 3) с самого начала положительна и с течением времени
нарастает до момента t3, достигая величины, показанной отрезком а. После этого прибыль уменьшается, и рекламную кампанию следует прекратить или внести изменения в ее организацию.
Прямая 2 отражает случай увеличившихся затрат. Сначала они не покрываются доходом от продажи, однако, начиная с момента t1, прибыль переходит
в область положительных значений и в момент t2 становится максимальной (отрезок b). Как и в предыдущем случае, начиная с этого момента, рекламная кампания себя исчерпывает.
154
pN
1 2
3
4
b
a
0 t1 t2 t3
Рис. 5.12. Примерные зависимости дохода и затрат на рекламу
от времени
Прямая 4 соответствует слишком большим затратам на рекламу, при которых она вообще не эффективна.
На основании формул (5.43)–(5.45) можно получить и точные значения
для моментов t1 и t2 (или t3), а также определить максимальную прибыль.
Приведем пример иллюстративного характера. Пусть коэффициент а1 составляет 0,01, т. е. за единицу времени (в день, если исчислять время в днях) из
100 потребителей в результате рекламы один становится клиентом. Коэффициент а2 пусть равен 5 . 10-7. Это число соответствует ситуации, когда в результате
общения 1 000 клиентов с 1 000 потенциальных потребителей за 10 дней появляется 5 новых клиентов. Пусть общее число потребителей N = 100 000, доход
от одного клиента р 10 руб., а затраты на рекламу в день s 2 000 руб.
Тогда t
1
26 дн., t
137 дн., а Q(t2) 643 000 руб. Иными словами, пер-
2
вые 26 дн. расходы на рекламу не будут покрываться доходами, после чего
прибыль начнет расти и достигнет максимального значения Q(t2) на 137-й день.
Дальнейшее проведение рекламной кампании будет только снижать величину
прибыли.
Можно предполагать, что между затратами s и коэффициентом а1, характеризующим действенность рекламы, существует зависимость, например, прямая пропорциональная или имеющая более сложный вид. Коэффициенты а1, а2,
показатели s и p могут зависеть от времени. Учет этих соображений приведет к
усложнению модели и потребует анализа с использованием ЭВМ.
155
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Объекты моделирования отличаются чрезвычайно большим разнообразием как в плане физического содержания, так и в части их математических моделей.
В данном пособии фигурируют объекты только производственного характера, что
ввиду его небольшого объема все равно потребовало их внимательного отбора.
Учитывались два главных соображения. Во-первых, это требования учебных
планов и программ бакалавриата по направлению 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» и, во-вторых, цель обнаружения общих
черт математического описания моделей и их последующего воплощения.
При этом в рамках пособия остались почти не затронутыми некоторые
важные вопросы, заслуживающие специального изложения. К ним относятся
численные методы решения уравнений, возникающих в процессе получения
моделей, обработки результатов моделирования, а также задачи статистического моделирования. Эта тематика не входит в круг проблем, обозначенных в
подзаголовке пособия, но в случае надобности границы предложенного материала можно расширить, используя многочисленные литературные источники.
Некоторые упоминались раньше в связи с моделями отдельных объектов. Кроме того, часть из них, например [9], содержит полезные попытки обобщения и
классификации принципов и схем моделирования, сложившихся за последние
несколько десятилетий. К сожалению, подобные попытки пока еще не привели
к увеличению действенности известных методов моделирования.
Замечательные примеры математических моделей из разных областей
естествознания и демонстрацию их эффективного профессионального исследования содержит книга [7]. Ее следует рекомендовать как для предварительного
ознакомления с проблемами моделирования, так и для углубленного их изучения.
Сравнительно небольшая часть публикуемого материала, посвященная
моделям процессов управления производством, испытала на себе влияние основополагающей книги [5]. Оригинальные разработки авторов книги [8] в области
моделей волокнистой ленты в текстильной промышленности нашли свое отражение в главе 4 пособия.
При всей важности вопросов разработки и применения компьютерных
программ для задач моделирования в пособии они обсуждаются только один
раз применительно к системе регулирования давления. Помимо ограничений,
создаваемых учебными планами и программами, причиной тому является разделяемое многими мнение, что программы полезнее всего изучать при непосредственной работе с ними на компьютере.
156
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Арамано-
вич, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
2. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. – М.: Кнорус,
2013. – 192 с.
3. Ден-Гартог, Дж. П. Механические колебания / Дж. П. Ден-Гартог. – М.:
Физматгиз, 1960. – 580 с.
4. Дёч, Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа / Г. Дёч. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
5. Первозванский, А. А. Математические модели в управлении производ-
ством / А. А. Первозванский. – М.: Наука, 1975. – 616 с.
6. Первозванский, А. А. Курс теории автоматического управления / А. А.
Пер-возванский. – М.: Наука,1986. – 616 с.
7. Самарский, А. А. Математическое моделирование / А. А. Самарский, А.
П. Михайлов. – М.: Наука, 2002. – 320 с.
8. Севостьянов, А. Г. Моделирование технологических процессов (в текстильной промышленности) / А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая пром-сть, 1984. – 344 с.
9. Советов, Б. Я. Моделирование систем / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. –
М.: Юрайт, 2015. – 343 с.
10. Эммануэль, Н. М. Курс химической кинетики / Н. М. Эммануэль,
Д. Г. Кнорре. – М.: Высш. шк., 1984. – 463 с.
157
Некоторые свойства -функции
0, 0;
, 0.
x
1.
или <
x x x x
0 2 0 1
( ), ;
или < .
x x x x
Импульсная функция или -функция относится к классу так называемых
обобщенных функций и описывается выражением
x
x
(А.1)
(х)
При этом
( ) -x d
x 1, (А.2)
а также
( ) -x d
x 1, (А.3)
ПРИЛОЖЕНИЕ А
где
0 –любая, в том числе как угодно малая величина.
Для -функции от смещенного на х0 аргумента свойство (А.3) записывает-
ся в виде
2
) dx
(
1
x
xx
0
1 0 2
1, ;
x x x
0 2 0
0, >
(А.4)
Таким образом, интеграл равен 1, если х0 попадает на промежуток интегрирования, и нулю в противном случае.
При интегрировании произведения -функции на обыкновенную (не
обобщенную) функцию (х) «вырезается» одно значение (х) при хх0, когда функция отлична от 0, если промежуток интегрирования включает в себя х0. В
противном случае результат интегрирования равен 0:
x
2
( ) ( )
x x x dx
x
1
0
0 1 0 2
x x x x
0, >
(А.5)
158
Сведения из теории преобразования Лапласа
( )pxx dx
( )pxx dx
1
Re
p
Преобразованием Лапласа некоторого оригинала – действительной функции
(х) действительного аргумента х, определенной при х 0 и равной 0 при х
< 0, называется интегральное преобразование вида
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Ф(р)
e
0
(Б.1)
при условии, что интеграл сходится. Это условие обычно выполняется для
большинства встречающихся в приложениях функций.
Применяют и символическое обозначение
L{(x)}
e
0
. (Б.2)
Переменная р, от которой зависит результат преобразования Ф(р) (изображение), считается комплексной: р
+i
(i
).
Существует формула, позволяющая найти оригинал по изображению, и
соответствующее символическое обозначение L
{Ф(р)} обратное преобразо-
вание Лапласа
c i-+
L{Ф(p)}
(x)
1
2i
c i
px
Ф(р) dp, (Б.3)
e
где c определяется из условия, что Ф(р) – аналитическая функция в области
с. При этом обязательно
(х) 0 при х < 0. (Б.4)
Имеются обширные таблицы, позволяющие во многих случаях избежать
непосредственных вычислений по формулам (Б.2) и (Б.3). Выдержки из этих
таблиц приведены ниже.
Преобразование Лапласа и обратное преобразование – это линейные операции (что следует из линейности операций интегрирования), и для них справедлив принцип суперпозиции
L{C
11
(x) + C
(x) + ... + C
22
nn
(x)}
159
C1L{
ap
e
( ), ;
x a x a
(x)} + C2L{
1
(x)} + ... + CnL{
2
(x)}, (Б.5)
n
где С1, С2, ..., Сn не зависят от х. Аналогичное правило имеет место для L{...}.
Приведем некоторые теоремы, непосредственно используемые в основном тексте.
Теорема смещения
L{(x – a)} e
–ap
L{(x)} (Б.6)
при условиях
а > 0 и (x) 0 при х < 0. (Б.7)
Иными словами, смещение функции-оригинала по оси абсцисс вправо на а приводит к появлению множителя e
–ap
в изображении исходной, несмещенной
функции. Важно отметить, что в силу (Б.7) это смещение сопровождается дополнением: (х – а)0 при 0 < x < a. Этот момент пояснен графиками а, б на
рис. Б.1.
φ(x)
0 x 0 a x 0
φ(x–a)
φ(x)
1
1/2
а б в
Рис. Б.1. К теоремам смещения (а, б) и дифференцирования (в)
Обратно, если в изображении содержится множитель e
–ap
, то можно найти
оригинал по части изображения без этого множителя, а затем заменить аргумент х в оригинале на (х – а). При этом обязательно следует положить (х – а) =
0 при х < а:
160
L{
Ф(p)}
0, < .
x a
(Б.8)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]